تجزیه و تحلیل نوسانات بدون روند

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه دوازدهم بهمن ۱۴۰۱ | 7:25

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در فرآیندهای تصادفی ، تئوری آشوب و تجزیه و تحلیل سری های زمانی ، تجزیه و تحلیل نوسانات بدون روند ( DFA ) روشی برای تعیین خویشاوندی آماری یک سیگنال است. این برای تجزیه و تحلیل سری های زمانی که به نظر می رسد فرآیندهای حافظه طولانی ( زمان همبستگی واگرا ، به عنوان مثال تابع همبستگی خودهمبستگی در حال فروپاشی قانون قدرت ) یا نویز 1/f مفید است.

توان به‌دست‌آمده شبیه نما هرست است ، با این تفاوت که DFA ممکن است برای سیگنال‌هایی نیز اعمال شود که آمارهای زیربنایی (مانند میانگین و واریانس) یا دینامیک آن‌ها غیر ثابت هستند (تغییر با زمان). این مربوط به معیارهای مبتنی بر تکنیک های طیفی مانند همبستگی خودکار و تبدیل فوریه است .

پنگ و همکاران DFA را در سال 1994 در مقاله ای معرفی کرد که تا سال 2022 بیش از 3000 بار ذکر شده است [1] و نشان دهنده گسترش تجزیه و تحلیل نوسانات (معمولی) (FA) است که تحت تأثیر غیر ثابت بودن است.

محاسبه [ ویرایش ]

یک سری زمانی محدود را در نظر بگیرید $x_{t}$ از طولن $ن$ ، جایی کهتی∈ن $t\in {\mathbb {N}}$ و اجازه دهید مقدار میانگین آن مشخص شود〈ایکس〉 $\langle x\rangle$ . ادغام یا جمع، این را به یک فرآیند نامحدود تبدیل می کند $X_{t}$ :

$X_t=\sum_{i=1}^t (x_i-\langle x\rangle)$

$X_{t}$ جمع تجمعی یا نمایه نامیده می شود. این فرآیند، برای مثال، یک فرآیند نویز سفید iid را به یک پیاده‌روی تصادفی تبدیل می‌کند.

بعد، $X_{t}$ به پنجره های زمانی از طول تقسیم می شود $n$ هر کدام را نمونه می‌کند و یک برازش خط مستقیم حداقل مربعات محلی (روند محلی) با به حداقل رساندن مربعات خطاها در هر پنجره زمانی محاسبه می‌شود. اجازه دهید $Y_{t}$ دنباله تکه ای حاصل از برازش های خط مستقیم را نشان می دهد. سپس، انحراف ریشه میانگین مربع از روند، نوسان ، محاسبه می شود:

$F(n)={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}\left(X_{t}-Y_{t}\right)^ {2}}}.$

در نهایت، این فرآیند کاهش روند و به دنبال آن اندازه‌گیری نوسانات در طیف وسیعی از اندازه‌های مختلف پنجره تکرار می‌شود. $n$ و یک نمودار ورود به سیستم از $F(n)$ در برابر $n$ ساخته شده است. [2] [3]

یک خط مستقیم در این نمودار log-log نشان دهنده وابستگی آماری به خود است که به صورت بیان شده است $F(n)\propto n^{\alpha }$ . توان مقیاس $\ آلفا$ به عنوان شیب یک خط مستقیم متناسب با نمودار ورود به سیستم محاسبه می شود $n$ در برابر $F(n)$ با استفاده از حداقل مربعات این توان یک تعمیم از توان هرست است . زیرا جابجایی مورد انتظار در یک راهپیمایی تصادفی ناهمبسته به طول N مانند رشد می کند $\sqrt{N}$ ، یک نماینده از ${\tfrac {1}{2}}$ با نویز سفید نامرتبط مطابقت دارد. هنگامی که توان بین 0 و 1 باشد، نتیجه نویز گاوسی کسری است ، با مقدار دقیق اطلاعاتی در مورد خود همبستگی های سری:

$\آلفا <1/2$ : ضد همبستگی
$\alpha \simeq 1/2$ : نامرتبط، نویز سفید
$\ آلفا > 1/2$ : همبسته
$\alpha \simeq 1$ : 1/f-noise، صدای صورتی
$\ آلفا > 1$ : غیر ساکن، نامحدود
$\alpha \simeq 3/2$ : نویز براونی

تعمیم به روندهای فوق خطی [ ویرایش ]

روندهای مرتبه بالاتر را می توان با DFA مرتبه بالاتر حذف کرد، که در آن برازش خطی با یک برازش چند جمله ای جایگزین می شود. [4] در مورد توصیف شده، برازش های خطی ( $i=1$ ) روی پروفایل اعمال می شوند، بنابراین DFA1 نامیده می شود. برای حذف روندهای مرتبه بالاتر، DFA $من$ ، از برازش های چند جمله ای ترتیب استفاده می کند $من$ .

با توجه به جمع (ادغام) از $x_{i}$ به $X_{t}$ ، روندهای خطی در میانگین نمایه نشان دهنده روندهای ثابت در دنباله اولیه هستند و DFA1 فقط چنین روندهای ثابتی (مراحل) را حذف می کند. $x_{i}$ . به طور کلی، DFA از نظم $من$ روندهای نظم (چند جمله ای) را حذف می کند $i-1$ . برای روندهای خطی در میانگین $x_{i}$ حداقل DFA2 مورد نیاز است.

تجزیه و تحلیل R/S هرست روندهای ثابت را در دنباله اصلی حذف می کند و بنابراین، در کاهش روند آن معادل DFA1 است.

تعمیم به لحظات مختلف [ ویرایش ]

از آنجایی که در تابع نوسان $F(n)$ از مربع (ریشه) استفاده می شود، DFA رفتار مقیاس پذیری نوسانات لحظه دوم را اندازه گیری می کند، به این معنی $\alpha =\alpha (2)$ . تعمیم چندفراکتال ( MF-DFA ) [5] از یک گشتاور متغیر استفاده می کند $q$ و فراهم می کند $\آلفا (q)$ . کانتلهارت و همکاران این نما مقیاس را به عنوان تعمیم نمایی کلاسیک هرست در نظر گرفت. توان کلاسیک هرست مربوط به لحظه دوم برای موارد ثابت است $H=\alpha (2)$ و به لحظه دوم منهای 1 برای موارد غیر ثابت $H=\alpha (2)-1$ . [6] [7] [5]

اساساً، نماهای مقیاس بندی نیازی به مستقل از مقیاس سیستم ندارند. در مورد $\ آلفا$ بستگی به قدرت دارد $q$ استخراج شده از

$F_{q}(n)=\left({\frac {1}{N}}\sum _{t=1}^{N}\left(X_{t}-Y_{t}\راست )^{q}\right)^{1/q}،$

جایی که DFA قبلی است $q=2$ . مقیاس سیستم های چندفراکتالی به عنوان یک تابع $F_{q}(n)\propto n^{\alpha (q)}$ . برای کشف چندفرکتالی، تجزیه و تحلیل نوسانات تک‌فراکتالی یک روش ممکن است. [8]

برنامه های کاربردی و مطالعه [ ویرایش ]

روش DFA برای بسیاری از سیستم‌ها، به‌عنوان مثال توالی‌های DNA، [9] [10] نوسانات عصبی، [7] تشخیص آسیب‌شناسی گفتار، [11] نوسانات ضربان قلب در مراحل مختلف خواب، [12] و تجزیه و تحلیل الگوی رفتار حیوانات اعمال شده است. [13]

تأثیر روندها بر DFA مورد مطالعه قرار گرفته است. [14]

ارتباط با روش‌های دیگر، برای انواع خاصی از سیگنال [ ویرایش ]

برای سیگنال‌هایی با خودهمبستگی قدرت-قانون-واپاشی [ ویرایش ]

در مورد همبستگی های خودکار در حال فروپاشی قدرت-قانون، تابع همبستگی با یک توان کاهش می یابد. $C(L)\sim L^{{-\gamma }}\!\$ . علاوه بر این، طیف توان به عنوان کاهش می یابد $P(f)\sim f^{{-\beta }}\!\$ . سه شارح با یکدیگر مرتبط هستند: [9]

$\گاما =2-2\آلفا$
$\بتا =2\آلفا -1$ و
$\گاما =1-\بتا$ .

روابط را می توان با استفاده از قضیه وینر-خینچین به دست آورد. رابطه DFA با روش طیف توان به خوبی مورد مطالعه قرار گرفته است. [15]

بدین ترتیب، $\ آلفا$ به شیب طیف قدرت گره خورده است $\بتا$ و برای توصیف رنگ نویز با این رابطه استفاده می شود: $\آلفا =(\بتا +1)/2$ .

برای نویز گاوسی کسری [ ویرایش ]

برای نویز کسری گاوسی (FGN)، ما داریم $\بتا \در [-1,1]$ ، و بنابراین $\ آلفا \ در [0,1]$ ، و $\بتا =2H-1$ ، جایی که $اچ$ توان هرست است . $\ آلفا$ برای FGN برابر است با $اچ$ . [16]

برای حرکت براونی کسری [ ویرایش ]

برای حرکت براونی کسری (FBM) داریم $\بتا \در [1,3]$ ، و بنابراین $\alpha \in [1,2]$ ، و $\بتا =2H+1$ ، جایی که $اچ$ توان هرست است . $\ آلفا$ برای FBM برابر است با $H+1$ . [6] در این زمینه، FBM مجموع تجمعی یا انتگرال FGN است، بنابراین، توان طیف های توان آنها 2 متفاوت است.

مشکلات در تفسیر [ ویرایش ]

مانند بسیاری از روش هایی که به برازش خط بستگی دارند، همیشه می توان یک عدد را پیدا کرد $\ آلفا$ با روش DFA، اما این لزوماً به این معنی نیست که سری زمانی خود مشابه است. خود شباهت مستلزم آن است که نقاط روی نمودار log-log به اندازه کافی در طیف وسیعی از اندازه های پنجره به صورت هم خط باشند. $L$ . علاوه بر این، ترکیبی از تکنیک‌ها از جمله MLE، به جای حداقل مربعات نشان داده شده است که توان مقیاس‌گذاری یا قانون قدرت را بهتر تقریب می‌کند. [17]

همچنین، مقادیر زیادی شبیه به مقیاس مقیاس وجود دارد که می‌توان آنها را برای یک سری زمانی مشابه اندازه‌گیری کرد، از جمله بعد تقسیم‌کننده و توان هرست . بنابراین، توان مقیاس بندی DFA $\ آلفا$ برای مثال، یک بعد فراکتالی نیست که تمام ویژگی‌های مطلوب بعد هاسدورف را به اشتراک بگذارد ، اگرچه در موارد خاص خاص می‌توان نشان داد که مربوط به بعد شمارش جعبه برای نمودار یک سری زمانی است.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Detrended_fluctuation_analysis

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی