ریاضیات

* نسخه کمی اقتباس شده از مقاله ارائه شده توسط پائولوس گردس در سومین کنگره پان آفریقایی ریاضیدانان، نایروبی، 20-28 اوت 1991. این مقاله بخشی از مطالعه "تحقیقات اخیر در مورد تاریخ ریاضیات در آفریقا: یک مرور کلی" است. توسط A.Djebbar و P.Gerdes

معرفی

C. Zaslavsky در مطالعه کلاسیک خود "شمارش آفریقا: عدد و الگو در فرهنگ آفریقا" (1973a؛ بررسی توسط Wilder، 1976)، C. Zaslavsky مروری بر ادبیات موجود در مورد تاریخ ریاضیات در آفریقا در جنوب صحرا ارائه کرد. او در مورد شمارش نوشتاری، گفتاری و اشاره ای، عرفان اعداد، مفاهیم زمان، اعداد و پول، وزن ها و اندازه ها، ثبت رکورد (چوب و ریسمان)، بازی های ریاضی، مربع های جادویی، نمودارها و فرم هندسی بحث کرد و کرو در یک فصل مشارکت کرد. در مورد تقارن هندسی در هنر آفریقا از زمان انتشار مرور کلی زاسلاوسکی، بسیاری از دانشمندان، دانش‌آموزان، معلمان و افراد غیر روحانی - چه در آفریقا و چه در خارج از کشور - به میراث ریاضی آفریقا در جنوب صحرا علاقه‌مند شده‌اند. اتحادیه ریاضی آفریقا (AMU) بخشی از تاریخ را در دومین کنگره پان آفریقایی ریاضیدانان (جوس، نیجریه، 1986) با هدف تشویق گزارش‌ها و تبادل بیشتر منابع و ایده‌ها در مورد مطالعات تاریخی ریاضیات آفریقایی گنجاند. (Shirley, 1986b, 3). موفقیت این بخش باعث تشکیل کمیسیون AMU در تاریخچه ریاضیات در آفریقا (AMUCHMA) شد. به منظور تحریک تحقیقات در مورد تاریخ ریاضیات در آفریقا به طور کلی، و برای ترویج افشای یافته های تحقیق و تبادل اطلاعات در این زمینه، AMUCHMA از سال 1987 یک خبرنامه به زبان های انگلیسی، فرانسوی و عربی منتشر می کند. در این مقاله مروری بر تحقیقات (یافته‌ها) در مورد یا مرتبط با تاریخ ریاضیات در آفریقا در جنوب صحرا ارائه شده است. موضوعاتی مانند سیستم های شمارش و اعداد، اعداد شناسی، بازی ها و پازل های ریاضی، هندسه، نمودارها، اسلام و توسعه ریاضی، ارتباطات بین المللی و برنامه های درسی تاریخ ریاضیات گنجانده خواهد شد. همچنین به اهداف تحقیق در تاریخ ریاضیات در آفریقا، به روش شناسی، به رابطه با تحقیقات قومی ریاضی و استفاده از یافته های تحقیق در آموزش ریاضیات توجه خواهد شد. برخی از مسیرهای احتمالی برای تحقیقات بیشتر مشخص خواهد شد. به رابطه با تحقیقات قومی ریاضی و استفاده از یافته های تحقیق در آموزش ریاضیات. برخی از مسیرهای احتمالی برای تحقیقات بیشتر مشخص خواهد شد. به رابطه با تحقیقات قومی ریاضی و استفاده از یافته های تحقیق در آموزش ریاضیات. برخی از مسیرهای احتمالی برای تحقیقات بیشتر مشخص خواهد شد.

چرا تاریخ ریاضیات را در آفریقا در جنوب صحرا مطالعه کنید؟

دلایل زیادی وجود دارد که مطالعه کلی تاریخ ریاضیات را ضروری و جذاب می کند (مثلاً به استرویک، 1980 مراجعه کنید). دلایل مهم دیگری وجود دارد که تحقیق در مورد تاریخ ریاضیات در آفریقا در جنوب صحرا را ضروری می کند.
کشورهای آفریقایی با مشکل «سطح پایین» دستیابی در آموزش ریاضیات مواجه هستند. اضطراب ریاضی گسترده است. بسیاری از کودکان (و معلمان نیز؟) ریاضیات را به عنوان یک موضوع نسبتاً عجیب و بی فایده تجربه می کنند که از خارج از آفریقا وارد شده است. یکی از دلایل آن این است که اهداف، محتویات و روش های آموزش ریاضی به اندازه کافی با فرهنگ ها و نیازهای مردم آفریقا تطبیق داده نمی شود، همانطور که اولین دبیر کل کمیسیون آموزش ریاضی AMU تأکید می کند (Eshiwani, 1979). , 346؛ ر.ک. Eshiwani, 1983؛ Jacobsen, 1984). نظام آموزشی کنونی آفریقا «ناسازگار و نخبه‌گرا» است و «به مصرف خارجی بدون ایجاد فرهنگی که هم سازگار با تمدن اصلی و هم واقعاً امیدوارکننده باشد، حمایت می‌کند» (Ki-Zerbo, 1990, 4; cf. ال تام در مورد آموزش ریاضی و انتخاب نخبگان، 1984، 3). نمایندگان پنجمین کنفرانس وزرای آموزش و پرورش و مسئولین برنامه ریزی اقتصادی در کشورهای عضو آفریقا اعلام کردند که سیاست آموزشی باید به گونه ای طراحی شود که «میراث فرهنگی آفریقا و ارزش های اجتماعی و انسانی سنتی که دارای پتانسیل بالقوه است را به جایگاه واقعی خود بازگرداند. آینده " (MINEDAF، 1982، 41). میراث ریاضی مردم آفریقا باید ارزش قائل شود و سنت های ریاضی آفریقایی باید در برنامه درسی "تعبیه شود" (Cf.eg Ale ، 1989 ؛ Doumbia ، 1984 ، 1989b ، Gerdes ، 1985a ، 1986a ، 1986b ، 1988d ، 1990c ؛ لنگدون، 1989، 1990؛ مماری، 1978؛ نجوک، 1985؛ شرلی، 1986a، 1986b). و از آنجایی که این میراث علمی آفریقا در جنوب صحرا کمتر شناخته شده است، تحقیقات در این زمینه یکچالشی که پاسخ فوری به آن ضروری است (نجوک، 1985، 4). همچنین آمریکایی های آفریقایی تبار و اقلیت های آفریقایی تبار در سراسر جهان نیاز به دانستن میراث فرهنگی-ریاضی خود را احساس می کنند (کمپبل، 1977؛ فرانکشتاین و پاول، 1989؛ زاسلاوسکی، 1973، و غیره؛ راترای، 1991). به طور کلی، چه در کشورهای بسیار صنعتی و چه در کشورهای جهان سوم، بیش از پیش مشخص می شود که لازم است برنامه درسی ریاضیات چندفرهنگی شود تا کیفیت آن بهبود یابد، اعتماد فرهنگی همه دانش آموزان تقویت شود و با نژادها و نژادها مبارزه شود. تعصب فرهنگی (مثلاً D'Ambrosio، 1985a؛ Ascher، 1984؛ Bishop، 1988a, b؛ Joseph، 1987؛ Mellin-Olsen، 1986؛ NCTM، 1984؛ Nebres، 1983؛ Zaslavsky، 19991)

مفهوم گسترده "تاریخ" و "ریاضیات"

بیشتر تاریخ های ریاضیات تنها چند صفحه را به مصر باستان و شمال آفریقا در قرون وسطی اختصاص داده است. آنها عموماً تاریخ ریاضیات را در آفریقا در جنوب صحرا نادیده می گیرند و این تصور را ایجاد می کنند که این تاریخ یا وجود نداشته یا حداقل قابل دانستن / قابل ردیابی نیست، یا قوی تر از آن، که اصلاً ریاضیاتی در جنوب صحرا وجود نداشته است. Sahara (ر.ک. Lumpkin، 1983؛ Njock، 1985). "حتی آفریقایی بودن ریاضیات مصر اغلب انکار می شود" (Shirley, 1986b, 2). تعصب و تصورات محدود از هر دو «تاریخ» (ر.ک. کی-زربو، 1980، مقدمه عمومی) و «ریاضیات» اساس چنین دیدگاه هایی (ارواس محور) را تشکیل می دهند (ر.ک. جوزف، 1987، 1991).
در هفدهمین کنگره بین المللی علوم تاریخی، هامفری (1990، 4) تأکید کرد که "هر گونه تعریف محدود از علم به اصطلاح مدرن، درک منشأ آن و اشکال متغیر آن را در فرهنگ های مختلف برای ما دشوار می کند". در مورد ریاضیات، نویسندگانی مانند آل، دآمبروسیو، آشر و آشر، بیشاپ، دومبیا، گردس، نجوک، شرلی و زاسلاوسکی «ریاضیات» را پدیده‌ای فرافرهنگی می‌دانند و مفهوم وسیعی از جمله شمارش، مکان‌یابی، اندازه گیری، طراحی، بازی، توضیح، طبقه بندی، مرتب سازی...

مطالعه پیشگام

« شمارش آفریقا » زاسلاوسکی اثری پیشگام در زمینه تاریخ ریاضیات در جنوب صحرا است. او کتاب خود را به عنوان "بررسی مقدماتی یک میدان وسیع در انتظار تحقیق" (1973a, vi) ارائه می دهد. کار او آسان نبود: در مواجهه با «ناکافی بودن مواد به راحتی در دسترس...»، او مجبور شد «ادبیات بسیاری از رشته‌ها - تاریخ، اقتصاد، قوم‌شناسی، مردم‌شناسی، باستان‌شناسی، زبان‌شناسی، هنر و سنت شفاهی» را جستجو کند. - ...» (1973a, vi).
او از دیدگاه گسترده ای در مورد ریاضیات استفاده کرد. مطالعه او با چیزی که او آن را "ریاضیات اجتماعی" آفریقا می نامد، سروکار دارد: او "کاربردهای ریاضیات را در زندگی مردم آفریقا، و برعکس، تاثیری که موسسات آفریقایی بر تکامل ریاضیات داشتند" در نظر می گیرد (1973a, 7). ). مفهوم ریاضیات اجتماعی را می توان پیشرو مفهوم قوم ریاضیات دانست. این قوم‌شناسی به‌عنوان رشته‌ای است که ریاضیات (و آموزش ریاضی) را در بافت فرهنگی آن‌ها مطالعه می‌کند - (توسعه) اشکال مختلف تفکر ریاضی که برای گروه‌های فرهنگی، مانند گروه‌های قومی، حرفه‌ای و سنی مناسب است. برای روابط (احتمالی) بین ریاضیات قومی و تاریخ ریاضیات، به (به طور کلی) D' مراجعه کنید.
همانطور که نشان داده خواهد شد، استفاده از روش های تحقیق تاریخی و قومی ریاضی به دانش و درک تاریخ ریاضیات در آفریقا، یا حداقل برخی از عناصر ریاضی دیگر در سنت های آفریقا، علاوه بر اطلاعات جمع آوری شده در " آفریقا شمارش می کند ".

آغاز

زاسلاوسکی به عنوان شواهد اولیه برای فعالیت (تقدیم) ریاضی در آفریقا، استخوانی را ارائه کرد که مربوط به 9000 تا 6500 قبل از میلاد بود، که در ایشانگو (زئیر) حفر شده بود. استخوان دارای نشانه‌هایی است که به نظر می‌رسد بر روی آن نشانه‌هایی باشد، بریدگی‌هایی که به صورت گروهی حک شده‌اند. کاشف استخوان، دی هاینزلین، الگوهای بریدگی ها را به عنوان یک «نوعی بازی حسابی، ابداع شده توسط مردمی که یک سیستم اعداد مبتنی بر 10 و همچنین دانشی از تکرار و اعداد اول داشتند، تفسیر کرد. مارشاک، برعکس، استخوان را به عنوان شمارش اولیه فاز قمری توضیح می دهد. نظرات آنها که در (Zaslavsky, 1973a, 17-19) خلاصه شده است، اخیراً در (Fauvel & Gray, 1987, 5-7) بازتولید شده است. بعدها، قدمت استخوان ایشانگو از حدود 8000 سال قبل از میلاد تا 20000 سال قبل از میلاد مورد ارزیابی مجدد قرار گرفت (Marshack, 1991). Zaslavsky (1991b) این سوال را مطرح می کند:
Bogoshi، Naidoo & Webb در سال 1987 در مورد یک "مصنوع ریاضی" بسیار قدیمی تر گزارش می دهند: "یک قطعه کوچک از نازک نی یک بابون، که با 29 شکاف مشخص مشخص شده است، ممکن است به عنوان قدیمی ترین مصنوع ریاضی شناخته شود. در اوایل دهه هفتاد کشف شد. در حین حفاری غار مرزی در کوه‌های لبومبو بین آفریقای جنوبی و سوازیلند، قدمت این استخوان به حدود 35000 سال قبل از میلاد می‌رسد. آنها اشاره می کنند که این استخوان "شبیه چوب های تقویم است که امروزه هنوز توسط قبایل بوشمن در نامیبیا استفاده می شود" (1987، 294).
یک پروژه تحقیقاتی به دنبال نمایش عددی در هنر صخره ای سان (بوشمن) به تازگی توسط مارتینسون (دانشگاه ویتواترزاند، آفریقای جنوبی) آغاز شده است. لیا و دانشجویانش در دانشگاه بوتسوانا از شکارچیان بازمانده سان در بوتسوانا - "قدیمی ترین الگوی زندگی که امروزه در جهان یافت می شود..." - اطلاعاتی را جمع آوری کرده اند. مقالات او شمارش، اندازه‌گیری، محاسبه زمان، طبقه‌بندی، ردیابی و برخی ایده‌های ریاضی در فن‌آوری و صنایع دستی سان را توصیف می‌کنند. سان تمایز بصری و حافظه بصری بسیار خوبی را برای بقا در محیط خشن صحرای کالاهاری توسعه داد (Lea, 1987, 1989, 1990a, 1990b).

سیستم های شماره گذاری

بحث زاسلاوسکی در مورد سیستم های شمارش و شمارش نوشتاری، گفتاری و اشاره ای اساساً بر اساس آلمیدا (1947: گینه بیسائو)، آرمسترانگ (1962: یوروبا، نیجریه)، اتکینز (1961)، دلافوس (1928)، هرسکویتس (1939: کرو، لیبریا) است. -ساحل عاج)، لاگرکرانتز (1968: سیستم های شمارش)، مان (1887: یوروبا)، ماتیوس (شمال نیجریه)، AVO (1964: هیما، اوگاندا)، راوم (1938)، اشمیدل (1915)، توماس (1920) ، توری (1963)، ویلیامسون (1943: دابیدا، کنیا). در این بین منابع دیگری نیز مطرح شدند، مانند سیدنبرگ (1959، 1963، 1976)، سانتوس (1960: چوکوه، آنگولا)، هازوم (1983: تفنگ، ژن و باریبا). در طول سال های گذشته، مجموعه کاملی از پروژه های تحقیقاتی در مورد سیستم های اعداد گفتاری و نوشتاری در آفریقا در حال انجام است، به عنوان مثال:

* شمارش در جوامع سنتی Ibibio و Efik (IOEnukoha، دانشگاه Calabar، Calabar، نیجریه)؛
* شماره گذاری در میان Fulbe (Fulani) (SOAle، Ahmadu-Bello-University، Bauchi، نیجریه).
* روش های شمارش پیش از اسلام (Y.Bello، دانشگاه Bayero، نیجریه).
* شمارش در زبان های نیجریه ای (Ahmadu-Bello-University, Zaria; Cf. Shirley, 1988b);
* سیستم های شماره گذاری پیش از استعمار در بوروندی (J.Navez، دانشگاه بوروندی، Bujumbara).
* یادگیری شمارش در ساحل عاج (ر.ک. Zepp, 1983c);
* سیستم های شماره گذاری مورد استفاده گروه های زبانی اصلی در گینه (S.Oulare، دانشگاه کوناکری).
* شمارش در میان گروه های قومی مختلف در کنیا (J.Mutio، دانشگاه کنیاتا، نایروبی).
* شمارش سنتی در بوتسوانا (H.Lea، دانشگاه بوتسوانا، Gaberone)؛
* سیستم های شماره گذاری و شیوه های شمارش رایج در موزامبیک (موسسه آموزشی عالی، ماپوتو / بیرا؛ رجوع کنید به Soares، 1991).

یک مطالعه مهم - از منظر محتوای آن و بحث روش شناختی که آغاز می کند - پایان نامه دکترای E.Kane (1987) در مورد " سیستم های شماره گذاری گفتاری گروه های آتلانتیک غربی و مانده است.کین (Cheik-Anta-Diop-University، Dakar-Fann، سنگال) اعداد را به حدود بیست زبان رایج در سنگال تجزیه و تحلیل می کند. بنابراین او تحقیقات مقدماتی را در چهار حوزه انجام داد: زبان‌شناسی آفریقایی، تاریخ سیستم‌های اعداد، آثار آفریقایی‌ها و زبان‌های آفریقایی که در سنگال صحبت می‌شوند (همانطور که با مصاحبه با بسیاری از گویشوران به زبان‌های مشابه و متفاوت فهمیده می‌شود). سیستم‌های اعداد گفتاری، مانند سیستم Mandé، مستعد اصلاح و تکامل هستند. کین روشی را برای تجزیه و تحلیل سیستم‌های عددی ایجاد می‌کند که با ویژگی‌های «فرهنگ‌های شفاهی» سازگار است.

نمادگرایی اعداد

زاسلاوسکی فصلی را به نمادگرایی اعداد، خرافات و تابوهای شمارش اختصاص داد (1973، 52-57؛ ر.ک. Williamson & Timitimi (1970، Ijo، نیجریه)). Vergani (1981) یک پایان نامه دکتری در مورد نمادگرایی اعداد در میان Tchokwe آنگولا نوشت (به زیر نگاه کنید: شبکه ها). Ojoade (1988) مقاله ای در مورد شماره 3 در افسانه های آفریقایی منتشر کرد و قداست، عرفان و تابوهای متصل به آن را برجسته کرد (همچنین نیکلاس، 1968 را رجوع کنید). در پیج (1987) اشیاء هنر آفریقایی، عمدتاً از یروبا (نیجریه) در تابعی از تکرارهای درگیر تحلیل می‌شوند. اشیاء دوگانه متداول‌ترین دوگانگی‌ها را تداعی می‌کنند: خوب/بد، زندگی/مرگ. اشیای سه گانه گاهی اوقات یک سلسله مراتب را برمی انگیزند. اجسام چهارگانه ممکن است با جهت های موجود در فضا مرتبط باشند. احتمالاً با جستجوی منظم در ادبیات قوم نگاری و همچنین عاشقانه ها، زندگی نامه ها و غیره. اطلاعات بسیار بیشتری در مورد نماد اعداد در فرهنگ های آفریقایی ممکن است یافت شود. برای مثال، مطالعه انسان‌شناختی تورنتون اهمیت عدد 9 را در میان عراقی‌های تانزانیا توضیح می‌دهد (1980، ص.96، 167، 183). نماد اعداد ممکن است مبنایی منطقی داشته باشد. به عنوان مثال، سبد سازان ماکوا در شمال موزامبیک، اعداد فرد یا مقادیر فرد از نوارهای گیاهی را «زشت» می نامند، و آنها دلایل خوبی برای این کار دارند (اسماعیل، 1991؛ بحث قبلی در مورد اعداد «زوج» و «فرد» در سبد فروشی در گردس. ، 1985 a). مطمئناً، جمع‌آوری بیشتر داده‌های شفاهی ممکن است نور جدیدی را در اعداد آفریقایی ایجاد کند. نماد اعداد ممکن است مبنایی منطقی داشته باشد. به عنوان مثال، سبد سازان ماکوا در شمال موزامبیک، اعداد فرد یا مقادیر فرد از نوارهای گیاهی را «زشت» می نامند، و آنها دلایل خوبی برای این کار دارند (اسماعیل، 1991؛ بحث قبلی در مورد اعداد «زوج» و «فرد» در سبد فروشی در گردس. ، 1985 a). مطمئناً، جمع‌آوری بیشتر داده‌های شفاهی ممکن است نور جدیدی را در اعداد آفریقایی ایجاد کند. نماد اعداد ممکن است مبنایی منطقی داشته باشد. به عنوان مثال، سبد سازان ماکوا در شمال موزامبیک، اعداد فرد یا مقادیر فرد از نوارهای گیاهی را «زشت» می نامند، و آنها دلایل خوبی برای این کار دارند (اسماعیل، 1991؛ بحث قبلی در مورد اعداد «زوج» و «فرد» در سبد فروشی در گردس. ، 1985 a). مطمئناً، جمع‌آوری بیشتر داده‌های شفاهی ممکن است نور جدیدی را در اعداد آفریقایی ایجاد کند.

معماها و معماها

Zaslavsky (1973, 109-110) معمایی از Kpelle (لیبریا) در مورد مردی ارائه می دهد که یک پلنگ، یک بز و انبوهی از برگ های کاساوا دارد که باید از طریق رودخانه منتقل شوند، که در آن شرایط خاصی باید برآورده شود: قایق نمی تواند بیش از یک نفر را در یک زمان حمل کند، غیر از خود شخص. بز را نمی توان با پلنگ تنها گذاشت و بز اگر نگهبانی نداشته باشد برگ های کاساوا را می خورد. چگونه می تواند آنها را از رودخانه عبور دهد؟ Ascher (1990) این مسئله عبور از رودخانه را در یک دیدگاه بین فرهنگی قرار می دهد و جنبه های ریاضی-منطقی پازل های داستانی از این نوع از الجزایر، جزایر کیپ ورد، اتیوپی، لیبریا، تانزانیا و زامبیا را تحلیل می کند. حل دشوارتر یک «معمای حسابی» از والوچازی (شرق آنگولا و شمال غربی زامبیا) است که توسط Kubik (1990) ضبط و تجزیه و تحلیل شده است: «این ... داستان معضل درباره سه زن و سه مرد است که می خواهند از رودخانه ای عبور کنند تا در آن طرف رقص شرکت کنند. با رودخانه بین آنها یک قایق با ظرفیت تنها دو نفر در یک زمان وجود دارد. با این حال، هر یک از مردان آرزو دارند که با هر سه زن به تنهایی ازدواج کنند. در مورد عبور، آنها مایلند دو به دو، هر مرد با شریک زن خود عبور کنند، اما در صورت عدم موفقیت هر یک از مردان دیگر می تواند همه زنان را برای خود مطالبه کند. چگونه عبور می کنند؟» (کوبیک، 1990، 62). برای حل مسئله یا توضیح راه حل، نقاشی های کمکی روی شن کشیده می شود. فتکی (1991) معماهایی را که در کودکی در اوگاندا آموخته است، توصیف می کند. با رودخانه بین آنها یک قایق با ظرفیت تنها دو نفر در یک زمان وجود دارد. با این حال، هر یک از مردان آرزو دارند که با هر سه زن به تنهایی ازدواج کنند. در مورد عبور، آنها مایلند دو به دو، هر مرد با شریک زن خود عبور کنند، اما در صورت عدم موفقیت هر یک از مردان دیگر می تواند همه زنان را برای خود مطالبه کند. چگونه عبور می کنند؟» (کوبیک، 1990، 62). برای حل مسئله یا توضیح راه حل، نقاشی های کمکی روی شن کشیده می شود. فتکی (1991) معماهایی را که در کودکی در اوگاندا آموخته است، توصیف می کند. با رودخانه بین آنها یک قایق با ظرفیت تنها دو نفر در یک زمان وجود دارد. با این حال، هر یک از مردان آرزو دارند که با هر سه زن به تنهایی ازدواج کنند. در مورد عبور، آنها مایلند دو به دو، هر مرد با شریک زن خود عبور کنند، اما در صورت عدم موفقیت هر یک از مردان دیگر می تواند همه زنان را برای خود مطالبه کند. چگونه عبور می کنند؟» (کوبیک، 1990، 62). برای حل مسئله یا توضیح راه حل، نقاشی های کمکی روی شن کشیده می شود. فتکی (1991) معماهایی را که در کودکی در اوگاندا آموخته است، توصیف می کند. (کوبیک، 1990، 62). برای حل مشکل یا توضیح راه حل، نقشه های کمکی در ماسه انجام می شود. فاتکی (1991) معماهایی را که در کودکی در اوگاندا آموخته است، شرح می دهد. (کوبیک، 1990، 62). برای حل مشکل یا توضیح راه حل، نقشه های کمکی در ماسه انجام می شود. فاتکی (1991) معماهایی را که در کودکی در اوگاندا آموخته است، شرح می دهد.

هنر و تقارن (همچنین به زیر مراجعه کنید: روانشناسی میان فرهنگی)

نجوک (دانشگاه یائوند، کامرون) رابطه بین هنر آفریقایی و ریاضیات را اینگونه توصیف می کند: "ریاضیات محض هنر خلق و تخیل است. از این نظر هنر سیاه ریاضیات است" (1985، 8).

ریاضیدانان بیشتر تقارن ها را در هنر آفریقا تجزیه و تحلیل کرده اند. تقارن الگوهای تکراری ممکن است بر اساس 24 نوع مختلف از الگوهای ممکن طبقه بندی شوند که می توان از آنها برای پوشاندن سطح صفحه استفاده کرد (به اصطلاح 24 گروه صفحه به دلیل فدروف، 1891 مراجعه کنید). از این تعداد، هفت مورد تنها در یک جهت ترجمه را می پذیرند و الگوهای نواری نامیده می شوند. 17 باقی مانده که دو ترجمه مستقل را پذیرفته اند، الگوهای صفحه نامیده می شوند. کرو در فصل 14 (زاسلاوسکی، 1973)، این طبقه‌بندی را برای نقوش تزئینی که بر روی پارچه‌های رافیا در باکوبا (زئیر) ظاهر می‌شوند (Crowe, 1971)، برنزهای بنین، و پارچه‌های تحسین برانگیز یوروبا (نیجریه) اعمال می‌کند. ، نشان می دهد که هر هفت الگوی نوار و بسیاری از الگوهای صفحه رخ می دهد. کرو این تحقیق را ادامه داد و کاتالوگی از الگوهای بنین را منتشر کرد (کرو، 1975) و تجزیه و تحلیل تقارن پیپ های سیگاری بگو (غنا) (کرو، 1982 الف؛ همچنین کروو، 1982 ب). در Washburn و Crowe (1988) تعدادی از الگوها از زمینه های آفریقایی به همین ترتیب طبقه بندی شده اند. اخیراً واشبورن (1990، فصل 5) نشان داد که چگونه یک تحلیل تقارن الگوهای رافیا می تواند الگوهای تولید شده توسط گروه های مختلف باکوبا را متمایز کند. اگرچه استفاده از گروه‌های کریستالوگرافی در تحلیل تقارن‌ها در هنر آفریقایی، تخیل خلاق هنرمندان و صنعتگران درگیر و ظرفیت آن‌ها برای انتزاع را تأیید و تأکید می‌کند (ر.ک. Meurant، 1987)، این مطالعات بر چگونگی هنرمندان و هنرمندان تمرکز نمی‌کنند. خود صنعتگران تقارن آنها را طبقه بندی و تحلیل می کنند. این میدان برای تحقیقات بیشتر باز است. زاسلاوسکی (1979) نمونه هایی از الگوهای نواری و صفحه ای و تقارن های دوطرفه و چرخشی را ارائه می دهد. در هنر، معماری و طراحی آفریقا رخ می دهد. چرا تقارن ها در فرهنگ انسانی به طور کلی و در صنایع دستی و هنر آفریقایی به طور خاص ظاهر می شود؟ این سوال توسط گردس در یک سری مطالعات مطرح شده است. او منشا تقارن محوری، دو محوری و چرخشی مرتبه 4 را در سبد بازی آفریقایی تحلیل می کند (Gerdes, 1985a, 1987, 1989a, 1990c, 1991c). در (Gerdes, 1991b) نشان داده شده است که چگونه تقارن پنج گانه به طور کاملاً «طبیعی» زمانی پدیدار شد که صنعتگران در حال حل برخی از مشکلات در (سبد) بافی بودند. نمونه‌های انتخاب شده از فرهنگ‌های موزامبیک از بافت کیف دستی، کلاه و سبد گرفته تا ساخت جارو را شامل می‌شود. او منشا تقارن محوری، دو محوری و چرخشی مرتبه 4 را در سبد بازی آفریقایی تحلیل می کند (Gerdes, 1985a, 1987, 1989a, 1990c, 1991c). در (Gerdes, 1991b) نشان داده شده است که چگونه تقارن پنج گانه به طور کاملاً «طبیعی» زمانی پدیدار شد که صنعتگران در حال حل برخی از مشکلات در (سبد) بافی بودند. نمونه‌های انتخاب شده از فرهنگ‌های موزامبیک از بافت کیف دستی، کلاه و سبد گرفته تا ساخت جارو را شامل می‌شود. او منشا تقارن محوری، دو محوری و چرخشی مرتبه 4 را در سبد بازی آفریقایی تحلیل می کند (Gerdes, 1985a, 1987, 1989a, 1990c, 1991c). در (Gerdes, 1991b) نشان داده شده است که چگونه تقارن پنج گانه به طور کاملاً «طبیعی» زمانی پدیدار شد که صنعتگران در حال حل برخی از مشکلات در (سبد) بافی بودند. نمونه‌های انتخاب شده از فرهنگ‌های موزامبیک از بافت کیف دستی، کلاه و سبد گرفته تا ساخت جارو را شامل می‌شود.

لنگدون (1989، 1990) تقارن پارچه های «ادینکرا» (غنا) را توصیف می کند و احتمالات استفاده از آنها را در کلاس درس بررسی می کند. در دیدگاهی مشابه، هریس (1988) نه تنها طرح‌های چاپ روی پارچه‌های ساده بافته شده از غنا، بلکه همچنین تقارن‌های روی سبدهای بوتسوانا و بلوزهای بوبا از یوروبا (نیجریه) را توصیف و بررسی می‌کند.

بازی ها

از جمله بازی‌هایی با «مواد» ریاضی که در (زاسلاوسکی، 1973، 102-136) به آنها اشاره شده است، شمارش قافیه‌ها و ریتم‌ها، بازی‌های سه‌طرفه، تنظیم‌ها، بازی‌های شانسی و بازی‌های رومیزی است. Zaslavsky (1982) اطلاعات بیشتری در مورد بازی های سه در یک ردیف در آفریقا می دهد. راس (1984؛ بررسی توسط کرو، 1987) قوانین و تاریخچه مختصری از بازی‌های «مانکالا» را ارائه می‌کند (به Townshend، 1979 مراجعه کنید)، همچنین با نام‌های Ayo، Bao، Wari، Mweso، Ntchuva و غیره شناخته می‌شود. Zaslavsky (1989، AMUCHMA3) ، p.6) نشان می دهد که بررسی جنبه های ریاضی بیشتر بازی های سنتی می تواند در بازسازی تاریخ تفکر ریاضی در آفریقا مهم باشد. او به عنوان نقطه شروع، همراه با راس (1984) به انتشارات زیر اشاره می کند: Béart (1955)، Centner (1963)، Driedger (1972)، کلپسیگ (1972)، و Pankhurst (1971). بیارت"بازی‌های غرب آفریقا " توسط Doumbia (1989a) بررسی شده است. در این فهرست، " Omweso: بازی مردم در اوگاندا " (1968) از Nsimbi، " بازی‌های استراتژیک در کامرون و جنبه‌های ریاضی آنها " Mizoni (1971)، Deledicq و پوپووا " واری و انفرادی، بازی محاسباتی آفریقایی " (1977)، " قوانین و استراتژی های بازی awélé " بالو (1978) و بازی های استراتژی آفریقایی کرینکار آنها بر روی بازی های سنتی آفریقایی به طبقه بندی، حل مسائل ریاضی مطرح شده توسط بازی ها و تجزیه و تحلیل احتمالات استفاده از این بازی ها در کلاس ریاضی می پردازد. نتیجه گیری آنها - به همان اندازه که آشکار کننده است - که قوانین برخی بازی ها، مانند Nigbé Alladian، دانش سنتی و حداقل تجربی از احتمالات را نشان می دهد، مطمئناً تحقیقات بیشتری را تحریک خواهد کرد. Vergani (دانشگاه آزاد، لیسبون) یک مونوگراف در مورد جنبه های ریاضی بازی های فکری در آنگولا آماده می کند. Mve Ondo (دانشگاه عمر-بونگو، گابن) اخیراً (1990) مطالعه ای را در مورد دو «بازی محاسباتی»، یعنی بازی های «مانکالا»، Owani (کنگو) و Songa (کامرون، گابن، گینه استوایی) منتشر کرد. رابطه احتمالی بین حافظه بصری و تمرکز برای موفقیت در بسیاری از بازی‌های آفریقایی ضروری است (به پل،

هندسه و معماری

فصل 13 از (Zaslavsky, 1973a, 155-171) (Cf. Zaslavsky, 1989) به فرم هندسی در معماری اختصاص دارد. اطلاعات بیشتر در مورد اشکال هندسی و تزئینات ساختمان های سنتی آفریقا را می توان در (دنیر، 1978) یافت. (Anon., 1987) کتابشناسی در مورد معماری آفریقا ارائه می دهد. پروسین توجه را به این واقعیت جلب می کند که در آفریقای غربی، ریاضیدان- محقق و سازنده طراحی معماری اغلب ممکن است یک شخص باشند (1986، 208). او به رابطه بین مربع‌های جادویی و ساختار گنبدها اشاره می‌کند و اظهار می‌دارد که «تعدادی از الگوهای تمبر «آدینکرا» [آشانتی، غنا] که مستقیماً با اسلام مرتبط است نیز در محیط معماری مورد استفاده قرار گرفته است» (پروسین، 1986، 240). رورمن (1974) و متیوز (1974) دکوراسیون خانه و نقاشی دیواری را در جنوب آفریقا توصیف می کنند. انتشارات NTTC (1976) فهرستی از الگوهای هندسی مورد استفاده در دیوارهای خانه در لسوتو ارائه می دهد. این مطالعات ممکن است به عنوان نقطه شروعی برای تحقیقات بیشتر در مورد هندسه و تزئینات ساختمان ها باشد. اگلاش و برادول (1989) به روابط احتمالی بین هندسه فراکتال مدرن و الگوهای سکونتگاه سنتی (دانش در مورد) در آفریقا علاقه مند هستند. گردس (1985a) دانش هندسی مورد استفاده در چیدمان پلان خانه های دایره ای یا مستطیلی را در موزامبیک توصیف می کند. شاگرد او ماهانجان (1989) دانش هندسی به کار رفته در ساخت انبارهای غله سنتی برای ذرت و لوبیا در استان غزه در جنوب موزامبیک را کشف می کند. اگلاش و برادول (1989) به روابط احتمالی بین هندسه فراکتال مدرن و الگوهای سکونتگاه سنتی (دانش در مورد) در آفریقا علاقه مند هستند. گردس (1985a) دانش هندسی مورد استفاده در چیدمان پلان خانه های دایره ای یا مستطیلی را در موزامبیک توصیف می کند. شاگرد او ماهانجان (1989) دانش هندسی به کار رفته در ساخت انبارهای غله سنتی برای ذرت و لوبیا در استان غزه در جنوب موزامبیک را کشف می کند. اگلاش و برادول (1989) به روابط احتمالی بین هندسه فراکتال مدرن و الگوهای سکونتگاه سنتی (دانش در مورد) در آفریقا علاقه مند هستند. گردس (1985a) دانش هندسی مورد استفاده در چیدمان پلان خانه های دایره ای یا مستطیلی را در موزامبیک توصیف می کند. شاگرد او ماهانجان (1989) دانش هندسی به کار رفته در ساخت انبارهای غله سنتی برای ذرت و لوبیا در استان غزه در جنوب موزامبیک را کشف می کند.

کشف ایده های "پنهان" ریاضی: فرم هندسی

بسیاری از ایده‌ها و فعالیت‌های «ریاضی» در فرهنگ‌های آفریقایی به صراحت ریاضی نیستند. آنها اغلب با هنر، صنایع دستی، معماها، بازی ها، سیستم های گرافیکی و سنت های دیگر در هم آمیخته می شوند. ریاضیات اغلب "پنهان" است. چگونه ممکن است این دانش "پنهان" آشکار شود؟ و از آنجایی که برخی از سنت‌ها امروزه منسوخ شده‌اند، این "کشف" اغلب به معنای بازسازی آزمایشی دانش است که در گذشته وجود داشته است. گردس (1985a) مفهوم ریاضیات "پنهان" را بررسی می کند و روش هایی را برای "کشف" و بازسازی تفکر هندسی "پنهان" توسعه می دهد (همچنین رجوع کنید به Gerdes, 1986a, 1986b, 1987, 1990c, 1990e). یکی از این روش ها را می توان به صورت زیر مشخص کرد: هنگام تجزیه و تحلیل اشکال هندسی اشیاء سنتی - مانند سبد، حصیر، گلدان، خانه، تله ماهی - محقق این سوال را مطرح می کند: چرا این محصولات مادی شکلی را دارند که دارند؟ برای پاسخ به این سوال، محقق تکنیک های معمول تولید را یاد می گیرد و سعی می کند در هر مرحله از فرآیند تولید، اشکال را تغییر دهد. با انجام این کار، محقق مشاهده می کند که فرم به طور کلی مزایای عملی بسیاری را نشان می دهد و اغلب، تنها راه حل ممکن یا بهینه یک مسئله تولید است. با به کارگیری این روش می توان اطلاعاتی در مورد خواص و روابط دایره ها، زوایا، مستطیل ها، مربع ها، پنج ضلعی ها و شش ضلعی های منظم، مخروط ها، هرم ها، استوانه ها، تقارن و غیره که احتمالاً در ابداع تکنیک های تولید در حال بررسی (رجوع کنید به Gerdes, 1985a, 1990c). چرا این محصولات مادی دارای شکلی هستند که دارند؟ برای پاسخ به این سوال، محقق تکنیک های معمول تولید را یاد می گیرد و سعی می کند در هر مرحله از فرآیند تولید، اشکال را تغییر دهد. با انجام این کار، محقق مشاهده می کند که فرم به طور کلی مزایای عملی بسیاری را نشان می دهد و اغلب، تنها راه حل ممکن یا بهینه یک مسئله تولید است. با به کارگیری این روش می توان اطلاعاتی در مورد خواص و روابط دایره ها، زوایا، مستطیل ها، مربع ها، پنج ضلعی ها و شش ضلعی های منظم، مخروط ها، هرم ها، استوانه ها، تقارن و غیره که احتمالاً در ابداع تکنیک های تولید در حال بررسی (رجوع کنید به Gerdes, 1985a, 1990c). چرا این محصولات مادی دارای شکلی هستند که دارند؟ برای پاسخ به این سوال، محقق تکنیک های معمول تولید را یاد می گیرد و سعی می کند در هر مرحله از فرآیند تولید، اشکال را تغییر دهد. با انجام این کار، محقق مشاهده می کند که فرم به طور کلی مزایای عملی بسیاری را نشان می دهد و اغلب، تنها راه حل ممکن یا بهینه یک مسئله تولید است. با به کارگیری این روش می توان اطلاعاتی در مورد خواص و روابط دایره ها، زوایا، مستطیل ها، مربع ها، پنج ضلعی ها و شش ضلعی های منظم، مخروط ها، هرم ها، استوانه ها، تقارن و غیره که احتمالاً در ابداع تکنیک های تولید در حال بررسی (رجوع کنید به Gerdes, 1985a, 1990c). محقق تکنیک های معمول تولید را یاد می گیرد و سعی می کند در هر مرحله از فرآیند تولید، اشکال را تغییر دهد. با انجام این کار، محقق مشاهده می کند که فرم به طور کلی مزایای عملی بسیاری را نشان می دهد و اغلب، تنها راه حل ممکن یا بهینه یک مسئله تولید است. با به کارگیری این روش می توان اطلاعاتی در مورد خواص و روابط دایره ها، زوایا، مستطیل ها، مربع ها، پنج ضلعی ها و شش ضلعی های منظم، مخروط ها، هرم ها، استوانه ها، تقارن و غیره که احتمالاً در ابداع تکنیک های تولید در حال بررسی (رجوع کنید به Gerdes, 1985a, 1990c). محقق تکنیک های معمول تولید را یاد می گیرد و سعی می کند در هر مرحله از فرآیند تولید، اشکال را تغییر دهد. با انجام این کار، محقق مشاهده می کند که فرم به طور کلی مزایای عملی بسیاری را نشان می دهد و اغلب، تنها راه حل ممکن یا بهینه یک مسئله تولید است. با به کارگیری این روش می توان اطلاعاتی در مورد خواص و روابط دایره ها، زوایا، مستطیل ها، مربع ها، پنج ضلعی ها و شش ضلعی های منظم، مخروط ها، هرم ها، استوانه ها، تقارن و غیره که احتمالاً در ابداع تکنیک های تولید در حال بررسی (رجوع کنید به Gerdes, 1985a, 1990c). اغلب، تنها راه حل ممکن یا بهینه یک مشکل تولید است. با به کارگیری این روش می توان اطلاعاتی در مورد خواص و روابط دایره ها، زوایا، مستطیل ها، مربع ها، پنج ضلعی ها و شش ضلعی های منظم، مخروط ها، هرم ها، استوانه ها، تقارن و غیره که احتمالاً در ابداع تکنیک های تولید در حال بررسی (رجوع کنید به Gerdes, 1985a, 1990c). اغلب، تنها راه حل ممکن یا بهینه یک مشکل تولید است. با به کارگیری این روش می توان اطلاعاتی در مورد خواص و روابط دایره ها، زوایا، مستطیل ها، مربع ها، پنج ضلعی ها و شش ضلعی های منظم، مخروط ها، هرم ها، استوانه ها، تقارن و غیره که احتمالاً در ابداع تکنیک های تولید در حال بررسی (رجوع کنید به Gerdes, 1985a, 1990c).

شبکه ها، نمودارها یا 'sanddrawings'

یک بخش از Zaslavsky (1973a, 105-109) بر اساس اطلاعات توردی (1925) در مورد بوشونگو (زئیر واقعی) و مطالعه باستین (1961) در مورد هنر تزئینی Tchokwe (آنگولا) به شبکه ها اختصاص یافت (برای استفاده آموزشی از تحلیل زاسلاوسکی از شبکه های بوشونگو، به NCTM (1984) و Whitcombe & Donaldson (1988) مراجعه کنید. او به اطلاعات قوم نگاری در چنین شبکه هایی که بومان (1935، 222-223)، هاملبرگر (1952) و دوس سانتوس (1961) منتشر کرده بودند، دسترسی نداشت. از زمان انتشار « آفریقا شمارش » مجموعه‌های قوم‌نگاری بزرگی از شبکه‌ها در دسترس قرار گرفته‌اند: پیرسون (1977: «سندگراف» مشاهده‌شده در دهه 1920 در استان‌های کواندو-کووانگا و موکسیکو آنگولا). فونتینها (1983: " سونا' یا 'sanddrawings' که عمدتاً در میان Tchokwe در شمال شرقی آنگولا در طول دهه های 1940 و 1950 جمع آوری شده است). و Kubik (1986، 1987a، 1987b، 1988: شبکه های مشاهده شده در میان (Va)luchazi در شمال غربی زامبیا در طول دهه 1970). به منظور تسهیل به خاطر سپردن «سونای» استاندارد شده خود، کارشناسان طراحی از دستگاه یادگاری زیر استفاده کردند. پس از تمیز کردن و صاف کردن زمین، ابتدا با نوک انگشتان خود شبکه ای متعامد از نقاط مساوی را به راه انداختند. اکنون یک یا چند خط رسم می شود که نقاط قاب مرجع را در بر می گیرد. متخصصان ترسیم با به کارگیری روش خود، به خاطر سپردن یک طراحی کامل را به دو عدد (ابعاد قاب مرجع) و یک الگوریتم هندسی (قاعده نحوه رسم خط(های) در آغوش می کشند) کاهش می دهند. بیشتر نقاشی ها متعلق به یک سنت طولانی است (ر.ک. Redinha، 1948). به ضرب المثل ها، افسانه ها، بازی ها، معماها، حیوانات و... اشاره می کنند و در انتقال دانش و حکمت از نسلی به نسل دیگر نقش بسزایی دارند. از نظر کوبیک، «سونا» «دانش ریاضی تجربی را منتقل می‌کند» (1987a, 450). هندسه «سونا» یک «هندسه غیر اقلیدسی» است: «اجداد مردمان آنگولای شرقی ریاضیات عالی و هندسه غیراقلیدسی را بر اساس تجربی و با بکارگیری بینش خود برای اختراع این پیکربندی‌های منحصربه‌فرد کشف کردند» (کوبیک). ، 1987b، 108). او توجه را به تقارن بسیاری از "سونا"، قوانین ضمنی برای ساخت و قوانین برای لنگر انداختن فیگورهای یکسان جلب می کند. انتشارات قوم نگاری مجموعه «سونا» توجه ریاضیدانان را به خود جلب کرد. Ascher و Gerdes به طور مستقل بر روی "سونا" تحقیق کردند. مطالعه اشر (1988، 1991) با جنبه های هندسی و توپولوژیکی "سونا"، به ویژه، با تقارن، گسترش، بزرگ شدن از طریق تکرار، و هم شکلی سروکار دارد. گردس (1989a, 120-189) تقارن و تک خطی (یعنی یک شکل کامل از یک خط تشکیل شده است) را به عنوان ارزش های فرهنگی، کلاس های "سونا" و الگوریتم های هندسی مربوطه برای ساخت آنها، ساخت سیستماتیک الگوهای زمینی تک خطی، زنجیره و قوانین حذف برای ساخت "سونا" تک خطی. پیشنهاد می‌شود که «کارشناسان ترسیم» که این قوانین را ابداع کرده‌اند، احتمالاً می‌دانستند که چرا معتبر هستند، یعنی آنها می توانستند به هر طریقی صحت قضایایی را که این قواعد بیان می کنند ثابت کنند. او همچنین با بازسازی تقارن‌ها و تک‌خطی‌های از دست رفته با استفاده از تحلیل خطاهای ترسیمی احتمالی در «سونا» گزارش‌شده، پیشرفت می‌کند (برای خلاصه مقدماتی یافته‌های تحقیقاتی‌اش، نگاه کنید به: Gerdes, 1990d, 1991d and 1991e). گردس با الهام از یافته های تحقیقات تاریخی خود، احتمالاتی را برای استفاده از «سونا» در آموزش ریاضیات آزمایش کرد تا به سنت علمی غنی که در حال محو شدن بود، ارزش بگذارد و احیا کند. 1990a؛ 1991a و g؛ ر.ک. Ratteray، 1991). او همچنین یک کاوش ریاضی در مورد ویژگی‌های برخی از کلاس‌های (بسط یافته) «سونا» را آغاز کرد (رجوع کنید به Gerdes, 1989a, 288-297). به روشی مشابه، Kubik'
الگوهای تک خطی در سایر زمینه های آفریقایی نیز ظاهر می شوند. به عنوان مثال، Prussin (1986، 90) یک الگوی متقارن تک خطی را بر روی تونیک جنگجوی Fulbe از سنگال نشان می دهد. مطالعه انواع و گسترش الگوهای تک خطی در سراسر قاره آفریقا مستحق تحقیقات بیشتر است.

نمونه ای از منطقه ای که هنوز کشف نشده است

یکی از بسیاری از حوزه های فرهنگ آفریقایی که با توجه به جنبه های ریاضی ذاتی آنها هنوز مورد مطالعه قرار نگرفته است، فیگورهای رشته ای است . در جاهای دیگر، چنین تحلیلی قبلاً آغاز شده است: De Paula & De Paula (1988) هندسه پیکره های ریسمانی را در میان سرخپوستان تاپیراپی در برزیل مطالعه کردند. مور (1986) ارقام رشته ای از ناواهو و دیگر سرخپوستان آمریکای شمالی را تجزیه و تحلیل کرد و پتانسیل آنها را برای آموزش ریاضی بررسی کرد. در مورد آفریقا در جنوب صحرا، اطلاعات Wedgwood و Schapera (1939) در مورد پیکره های زهی بوتسوانا ممکن است به عنوان نقطه شروع عمل کند. آنها به مطالعات مربوط به پیکره های زهی در آفریقای مرکزی، لیبریا، نیجریه، سیرالئون، آفریقای جنوبی و تانزانیا
به طور کلی، هنگامی که ویژگی یا جنبه های ریاضی عناصر فرهنگی شناخته شد، ممکن است سعی شود تاریخچه تفکر ریاضی درگیر و روابط (احتمالی) آن با دیگر «رشته های» فرهنگی-ریاضی ردیابی شود و تلاش شود پتانسیل آموزشی و علمی آن ها کشف شود. .

مثالی برای دنبال کردن: تاریخ، اتنوماتیک و مطالعات آموزشی در دانشگاه احمدو بلو

دانشکده تعلیم و تربیت دانشگاه احمدو بلو (زاریا، نیجریه) در برانگیختن تحقیقات دانشجویی (کارشناسی ارشد، کارشناسی ارشد، پروژه‌های دکترا و پایان‌نامه‌ها) در مورد میراث ریاضی مردمان بسیار پویا بوده است. از نیجریه، ریاضیاتی که توسط کودکان و بزرگسالان درس نخوانده در زندگی روزمره استفاده می شود، و امکان جاسازی این دانش در آموزش ریاضی، به عنوان مثال Adaaku (1982: Tiv)، Akin & Fapenle (1985: Aweri)، Anzenge ao (1988: الگوریتم ها) ، انوکوها (1979: ایگبو)، گافای (1987: بزرگسالان درس نخوانده در ایالت کاتسینا)، هنری-کارمایکل (1986: کودکان نوپه درس نخوانده)، موسا (1987: هاوسا)، اولادیمجی (1987: یوروبا) و تاربو: 198 Idoma کودکان درس نخوانده). برای بررسی این پروژه های تحقیقاتی، شرلی (1986، 1988a، 1988b) را ببینید.
اگر همه یا بیشتر دانشگاه‌ها به اندازه دانشگاه احمدو بلو فعال شوند، دانش و استفاده از سنت‌های ریاضی جنوب صحرا به سرعت رشد می‌کند و کمک قابل توجهی به ارزش‌گذاری میراث آفریقا خواهد کرد.

بین رشته ای

از آنجایی که تاریخ ریاضیات در آفریقا را نمی توان جدا از توسعه فرهنگ به طور کلی در نظر گرفت یا از تکامل هنر، کیهان شناسی، فلسفه، علوم طبیعی، پزشکی، سیستم های گرافیکی و به طور خاص جدا کرد، تاریخ نگاری ریاضیات آفریقایی باید یافته های تحقیقات سایر رشته ها را در نظر بگیرد:

* فیزیک، نجوم و کیهان شناسی

پاپادموس (1983) طرح کلی نقش آفریقا در تاریخ فیزیک را ارائه می دهد. Weule (1921) بر اساس کار میدانی خود در شرق آفریقا، اشکال اولیه مکانیک را مورد مطالعه قرار داد. لینچ و رابینز (1983) شواهدی را از Namoratunga، یک مکان مگالیتیک در شمال غربی کنیا، تحلیل می‌کنند که نشان می‌دهد یک تقویم ماقبل تاریخ مبتنی بر دانش دقیق نجومی در شرق آفریقا (حدود 300 قبل از میلاد) در حال استفاده بوده است. دونداس (1926) محاسبه زمان پیش از استعمار را در میان واچاگا (منطقه کیلامانجارو) توصیف می کند: سال به دوازده ماه تقسیم می شود. هر ماه سی روز دارد و به شش دوره پنج روزه تقسیم می شود. "توپولوژی زمان" در میان عراقی های تانزانیا توسط ثورتون (1980) تحلیل شده است. مفاهیم زمان، محاسبه زمان و کیهان شناسی کاگورا (شرق آفریقا)، از Dwala (کامرون) و از Tiv (نیجریه) به ترتیب توسط Beidelman (1963)، Bekombo (1966-1967) و Bohannan (1953) توصیف و تجزیه و تحلیل شده است. Lacroix (1972) در مورد عبارات زمانی در برخی از زبان های غرب آفریقا بحث می کند. تقویم‌های سنتی آفریقایی یکی از موضوعات تحقیقاتی گروه مطالعاتی «سیستم‌های فکری در آفریقای سیاه» در پاریس را تشکیل می‌دهند (بیکر، 1987، 53). اوبنگا (1987) ادبیات مربوط به دانش نجومی در مصر باستان را مرور می کند، از جمله بورانا (اتیوپی)، دوگون، لوبی، بامبارا (غرب آفریقا)، ویلی (کنگو)، نیش (کامرون، گینه استوایی، گابن)، و امبوچی (کنگو). ). مطالعه کلر (1902) به نماهای نجومی ایسوبو در کامرون می پردازد. Lacroix (1972) در مورد عبارات زمانی در برخی از زبان های غرب آفریقا بحث می کند. تقویم‌های سنتی آفریقایی یکی از موضوعات تحقیقاتی گروه مطالعاتی «سیستم‌های فکری در آفریقای سیاه» در پاریس را تشکیل می‌دهند (بیکر، 1987، 53). اوبنگا (1987) ادبیات مربوط به دانش نجومی در مصر باستان را مرور می کند، از جمله بورانا (اتیوپی)، دوگون، لوبی، بامبارا (غرب آفریقا)، ویلی (کنگو)، نیش (کامرون، گینه استوایی، گابن)، و امبوچی (کنگو). ). مطالعه کلر (1902) به نماهای نجومی ایسوبو در کامرون می پردازد. Lacroix (1972) در مورد عبارات زمانی در برخی از زبان های غرب آفریقا بحث می کند. تقویم‌های سنتی آفریقایی یکی از موضوعات تحقیقاتی گروه مطالعاتی «سیستم‌های فکری در آفریقای سیاه» در پاریس را تشکیل می‌دهند (بیکر، 1987، 53). اوبنگا (1987) ادبیات مربوط به دانش نجومی در مصر باستان را مرور می کند، از جمله بورانا (اتیوپی)، دوگون، لوبی، بامبارا (غرب آفریقا)، ویلی (کنگو)، نیش (کامرون، گینه استوایی، گابن)، و امبوچی (کنگو). ). مطالعه کلر (1902) به نماهای نجومی ایسوبو در کامرون می پردازد. در میان بورانا (اتیوپی)، دوگون، لوبی، بامبارا (غرب آفریقا)، ویلی (کنگو)، نیش (کامرون، گینه استوایی، گابن)، و امبوچی (کنگو). مطالعه کلر (1902) به نماهای نجومی ایسوبو در کامرون می پردازد. در میان بورانا (اتیوپی)، دوگون، لوبی، بامبارا (غرب آفریقا)، ویلی (کنگو)، نیش (کامرون، گینه استوایی، گابن)، و امبوچی (کنگو). مطالعه کلر (1902) به نماهای نجومی ایسوبو در کامرون می پردازد.

* منطق و فلسفه

گلوکمن (1944)، گروتارت (1947)، هگبا (1958)، هیومبو (1979)، کاباسله (1976)، کیباسومبا (1980) به تجزیه و تحلیل توسعه منطق در آفریقا کمک می‌کنند (همچنین به کار بین‌الملل مراجعه کنید). شورای آفریقایی برای فلسفه [Houtondji، 1987]). گی و ولمرز (1971) ریاضیات و منطق را در زبان کپل (لیبریا) تجزیه و تحلیل کردند.

* فن آوری

اولین تلاش آزمایشی برای تجزیه و تحلیل صنایع دستی و فناوری در شرق آفریقا در یک دیدگاه تاریخی، مطالعه Stuhlmann (1910) است. با این حال، مطالعات از این نوع نسبتاً نادر است، همانطور که توماس-اماگوالی (1988) تأکید می کند: علیرغم اهمیت تاریخ فناوری، در تاریخ نگاری آفریقایی به طور کلی و در تاریخ نگاری نیجریه به طور خاص کمبود نسبی نوشته ها در مورد این موضوع وجود دارد. ارزیابی او از نقش تاریخ نگاری شفاهی در بازسازی تاریخ فناوری از منظر روش شناختی حائز اهمیت است. یکی از مشکلات عمده (ص 69) که مورخ فناوری در جریان کار میدانی با آن مواجه است، بی میلی دست اندرکاران به افشای اسرار تکنولوژیک است، به طوری که آنها می توانند مقداری قدرت رقابتی را بر رقبای بالقوه و بالفعل خود حفظ کنند. امروزه تکنسین ها و صنعتگران هنگام استفاده از تکنیک های باستانی در ساخت اشیاء مادی (تکنولوژی آهن، تولید نساجی، سبد فروشی، نجاری) اغلب از اصول دقیق علمی و مهندسی بی اطلاع هستند. بنابراین، به گفته توماس-اماگوالی، محقق "باید قادر به شناسایی اصول زیربنایی موجود در فرآیند باشد" (ص. 70؛ رجوع کنید به گردس در مورد تفکر ریاضی "پنهان").

* زبان شناسی و ریاضیات

مطالعات در مورد تعاملات متعدد و متنوع بین زبان های آفریقایی و یادگیری ریاضیات داده های مهمی را در مورد مفاهیم و ایده های ریاضی در فرهنگ های آفریقایی ارائه می دهد. به عنوان مثال به گزارش های سمینارهای سازماندهی شده توسط CASME (1975)، یونسکو (1975) و IREM Niamey (1977)، و اسنادی مانند Yohannes (1974)، NUL (1980)، و Lassa (1980) مراجعه کنید. والمن (1965) مطالعه ای را در مورد ارتباطات اندازه گیری در لسوتو انجام داد. ماشیندا (1988) مشکلات منطقی و زبانی دانش‌آموزان در زئیر را تحلیل کرد. زپ (1982a) درک دوزبانه از اتصالات منطقی را در انگلیسی و سسوتو مورد مطالعه قرار داد و (1983a) تفکیک فراگیر را در زبان‌های آفریقای غربی تحلیل کرد. برای بررسی اجمالی، می توان با زپ (1990) مشورت کرد.

* روانشناسی رشد و روانشناسی بین فرهنگی

از زمان مطالعه کلاسیک Gay & Gole در مورد یادگیری ریاضی و ظرفیت‌های ریاضی در بین Kpelle لیبریا (1967)، محققان دانشگاه کرنل و دانشگاه روچستر (ایالات متحده آمریکا) یک سری مطالعات روان‌شناختی را در مورد دانش و ظرفیت‌های ریاضی در غرب آفریقا دنبال کردند: پتیتو (1978، 1982: خیاطان و بازرگانان درس نخوانده در ساحل عاج)، پوسنر (1978، 1982: کودکان بائوله و دیولا در ساحل عاج)، پوسنر و بارودی (1979: حفظ اعداد). به ویژه گینزبورگ (1978) و پتیتو و گینزبورگ (1982: محاسبات ذهنی) یافته های تحقیقاتی خود را در غرب آفریقا با نتایج به دست آمده در آمریکای شمالی مقایسه می کنند. اتوک (1967) نظریه پیاژه را با کودکان یوروبا (نیجریه) بررسی می کند. روانشناسان دیگر به بافت فرهنگی درک روابط فضایی تصویری (ادراک عمق تصویری) و طراحی علاقه نشان دادند (Deregowski, 1974a, 1976: Kenya, 1980: Zimbabwe [مدل سازی و طراحی]؛ Leach, 1975, 1978: Zim نیکلسون و سدون، 1977: نیجریه). روانشناسان بین فرهنگی به تقارن و بازتولید الگو نیز علاقه مند هستند (بنتلی، 1977: کنیا؛ درگووسکی، 1972، 1974 ب: زامبیا؛ جاهودا، 1976: غنا؛ تکان، 1963) و جهت گیری و چرخش نقاشی ها (Shapill,Shapill;1960; ، 1971: زامبیا). کنیا Deregowski، 1972، 1974b: زامبیا; جاهدا، 1976: غنا; تکانه، 1963) و در جهت گیری و چرخش نقشه ها (شاپیرو، 1960؛ سرپل، 1971: زامبیا). کنیا Deregowski، 1972، 1974b: زامبیا; جاهدا، 1976: غنا; تکانه، 1963) و در جهت گیری و چرخش نقشه ها (شاپیرو، 1960؛ سرپل، 1971: زامبیا).

* مشارکت

به منظور پیشرفت در مطالعه بین رشته ای تاریخ ریاضیات در آفریقا در جنوب صحرا، افزایش تماس ها، همکاری و تبادل ایده ها و یافته های پژوهشی بین مورخان ریاضیات، مربیان ریاضیات، ریاضیدانان، قوم شناسان، قوم شناسان و غیره مهم است. و سازمان هایی مانند برنامه مطالعات تکامل علم و فناوری در آفریقا (SESTA) آکادمی علوم آفریقا، مرکز بین المللی تمدن های بانتو ( CICIBA ، گابن)، شورای بین آفریقایی فلسفه، کمیسیون بین المللی در مورد تاریخ ریاضیات، گروه مطالعات بین المللی در مورد روابط بین تاریخ و آموزش ریاضیات ( HPM))، گروه مطالعاتی بین المللی در ریاضیات قومی ( ISGEm )، انجمن بین المللی مطالعات بین رشته ای تقارن (ISIS-Symmetry). AMUCHMA تلاش می کند تا این همکاری بین رشته ای را پویا کند.

روابط بین آفریقا در جنوب صحرا، شمال آفریقا و جهان خارج

روابط بین توسعه ریاضیات در آفریقا در جنوب صحرا و توسعه ریاضیات در مصر باستان، هم در یونانی و هم در شمال آفریقا اسلامی، و در سراسر اقیانوس‌های هند و اطلس مستحق مطالعه بیشتر است.

* مصر باستان

سوالات باز زیادی وجود دارد. برای مثال، آیا رابطه‌ای بین الگوهای تکراری و تقارن در نقاشی‌های صخره‌ای پیش از بانتو در موزامبیک وجود دارد، «ترکیب‌های دوتایی» نمادهای Pedi در ترانسوال (آفریقای جنوبی، رجوع کنید به جونود، 1935، 559-564)، عناصر یک ساختار دوتایی در برخی از سیستم‌های عددی آفریقایی و در اندازه‌گیری وزن اشانتی (غنا)، تکرار مبوسی (کنگو؛ ر.ک. اوبنگا، 1973)، و غیره و روش تکرار مصری (رجوع کنید به Gillings، 1972) برای ضرب؟ سوال باز دیگر و مهم این است: نقش «آفریقای سیاه» در توسعه «جامعه کلاسیک یونانی» چه بوده است (مثلاً به « آتنا سیاه » برنال مراجعه کنید."، 1987) و ریاضیات آن؟ اوبنگا (1991) اسناد ریاضی مصر باستان را مجددا تحلیل می کند و بر اهمیت آنها در توسعه فلسفه در آفریقا تاکید می کند. بر
اساس ایده های ریاضی درگیر در (اختراع) تکنیک های سبد بازی (مانند هرمی بافته شده). قیف ها در موزامبیک و زئیر) و حصیر سازان (مانند تشک های حلقوی "مارپیچ") و با در نظر گرفتن پیوندهای فرهنگی بین مصر باستان و بقیه "آفریقای سیاه" (ر.ک. Diop، 1981)، می توان فرضیه های جدیدی را فرموله کرد. در مورد اینکه چگونه فرمول های مصر باستان برای مساحت یک دایره (Gerdes, 1985b) و برای حجم یک هرم ناقص (Gerdes, 1985a, 1990c) ممکن است پیدا شده باشد.

* جهان اسلام-عربی (ر.ک. جبار، 1992)

در طول تاریخ، ارتباطات بسیار و متنوعی بین آفریقا در جنوب صحرا و شمال آفریقا وجود داشته است. از زمان تولد و گسترش اسلام، روابط تشدید و/یا گسترش یافته است. Zaslavsky (1973a, 138-151) کار محمد بن محمد از کاتسینا (در شمال نیجریه کنونی) را در مورد کرونوگرام ها و مربع های جادویی مورد بحث قرار می دهد. محمد بن محمد که شاگرد محمد الوالی بگیرمی بود، در سال 1730 به مکه زیارت کرد و در سال 1741 در قاهره درگذشت. مقاله ای در مورد علم الحساب (حساب) که توسط دانشمندان مسلمان شمال نیجریه قبل از استعمار مطالعه شده بود ارائه کرد و کار همان محمد بن محمد آل کاتسیناوی را در مورد مربع های جادویی و الگوهای عددی مورد بحث قرار داد. اخیراً نسخه خطی او در مراکش (مراکش) پیدا شده است (جبار، 1990، ارتباطات شفاهی). Prussin (1986, p.76, 147) به استفاده از مربع های جادویی در طلسم در میان فولبه ها و در نیجر، بنین و تیمبوکتو (مالی) اشاره دارد. توماس-اماگوالی (1987) به توسعه علم در جهان اسلام و انتشار آن در نیجریه قبل از 1903 می پردازد. دیوپ (1960، 167) به مطالعه منطق رسمی در تیمبوکتو اشاره می کند و لاپوسترل (باماکو، مالی) مطالعه ای را در مورد محتویات سه نسخه خطی ریاضی به زبان عربی که متعلق به کتابخانه احمد بابا در تیمبوکتو است. یکی از این سه نسخه خطی که رسم الخط آن برای آفریقا در جنوب صحرا است، به نظر می رسد توسط یک ریاضیدان اهل مالی به نام العروانی نوشته شده باشد. دو مورد دیگر حاوی ارجاعاتی به ریاضیدانان قرون وسطایی از مغرب هستند. جستجوی سیستماتیک در کتابخانه ها و آرشیوها احتمالاً به کشف نسخه های خطی ریاضی بیشتری از دانشمندان مسلمان جنوب صحرا منجر خواهد شد. همچنین ممکن است منابع دیگری نیز وجود داشته باشد که به زبان عربی نیز نوشته شده است، در مورد فعالیت های ریاضی در جنوب صحرا، به عنوان مثال در سواحل شرقی آفریقا، مانند نظرات مسافر احمد بن مجید در پایان قرن پانزدهم در مورد شمارش Wac-. Wac، احتمالاً نه یک بانتو، بلکه یک مردم خوی سان، که در آن زمان در جنوب و مرکز موزامبیک زندگی می‌کردند (ر.ک. Chumovsky & Jirmounsky, 1957, R.94 v.18).

* آن سوی اقیانوس ها

پیوندهای متقابل احتمالی بین توسعه ریاضیات در سراسر اقیانوس هند هنوز باید مورد مطالعه قرار گیرد (به یونسکو، 1980، برای روابط تاریخی در سراسر اقیانوس هند مراجعه کنید). مثلاً تأثیر احتمالی ایده‌های ریاضی برده‌های قاره آفریقا و هند و اندونزی بر توسعه ریاضیات (قومی) در ماداگاسکار، موریس و جزایر دیگر چه بوده است.
چه ریاضیاتی توسط بردگان به قاره آمریکا آورده شده است؟ کدام ایده های ریاضی به این صورت باقی مانده اند؟ "مانکالا" و شاید بازی های دیگر با "مواد تشکیل دهنده" ریاضی در کارائیب انجام می شود و ممکن است با "اجداد" آنها در آفریقا مقایسه شود. فریرا (1982، 2) به مطالعه یکی از شاگردانش در مورد نماد شناسی هندسی در "Ubanda" و "Candomblé" در برزیل اشاره می کند. این منطقه تحقیقاتی تقریباً بکر باقی مانده است.
در مقاله Fauvel & Gerdes (1990) درباره توماس فولر (1710-1790)، برده آفریقایی و اعجوبه محاسبه‌گر، که در سال 1724 به آمریکا فرستاده شد، پیشنهاد می‌شود که تحقیقات قومی-ریاضی ممکن است تکمیل کننده تجزیه و تحلیل منابع مکتوب باشد. توانایی‌های استثنایی فولر را نمی‌توان درک کرد مگر از طریق بررسی دقیق‌تر بافت فرهنگی که باعث رشد آنها شد. مانند دانش حرفه ای آهنگران چوکوه، دانش متخصصان طراحی چوکوه (akwa kuta sona) عمدتاً مخفی بود و از پدر به پسر منتقل می شد. هنگامی که آهنگر یا کارشناس طراحی به اسارت گرفته می شد و به عنوان برده فروخته می شد، دانش حرفه ای خاص او ممکن است به طور کامل از روستا یا منطقه خود ناپدید شود. بنابراین تجارت برده برای توسعه سنت ها و پتانسیل های ریاضی موجود به شدت مخرب بود. از طریق شکستن تداوم حرفه ای و محروم کردن آفریقا از حاملان دانش و مهارت ریاضی مانند توماس فولر. تحقیقات قومی ریاضی اخیر در نیجریه، همانطور که توسط شرلی (1988) خلاصه شده است، بقای یک سنت غنی از محاسبات ذهنی را در بین افراد بی سواد نشان می دهد. جست‌وجوی سوابق جدید با داده‌های مربوط به منشأ جغرافیایی یا قومی توماس فولر و ارتباط این اطلاعات با تحقیقات قومی ریاضی و تاریخی در مورد همان منطقه یا گروه قومی جالب و ارزشمند خواهد بود. از سوی دیگر، تحلیل تأثیر استعماری بر دانش «حرفه‌ای» متخصصان جالب و مهم خواهد بود، همانطور که در مورد کارشناسان نقشه کشی Tchokwe که به نخبگان اجتماعی تعلق داشتند.
یکی از راه های احتمالی که تجارت برده بر توسعه دانش حسابی در آفریقا تأثیر گذاشته است توسط کلارکسون (1788) و کتاب مقدس (1891) شرح داده شده است: "شاید به دلیل ضرورت رقابت با بازرگانان انگلیسی مسلح به مداد و مداد به جلو آمده یا تولید شده باشد. به نظر می‌رسد بسیاری از برده‌فروشان قدیم آفریقا حسابگر آماده‌ای بوده‌اند، و این نیز برای یک هدف عملی... گفته می‌شود که ناخدایان کشتی شکایت داشتند که انجام معامله‌های خوب روز به روز دشوارتر می‌شود. با چنین محاسبات تیزبینی» (به نقل از AMUCHMA 3 ، AMUCHMA 4). بررسی بیشتر این و سایر تأثیرات احتمالی، مانند ناپدید شدن یا تضعیف آموزش ریاضی سنتی آفریقایی با حذف فیزیکی یا «صادرات» حاملان دانش ریاضی، جالب خواهد بود. تأثیر مخرب استعمار و تجارت برده بر آفریقا یکی از دلایلی است که نجوک (1985) به آن اشاره کرد و توضیح می دهد که چرا آفریقا در پنج قرن اخیر چنین پیشرفت شگفت انگیزی از ریاضیات را که اروپا شناخته است، نداشته است. دلایل دیگری که او بیان می کند به جغرافیای قاره (جنبش مهاجرت) و جنگ ها می پردازد. این همچنین یک حوزه تحقیقاتی مهم است که مستحق مطالعه بیشتر است.
در AMUCHMA 3(1989) پیشنهاد شده است که جستجو در ادبیات آفریقا، از جمله زندگی نامه ها (ر.ک. فاتکی، 1991؛ موگامبی، 1991)، برای اطلاعاتی در مورد آموزش ریاضیات در دوره استعمار و واکنش به آن (نگرش نسبت به ریاضیات و ...) جالب خواهد بود. معلمان ریاضی). تجزیه و تحلیل سیستماتیک ایده ها (و تعصبات) مبلغان، مدیران استعماری و مربیان در مورد ظرفیت های ریاضی "موضوعات" آفریقایی آنها (به عنوان مثال نظرات Junod در مورد "فقدان توانایی ریاضی" در موزامبیک (Junod, 1935, 151-15). ، 576-577) و مفاهیم آنها، ممکن است برای نسل های جدید ارزشمند و آشکار باشد.

تاریخ اخیر

تأثیر (نئو)استعمار، با «پیوند برنامه‌های درسی» متعاقب آن، بر آموزش ریاضیات و تاریخ اخیر آموزش ریاضی در آفریقا موضوع انتشارات متنوعی بوده است: تانزانیا (Pythiam، 1971؛ Mmari، 1978، 1980، 1991). سکا، 1987)؛ نیجریه (اوهوچه، 1978؛ شرلی، 1980)؛ سیرالئون (ویلیامز، 1978)؛ سودان (ال ساوی، 1978؛ ال تام، 1983)؛ موزامبیک (Gerdes, 1980a, 1980b, 1981; Draisma, 1985, 1986, Cherinda, 1991); سوازیلند (Masinga, 1987); اوگاندا (Timkumanya، 1989). گردس (1984) زندگی نامه برندگان اولین المپیادهای ریاضی در موزامبیک را بازتولید می کند. ناوز (دانشگاه بوروندی) در مورد تکامل برنامه های درسی ریاضیات در سطح دبیرستان در بوروندی تحقیق می کند.
یک موضوع جالب در تاریخ اخیر آموزش ریاضیات در آفریقا که به نظر می رسد شایسته مطالعه باشد، ظهور و تکامل پروژه های توسعه برنامه درسی ریاضیات قاره ای و منطقه ای است، مانند برنامه ریاضیات آفریقایی (AMP)، پروژه ریاضیات مدرسه برای شرق آفریقا. (SMPEA)، پروژه ریاضی مشترک، برنامه ریاضی منطقه ای آفریقای شرقی (EARMP) و برنامه ریاضی منطقه ای غرب آفریقا (WARMP). تاریخچه انجمن ها و مجلات ریاضی، دپارتمان ها و مدارس ریاضی، از دیگر موضوعات احتمالی تحقیقاتی هستند.
معرفی و گسترش حوزه‌های جدید تحقیقات ریاضی و رشته‌های مرتبط مانند آمار، انفورماتیک و علوم کامپیوتر در آفریقا در جنوب صحرا در ارتباط با معرفی و گسترش فناوری‌های جدید مانند استفاده از رایانه هنوز مورد مطالعه قرار نگرفته است. و نه پیامدهای آن برای کشورهای درگیر.

سپاسگزاریها

نویسنده از Salimata Doumbia (ساحل عاج) و Claudia Zaslavsky (ایالات متحده آمریکا) برای نظراتشان در مورد نسخه اول این مقاله تشکر می کند.

ارجاعات به این روزنامه