1-مکانیک لاگرانژی

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه بیست و یکم اردیبهشت ۱۴۰۲ | 12:8

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

مکانیک کلاسیک
بخشی از یک سریال در
${\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}(m{\textbf {v}})$ قانون دوم حرکت
تاریخ جدول زمانی کتاب های درسی
نشان می دهد شاخه ها
نشان می دهد مبانی
پنهان شدن فرمولاسیون قوانین حرکت نیوتن مکانیک تحلیلی مکانیک لاگرانژی مکانیک هامیلتونی مکانیک روتین معادله همیلتون-جاکوبی معادله حرکت اپل مکانیک کوپمن-فون نیومن
نشان می دهد موضوعات اصلی
نشان می دهد چرخش
نشان می دهد دانشمندان
پورتال فیزیک دسته بندی
v تی ه

جوزف-لوئیس لاگرانژ (1736-1813)

در فیزیک ، مکانیک لاگرانژی فرمول بندی مکانیک کلاسیک است که بر اساس اصل کنش ساکن (همچنین به عنوان اصل کمترین عمل شناخته می شود) بنا شده است. این توسط ریاضیدان و ستاره شناس ایتالیایی-فرانسوی جوزف-لوئیس لاگرانژ در اثر خود در سال 1788، Mécanique analytique معرفی شد . [1]

مکانیک لاگرانژی یک سیستم مکانیکی را به صورت یک جفت توصیف می کند ${\textstyle (M,L)}$ متشکل از یک فضای پیکربندی ${\textstyle M}$ و عملکرد صاف ${\textstyle L}$ در آن فضایی که لاگرانژی نامیده می شود . برای بسیاری از سیستم ها،، ${\textstyle L=TV،}$ جایی که ${\textstyle T}$ و $V$ به ترتیب انرژی جنبشی و پتانسیل سیستم هستند . [2]

اصل عمل ثابت مستلزم آن است که عملکرد عملکرد سیستم از آن ناشی شود ${\textstyle L}$ باید در طول تکامل سیستم در یک نقطه ثابت (حداکثر، حداقل یا زین) باقی بماند. این محدودیت امکان محاسبه معادلات حرکت سیستم را با استفاده از معادلات لاگرانژ می دهد. [3]

مقدمه [ ویرایش ]

مهره برای حرکت روی سیم بدون اصطکاک محدود شده است. سیم یک نیروی واکنش C بر روی مهره وارد می کند تا آن را روی سیم نگه دارد. نیروی غیر محدودیتی N در این حالت گرانش است. توجه داشته باشید که موقعیت اولیه سیم می تواند منجر به حرکات مختلفی شود.

آونگ ساده. از آنجایی که میله صلب است، موقعیت باب مطابق با معادله f ( x , y ) = 0 محدود می شود، نیروی محدودیت C کشش در میله است. باز هم نیروی غیر محدود N در این مورد گرانش است.

فرض کنید مهره‌ای وجود دارد که روی یک سیم می‌لغزد، یا یک آونگ ساده در حال چرخش ، و غیره. اگر هر یک از اجسام عظیم (مهره، آونگ باب و غیره) را به عنوان ذره ردیابی کنید، حرکت ذره را با استفاده از مکانیک نیوتنی محاسبه کنید. نیاز به حل نیروی محدودیت متغیر با زمان لازم برای حفظ ذره در حرکت محدود (نیروی واکنشی که توسط سیم روی مهره اعمال می‌شود، یا کشش در میله آونگ) است. برای همین مسئله با استفاده از مکانیک لاگرانژی، به مسیری که ذره می تواند طی کند نگاه می کند و مجموعه ای مناسب از مختصات تعمیم یافته مستقل را انتخاب می کند. که حرکت احتمالی ذره را کاملا مشخص می کند. این انتخاب نیاز به نیروی محدودیت برای ورود به سیستم معادلات حاصل را از بین می برد. معادلات کمتری وجود دارد زیرا کسی مستقیماً تأثیر محدودیت بر ذره را در یک لحظه معین محاسبه نمی کند.

برای طیف گسترده ای از سیستم های فیزیکی، اگر اندازه و شکل یک جسم عظیم ناچیز باشد، ساده سازی آن به عنوان یک ذره نقطه ای ساده است . برای سیستمی از ذرات نقطه ای N با جرم m 1 , m 2 , ..., m N , هر ذره دارای بردار موقعیتی است که r 1 , r 2 , ..., r N نشان داده می شود . مختصات دکارتی اغلب کافی است، بنابراین r 1 = ( x 1 , y 1 , z 1) r 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 ) و غیره. در فضای سه بعدی ، هر بردار موقعیت به سه مختصات نیاز دارد تا مکان یک نقطه را به طور منحصر به فرد تعریف کند، بنابراین 3 N مختصات برای تعریف منحصر به فرد پیکربندی سیستم وجود دارد. همه اینها نقاط خاصی در فضا برای تعیین مکان ذرات هستند. یک نقطه کلی در فضا r = ( x , y , z ) نوشته می شود. سرعت هر ذره سرعت حرکت ذره در مسیر حرکت خود است و مشتق زمانی است .از موقعیت خود، بنابراین

$\mathbf {v} _{1}={\frac {d\mathbf {r} _{1}}{dt}},\mathbf {v} _{2}={\frac {d\mathbf {r} _{2}}{dt}}،\ldots،\mathbf {v} _{N}={\frac {d\mathbf {r} _{N}}{dt}}$

در مکانیک نیوتنی، معادلات حرکت با قوانین نیوتن ارائه می شود . قانون دوم " نیروی خالص برابر است با جرم ضربدر شتاب ".

∑اف=مترد2�دتی2

$\sum \mathbf {F} =m{\frac {d^{2}\mathbf {r} {dt^{2}}}$ برای هر ذره اعمال می شود. برای یک سیستم ذرات N در 3 بعد، معادلات دیفرانسیل معمولی 3 N مرتبه دوم در موقعیت‌های ذرات وجود دارد که باید حل شوند.

لاگرانژ [ ویرایش ]

مکانیک لاگرانژی به جای نیرو، از انرژی های موجود در سیستم استفاده می کند. کمیت مرکزی مکانیک لاگرانژی لاگرانژی است ، تابعی که دینامیک کل سیستم را خلاصه می کند. به طور کلی، لاگرانژ دارای واحدهای انرژی است، اما هیچ بیان واحدی برای همه سیستم‌های فیزیکی ندارد. هر تابعی که معادلات صحیح حرکت را در توافق با قوانین فیزیکی ایجاد کند، می تواند به عنوان لاگرانژی در نظر گرفته شود. با این وجود می توان عبارات کلی برای کلاس های بزرگی از برنامه ها ساخت. لاگرانژی غیر نسبیتی برای سیستمی از ذرات در غیاب میدان مغناطیسی توسط [4] به دست می آید.

$L=TV$

جایی که

$T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}$

انرژی جنبشی کل سیستم، برابر با مجموع Σ انرژی جنبشی ذرات است، [5] و V انرژی پتانسیل سیستم است .

انرژی جنبشی انرژی حرکت سیستم است و v k 2 = v k · v k قدر مجذور سرعت است که معادل حاصل ضرب نقطه ای سرعت با خودش است. انرژی جنبشی تنها تابعی از سرعت v k است ، نه موقعیت r k و نه زمان t ، بنابراین T = T ( v 1 ، v 2 ، ...).

انرژی پتانسیل سیستم، انرژی برهمکنش بین ذرات را منعکس می کند، به این معنا که هر ذره در اثر همه ذرات و سایر تأثیرات خارجی چقدر انرژی خواهد داشت. برای نیروهای محافظه کار (مثلاً گرانش نیوتنی )، تنها تابعی از بردارهای موقعیت ذرات است، بنابراین V = V ( r 1 ، r 2 ، ...). برای آن دسته از نیروهای غیر محافظه کار که می توانند از یک پتانسیل مناسب استخراج شوند (مثلاً پتانسیل الکترومغناطیسی ) ، سرعت ها نیز ظاهر می شوند، V = V ( r1 , r2 ) ., ..., v 1 , v 2 , ...). اگر مقداری میدان خارجی یا نیروی محرکه خارجی با زمان تغییر کند، پتانسیل با زمان تغییر خواهد کرد، بنابراین به طور کلی V = V ( r 1 , r 2 , ..., v 1 , v 2 , ..., t ) .

شکل بالا از L در مکانیک لاگرانژی نسبیتی یا در حضور میدان مغناطیسی هنگام استفاده از عبارت معمولی برای انرژی پتانسیل برقرار نیست و باید با تابعی مطابق با نسبیت خاص یا عام جایگزین شود. همچنین برای نیروهای اتلاف کننده باید تابع دیگری در کنار L معرفی شود .

یک یا چند ذره ممکن است هر کدام تحت یک یا چند محدودیت هولونومی باشند . چنین محدودیتی با معادله ای به شکل f ( r , t ) = 0 توصیف می شود. اگر تعداد قیود در سیستم C باشد ، آنگاه هر محدودیت دارای یک معادله است، f 1 ( r , t ) = 0، f 2 ( r , t ) = 0, ..., f C ( r , t ) = 0 که هر کدام می تواند برای هر یک از ذرات اعمال شود. اگر ذره k تابع قید i باشد ، پسf i ( r k , t ) = 0. در هر لحظه از زمان، مختصات یک ذره محدود به هم مرتبط هستند و مستقل نیستند. معادلات محدودیت مسیرهای مجاز را تعیین می کنند که ذرات می توانند در امتداد آنها حرکت کنند، اما نه اینکه کجا هستند یا با چه سرعتی در هر لحظه حرکت می کنند. محدودیت‌های غیرهولونومیک به سرعت ذرات، شتاب‌ها یا مشتقات بالاتر موقعیت بستگی دارند. مکانیک لاگرانژی را فقط می‌توان برای سیستم‌هایی اعمال کرد که محدودیت‌های آن‌ها، در صورت وجود، همه هولونومیک هستند . سه نمونه از محدودیت‌های غیرهولونومیک عبارتند از: [6]هنگامی که معادلات محدودیت غیر قابل انتگرال هستند، زمانی که محدودیت ها دارای نابرابری هستند، یا با نیروهای غیر محافظه کار پیچیده مانند اصطکاک. محدودیت‌های غیرهولونومیک نیاز به درمان خاصی دارند و ممکن است مجبور باشیم به مکانیک نیوتنی برگردیم یا از روش‌های دیگر استفاده کنیم.

اگر T یا V یا هر دو به دلیل محدودیت‌های متغیر با زمان یا تأثیرات خارجی صریحاً به زمان وابسته باشند، L لاگرانژی ( r 1 ، r 2 ، ... v 1 ، v 2 ، ... t ) به صراحت وابسته به زمان است . اگر نه پتانسیل و نه انرژی جنبشی به زمان بستگی ندارد، آنگاه L لاگرانژی ( r 1 , r 2 , ... v 1 , v 2 , ...) به صراحت از زمان مستقل است.. در هر صورت، لاگرانژی همیشه از طریق مختصات تعمیم یافته وابستگی زمانی ضمنی خواهد داشت.

با این تعاریف، معادلات لاگرانژ از نوع اول [7] است .

معادلات لاگرانژ (نوع اول)

${\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\ جزئی L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{ i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}=0$

جایی که k = 1، 2، ...، N ذرات را برچسب گذاری می کند، یک ضریب لاگرانژ λ i برای هر معادله محدودیت f i وجود دارد ، و

${\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} _{k}}}\equiv \left({\frac {\partial }{\partial x_{k}}},{\frac { \partial }{\partial y_{k}}},{\frac {\partial }{\partial z_{k}}}\right)\,,\quad {\frac {\partial }{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}\equiv \left({\frac {\partial }{\partial {\dot {x}}_{k}}},{\frac {\partial } {\partial {\dot {y}}_{k}}},{\frac {\partial }{\partial {\dot {z}}_{k}}}\right)$

هر کدام مختصر برای بردار مشتقات جزئی ∂/∂ با توجه به متغیرهای نشان داده شده هستند (نه مشتق با توجه به کل بردار). [nb 1] هر overdot مختصر یک مشتق زمانی است . این روش تعداد معادلات برای حل را در مقایسه با قوانین نیوتن از 3 N به 3 N + C افزایش می دهد، زیرا 3 N معادله دیفرانسیل مرتبه دوم جفت شده در مختصات موقعیت و ضرب کننده ها به اضافه C وجود دارد.معادلات محدودیت با این حال، هنگامی که در کنار مختصات موقعیت ذرات حل شود، ضرب کننده ها می توانند اطلاعاتی در مورد نیروهای محدودیت به دست آورند. لازم نیست مختصات با حل معادلات قید حذف شوند.

در لاگرانژی، مختصات موقعیت و مولفه‌های سرعت همگی متغیرهای مستقل هستند و مشتقات لاگرانژی با توجه به آنها به طور جداگانه طبق قوانین تمایز معمول (مثلاً مشتق جزئی L با توجه به مولفه سرعت z ذره گرفته می‌شوند. 2، تعریف شده توسط $v_{z,2}=dz_{2}/dt$ ، فقط است $\partial L/\partial v_{z,2}$ ; برای ارتباط دادن مولفه سرعت به مختصات مربوطه z 2 نیازی به استفاده از قوانین زنجیره نامناسب یا مشتقات کل نیست .

در هر معادله محدودیت، یک مختصات زائد است زیرا از مختصات دیگر تعیین می شود. بنابراین تعداد مختصات مستقل n = 3 N - C است . ما می‌توانیم هر بردار موقعیت را به یک مجموعه مشترک از n مختصات تعمیم‌یافته تبدیل کنیم ، که به راحتی به صورت n -tuple q = ( q 1 ، q 2 ، ... qn ) نوشته می‌شود ، با بیان هر بردار موقعیت، و از این رو مختصات موقعیت، به عنوان توابع مختصات تعمیم یافته و زمان،

$\mathbf {r} _{k}=\mathbf {r} _{k}(\mathbf {q} ,t)=(x_{k}(\mathbf {q} ,t),y_{k }(\mathbf {q} ,t),z_{k}(\mathbf {q} ,t),t)\,.$

بردار q نقطه ای در فضای پیکربندی سیستم است. مشتقات زمانی مختصات تعمیم یافته را سرعت های تعمیم یافته می نامند و برای هر ذره تبدیل بردار سرعت آن، مشتق کل موقعیت آن نسبت به زمان است.

${\dot {q}}_{j}={\frac {\mathrm {d} q_{j}}{\mathrm {d} t}}\,,\quad \mathbf {v} _{ k}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j }+{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial t}}\,.$

با توجه به این v k ، انرژی جنبشی در مختصات تعمیم یافته به سرعت های تعمیم یافته، مختصات تعمیم یافته و زمان بستگی دارد اگر بردارهای موقعیت به دلیل محدودیت های متغیر زمان به طور صریح به زمان وابسته باشند، بنابراین $T=T(\mathbf {q},{\dot {\mathbf {q} }},t)$ .

با این تعاریف، معادلات اویلر-لاگرانژ ، یا معادلات لاگرانژ از نوع دوم [8] [9]

معادلات لاگرانژ (نوع دوم)

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \left ( \frac {\partial L}{\partial \dot{q}_j} \right ) = \frac {\partial L}{\ q_j} جزئی$

نتایج ریاضی حاصل از حساب تغییرات هستند که می توانند در مکانیک نیز استفاده شوند. جایگزینی در L لاگرانژی ( q , d q /d t , t ) معادلات حرکت سیستم را به دست می دهد. تعداد معادلات در مقایسه با مکانیک نیوتنی کاهش یافته است، از 3 N به n = 3 N - C معادلات دیفرانسیل مرتبه دوم جفت شده در مختصات تعمیم یافته است. این معادلات به هیچ وجه شامل نیروهای محدودیت نمی شود، فقط نیروهای غیر محدودیتی باید در نظر گرفته شوند.

اگرچه معادلات حرکت مشتقات جزئی را شامل می شود ، اما نتایج مشتقات جزئی هنوز معادلات دیفرانسیل معمولی در مختصات موقعیت ذرات هستند. مشتق کل زمان که d/d t نشان داده می شود اغلب شامل تمایز ضمنی است . هر دو معادله در لاگرانژ خطی هستند، اما به طور کلی معادلات جفت شده غیرخطی در مختصات خواهند بود.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی