5-مکانیک لاگرانژی

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه بیست و یکم اردیبهشت ۱۴۰۲ | 12:24

انرژی [ ویرایش ]

تعریف [ ویرایش ]

با توجه به لاگرانژی، $L،$ انرژی سیستم مکانیکی مربوطه، طبق تعریف،

$E={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q} }_{i}}}{\biggr )}-L.$

تغییر ناپذیری تحت تبدیل مختصات [ ویرایش ]

در هر لحظه $تی،$ انرژی تحت تغییرات مختصات فضای پیکربندی ثابت است $\mathbf {q} \to \mathbf {Q}$ ، یعنی

$E(\mathbf {q},{\dot {\mathbf {q} }},t)=E(\mathbf {Q},{\dot {\mathbf {Q} }},t).$

علاوه بر این نتیجه، اثبات زیر نشان می‌دهد که تحت چنین تغییر مختصات، مشتقات $\partial L/\partial {\dot {q}}_{i}$ به عنوان ضرایب یک فرم خطی تغییر می کند.

نشان می دهداثبات

حفاظت [ ویرایش ]

در مکانیک لاگرانژی، سیستم بسته است اگر و فقط اگر لاگرانژی باشد $L$ به صراحت به زمان بستگی ندارد. قانون بقای انرژی بیان می کند که انرژی $E$ یک سیستم بسته یک انتگرال حرکت است .

به طور دقیق تر، اجازه دهید $\mathbf {q} =\mathbf {q} (t)$ افراطی بودن . (به عبارت دیگر، $\mathbf {q}$ معادلات اویلر-لاگرانژ را برآورده می کند). در نظر گرفتن کل مشتق زمانی از $L$ در امتداد این اکسترمال و استفاده از معادلات EL منجر به

$-{\frac {\partial L}{\partial t}}{\biggl |}_{\mathbf {q} (t)}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d } t}}\left[E{\biggl |}_{\mathbf {q} (t)}\راست].$

اگر لاگرانژی $L$ پس صراحتاً به زمان بستگی ندارد، $\جزئی L/\جزئی t=0،$ بنابراین $E$ در واقع یک انتگرال حرکت است، به این معنی که

$E(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)={\text{const}}.$

بنابراین، انرژی حفظ می شود.

انرژی های جنبشی و بالقوه [ ویرایش ]

همچنین نتیجه می شود که انرژی جنبشی تابع همگن درجه 2 در سرعت های تعمیم یافته است. علاوه بر این، اگر پتانسیل V فقط تابع مختصات و مستقل از سرعت باشد، با محاسبه مستقیم یا استفاده از قضیه اویلر برای توابع همگن ، نتیجه می‌شود که

$\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=2T\,.$

تحت همه این شرایط، [33] ثابت

$E=T+V$

انرژی کل سیستم است. انرژی های جنبشی و پتانسیل همچنان با تکامل سیستم تغییر می کنند، اما حرکت سیستم به گونه ای خواهد بود که مجموع آنها، انرژی کل، ثابت باشد. این یک ساده سازی ارزشمند است، زیرا انرژی E یک ثابت ادغام است که به عنوان یک ثابت دلخواه برای مسئله به حساب می آید، و ممکن است بتوان سرعت های این رابطه انرژی را برای حل مختصات ادغام کرد. در صورتی که سرعت یا انرژی جنبشی یا هر دو به زمان بستگی داشته باشد، انرژی حفظ نمی شود .

شباهت مکانیکی [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: شباهت مکانیکی

اگر انرژی پتانسیل تابعی همگن از مختصات و مستقل از زمان باشد، [34] و همه بردارهای موقعیت با همان ثابت غیرصفر α ، r k ′ = α r k مقیاس بندی می شوند ، به طوری که

$V(\alpha \mathbf {r} _{1},\alpha \mathbf {r} _{2},\ldots ,\alpha \mathbf {r} _{N})=\alpha ^{N}V( \mathbf {r} _{1}،\mathbf {r} _{2}،\ldots،\mathbf {r} _{N})$

و زمان با ضریب β , t = βt , سپس سرعتهای v k با ضریب α / β و انرژی جنبشی T با ( α / β ) 2 مقیاس می شوند . کل لاگرانژی با همان فاکتور اگر مقیاس شده است

${\frac {\alpha ^{2}}{\beta ^{2}}}=\alpha ^{N}\quad \Rightarrow \quad \beta =\alpha ^{1-{\frac {N {2}}}\,.$

از آنجایی که طول ها و زمان ها مقیاس بندی شده اند، مسیر ذرات در سیستم از مسیرهای هندسی مشابهی پیروی می کنند که اندازه آنها متفاوت است. طول l پیموده شده در زمان t در مسیر اصلی مطابق با طول جدید l' پیموده شده در زمان t در مسیر جدید است که توسط نسبت ها داده می شود.

${\frac {t'}{t}}=\left({\frac {l'}{l}}\right)^{1-{\frac {N}{2}}}\,.$

ذرات متقابل [ ویرایش ]

برای یک سیستم معین، اگر دو زیرسیستم A و B غیر متقابل باشند، L لاگرانژی سیستم کلی مجموع لاگرانژی L A و L B برای زیرسیستم‌ها است: [29]

$L=L_{A}+L_{B}\،.$

اگر آنها تعامل داشته باشند این امکان پذیر نیست. در برخی شرایط، ممکن است بتوان لاگرانژی سیستم L را به مجموع لاگرانژهای غیر متقابل، به اضافه L AB لاگرانژی دیگری که حاوی اطلاعاتی درباره برهمکنش است، جدا کرد.

$L=L_{A}+L_{B}+L_{AB}\،.$

این ممکن است از نظر فیزیکی با در نظر گرفتن لاگرانژهای غیر متقابل به عنوان انرژی جنبشی ایجاد شود، در حالی که برهمکنش لاگرانژی کل انرژی پتانسیل سیستم است. همچنین، در حالت محدود کننده تعامل ناچیز، L AB به سمت صفر کاهش می‌یابد تا حالت غیر متقابل بالا کاهش یابد.

گسترش بیش از دو زیرسیستم غیر متقابل ساده است - لاگرانژی کلی مجموع لاگرانژهای جداگانه برای هر زیرسیستم است. اگر فعل و انفعالاتی وجود داشته باشد، لاگرانژی های تعاملی ممکن است اضافه شوند.

مثالها [ ویرایش ]

مثال‌های زیر معادلات لاگرانژ از نوع دوم را برای مسائل مکانیکی اعمال می‌کنند.

نیروی محافظه کار [ ویرایش ]

ذره ای به جرم m تحت تأثیر نیروی محافظه کارانه ناشی از گرادیان ∇ پتانسیل اسکالر حرکت می کند .

$\mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}V(\mathbf {r})\,.$

اگر تعداد ذرات بیشتر باشد، مطابق با نتایج فوق، انرژی جنبشی کل مجموع تمام انرژی جنبشی ذرات است و پتانسیل تابعی از همه مختصات است.

مختصات دکارتی [ ویرایش ]

لاگرانژی ذره را می توان نوشت

$L(x,y,z,{\dot {x}},{\ dot {y}},{\dot {z}})={\frac {1}{2}}m({\dot {x }}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})-V(x,y,z)\,.$

معادلات حرکت ذره با استفاده از معادله اویلر-لاگرانژ ، برای مختصات x پیدا می‌شود.

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)={ \frac {\partial L}{\partial x}}\,,$

با مشتقات

${\frac {\partial L}{\partial x}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}\,,\quad {\frac {\partial L}{\partial { \dot {x}}}}=m{\dot {x}}\,,\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)=m{\ddot {x}}\,,$

از این رو

$m{\ddot {x}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}\,,$

و به طور مشابه برای مختصات y و z . با جمع آوری معادلات به صورت برداری پیدا می کنیم

$m{\ddot {\mathbf {r} }}=-{\boldsymbol {\nabla }}V$

که قانون دوم حرکت نیوتن برای ذره ای است که تحت یک نیروی محافظه کار است.

مختصات قطبی در دو بعدی و سه بعدی [ ویرایش ]

با استفاده از مختصات کروی (r، θ ، φ ) که معمولاً در فیزیک استفاده می شود (قرارداد ISO 80000-2:2019)، جایی که r فاصله شعاعی تا مبدأ است، θ زاویه قطبی است (همچنین به عنوان همپوشانی، زاویه اوج، زاویه عادی نیز شناخته می شود. ، یا زاویه شیب)، و φ زاویه ازیموتال است، لاگرانژ برای پتانسیل مرکزی است

$L={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2 }\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2})-V(r)\,.$

بنابراین، در مختصات کروی، معادلات اویلر-لاگرانژ هستند

$m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2})+{\ frac {\partial V}{\partial r}}=0\,,$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \ تتا \,{\dot {\varphi }}^{2}=0\,,$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }})=0\ ،.$

مختصات φ چرخه ای است زیرا در لاگرانژی ظاهر نمی شود، بنابراین تکانه حفظ شده در سیستم، تکانه زاویه ای است.

$p_{\varphi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}=mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}\ ،،$

که در آن r ، θ و dφ/dt همگی می توانند با زمان تغییر کنند، اما فقط به گونه ای که p φ ثابت باشد.

لاگرانژ در مختصات قطبی دوبعدی با تثبیت θ به مقدار ثابت π /2 بازیابی می شود.

آونگ روی تکیه گاه متحرک [ ویرایش ]

طرحی از وضعیت با تعریف مختصات (برای بزرگنمایی کلیک کنید)

آونگی به جرم m و طول ℓ را در نظر بگیرید که به تکیه‌گاهی با جرم M متصل است که می‌تواند در امتداد یک خط حرکت کند.ایکس $ایکس$ -جهت. اجازه دهیدایکس $ایکس$ مختصات در امتداد خط تکیه گاه باشد، و اجازه دهید موقعیت آونگ را با زاویه نشان دهیم $تتا$ از عمودی مختصات و مولفه های سرعت آونگ باب هستند

${\begin{array}{rll}&x_{\mathrm {pend} }=x+\ell \sin \theta &\quad \Rightarrow \quad {\dot {x}}_{\mathrm {pend} } ={\dot {x}}+\ell {\dot {\theta }}\cos \theta \\&y_{\mathrm {pend} }=-\ell \cos \theta &\quad \Rightarrow \quad {\ نقطه {y}}_{\mathrm {pend} }=\ell {\dot {\theta }}\sin \theta \,.\end{آرایه}}$

مختصات تعمیم یافته را می توان در نظر گرفتایکس $ایکس$ و $تتا$ . انرژی جنبشی سیستم پس از آن است

$T={\frac {1}{2}}M{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}_ {\mathrm {pend} }^{2}+{\dot {y}}_{\mathrm {pend} }^{2}\right)$

و انرژی پتانسیل است

$V=mgy_{\mathrm {pend} }$

دادن لاگرانژی

${\begin{array}{rcl}L&=&T-V\\&=&{\frac {1}{2}}M{\dot {x}}^{2}+{\frac {1 {2}}m\left[\left({\dot {x}}+\ell {\dot {\theta }}\cos \theta \right)^{2}+\left(\ell {\dot {\theta }}\sin \theta \right)^{2}\right]+mg\ell \cos \theta \\&=&{\frac {1}{2}}\left(M+m\right ){\dot {x}}^{2}+m{\dot {x}}\ell {\dot {\theta }}\cos \theta +{\frac {1}{2}}m\ell ^ {2}{\dot {\theta }}^{2}+mg\ell \cos \theta \,.\end{آرایه}}$

از آنجا که $ایکس$ در لاگرانژی وجود ندارد، یک مختصات چرخه ای است. تکانه حفظ شده است

$p_{x}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=(M+m){\dot {x}}+m\ell {\dot {\ تتا }}\cos \theta \,$

و معادله لاگرانژ برای مختصات پشتیبانیایکس $ایکس$ است

$(M+m){\ddot {x}}+m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta -m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \ تتا = 0\,.$

معادله لاگرانژ برای زاویه $تتا$ است

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left[ m( \dot x \ell \cos\theta + \ell^2 \dot\theta ) \right] + m \ell (\ نقطه x \dot \theta + g) \sin\theta = 0;$

و ساده سازی

${\ddot {\theta }}+{\frac {\ddot {x}}{\ell }}\cos \theta +{\frac {g}{\ell }}\sin \theta =0.$

این معادلات ممکن است کاملاً پیچیده به نظر برسند، اما یافتن آنها با قوانین نیوتن مستلزم شناسایی دقیق همه نیروها بود که بسیار پر زحمت و مستعد خطا بودند. با در نظر گرفتن موارد محدود می توان صحت این سیستم را تأیید کرد: به عنوان مثال، ${\ddot {x}}\to 0$ باید معادلات حرکت یک آونگ ساده را که در یک قاب اینرسی ساکن است ، ارائه دهد ، در حالی که ${\ddot {\theta }}\to 0$ باید معادلات یک آونگ در یک سیستم دائماً شتاب‌دهنده و غیره را ارائه دهد. علاوه بر این، با توجه به شرایط شروع مناسب و یک گام زمانی انتخابی، با گام برداشتن از نتایج به صورت تکراری، به دست آوردن نتایج به صورت عددی امری بی‌اهمیت است .

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی