3-فضا-زمان

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه سیزدهم مهر ۱۴۰۱ | 1:13

فضازمان در نسبیت خاص [ ویرایش ]

فاصله زمانی فضا [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: ساختار علّی

در سه بعدی فاصله $\Delta {d}$ بین دو نقطه را می توان با استفاده از قضیه فیثاغورث تعریف کرد :

$(\Delta {d})^{2}=(\Delta {x})^{2}+(\Delta {y})^{2}+(\Delta {z})^{2}$

اگرچه دو بیننده ممکن است موقعیت x ، y و z دو نقطه را با استفاده از سیستم مختصات مختلف اندازه گیری کنند، فاصله بین نقاط برای هر دو یکسان خواهد بود (با فرض اینکه آنها با استفاده از واحدهای مشابه اندازه گیری می کنند). فاصله "بی تغییر" است.

با این حال، در نسبیت خاص، به دلیل انقباض لورنتس ، اگر توسط دو ناظر مختلف اندازه گیری شود، فاصله بین دو نقطه دیگر یکسان نیست . اگر این دو نقطه در زمان و مکان از هم جدا شوند، وضعیت حتی پیچیده‌تر می‌شود. به عنوان مثال، اگر یک ناظر ببیند که دو رویداد در یک مکان اتفاق می‌افتد، اما در زمان‌های مختلف، شخصی که نسبت به ناظر اول حرکت می‌کند، دو رویداد را در مکان‌های مختلف مشاهده می‌کند، زیرا (از نظر آنها) ثابت هستند. ، و موقعیت رویداد در حال عقب نشینی یا نزدیک شدن است. بنابراین، برای اندازه‌گیری «فاصله» مؤثر بین دو رویداد باید از معیار متفاوتی استفاده کرد.

در فضازمان چهار بعدی، آنالوگ به فاصله، بازه است. اگرچه زمان به عنوان یک بعد چهارم وارد می شود، اما با آن به گونه ای متفاوت از ابعاد فضایی برخورد می شود. بنابراین فضای مینکوفسکی از جنبه های مهمی با فضای چهار بعدی اقلیدسی متفاوت است . دلیل اساسی ادغام فضا و زمان در فضازمان این است که مکان و زمان به طور جداگانه ثابت نیستند، به این معنی که در شرایط مناسب، ناظران مختلف در مورد مدت زمان بین دو رویداد (به دلیل اتساع زمان ) اختلاف نظر خواهند داشت. فاصله بین دو رویداد (به دلیل انقباض طول ). اما نسبیت خاص یک تغییر ناپذیر جدید به نام بازه زمان فضا ارائه می دهد، که فواصل را در فضا و زمان ترکیب می کند. همه ناظرانی که زمان و فاصله بین هر دو رویداد را اندازه‌گیری می‌کنند، در نهایت بازه فضا-زمان یکسانی را محاسبه می‌کنند. فرض کنید یک ناظر دو رویداد را اندازه گیری می کند که در زمان از هم جدا شده اند $\ دلتا تی$ و فاصله فضایی $\Delta x.$ سپس بازه فضا-زمان $(\Delta {s})^{2}$ بین دو رویدادی که با فاصله از هم جدا شده اند $\Delta {x}$ در فضا و توسط $\Delta {ct}=c\Delta t$ در $ct$ - مختصات عبارت است از:

$(\Delta s)^{2}=(\Delta ct)^{2}-(\Delta x)^{2},$

یا برای سه بعد فضایی،

$(\Delta s)^{2}=(\Delta ct)^{2}-(\Delta x)^{2}-(\Delta y)^{2}-(\Delta z)^{ 2}.$ [31]

ثابت $ج$ سرعت نور، واحدهای زمان (مانند ثانیه) را به واحدهای فضایی (مثل متر) تبدیل می کند. فاصله مجذور $\Delta s^{2}$ معیاری برای جدایی بین رویدادهای A و B است که زمان از هم جدا شده اند و علاوه بر آن فضا از هم جدا می شوند یا به این دلیل که دو جسم مجزا در معرض رویدادها هستند یا به این دلیل که یک شی واحد در فضا بین رویدادهای خود به صورت اینرسی حرکت می کند. بازه جدایی با مجذور کردن فاصله فضایی جداکننده رویداد B از رویداد A و کم کردن آن از مجذور فاصله فضایی طی شده توسط یک سیگنال نوری در همان بازه زمانی بدست می‌آید. $\ دلتا تی$ . اگر جدایی رویداد به دلیل یک سیگنال نور باشد، این تفاوت از بین می رود و $\Delta s=0$ .

هنگامی که رویداد در نظر گرفته شده بی نهایت به یکدیگر نزدیک است، آنگاه ممکن است بنویسیم

$ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}.$

در یک قاب اینرسی متفاوت، با مختصات بگویید $(t',x',y',z')$ ، بازه فضا-زمان $ds'$ را می توان به همان شکل بالا نوشت. به دلیل ثبات سرعت نور، رخدادهای نور در تمام فریم های اینرسی به بازه صفر تعلق دارند. $ds=ds'=0$ . برای هر رویداد بی نهایت کوچک دیگری که در آن $ds\neq 0$ ، می توان این را ثابت کرد $ds^{2}=ds'^{2}$ که به نوبه خود ادغام منجر به $s=s'$ . [32] : 2 تغییرناپذیری فاصله هر رویداد بین تمام چارچوب های مرجع بینابینی یکی از نتایج اساسی نظریه نسبیت خاص است.

اگرچه برای اختصار، اغلب عبارات بازه‌ای را می‌بینید که بدون دلتا بیان می‌شوند، از جمله در بیشتر بحث‌های زیر، باید درک کرد که به طور کلی، $ایکس$ به معنای $\Delta {x}$ و غیره. ما همیشه نگران تفاوت مقادیر مختصات مکانی یا زمانی متعلق به دو رویداد هستیم، و از آنجایی که هیچ مبدأ ترجیحی وجود ندارد، مقادیر مختصات منفرد معنای اساسی ندارند.

شکل 2-1. نمودار فضا-زمان که دو فوتون A و B را نشان می دهد که در یک رویداد منشا می گیرند و یک جسم با سرعت کمتر از نور، C.

معادله فوق شبیه قضیه فیثاغورث است، به جز با علامت منفی بین $(ct)^{2}$ و $x^{2}$ مقررات. فاصله فضا-زمان کمیت است $s^{2}،$ نه $س$ خود دلیل آن این است که بر خلاف فواصل در هندسه اقلیدسی، فواصل در فضازمان مینکوفسکی می توانند منفی باشند. فیزیکدانان معمولاً به جای پرداختن به جذرهای اعداد منفی به آن توجه می کنند $s^{2}$ به عنوان یک نماد متمایز به خودی خود، به جای مربع چیزی. [24] : 217

به طور کلی $s^{2}$ می تواند هر مقداری از عدد واقعی را فرض کند. اگر $s^{2}$ مثبت است، فاصله فضا-زمان به عنوان زمان شناخته می شود . از آنجایی که فاصله فضایی پیموده شده توسط هر جسم پرجرم همیشه کمتر از مسافت طی شده توسط نور برای همان بازه زمانی است، فواصل واقعی همیشه شبیه به زمان هستند. اگر $s^{2}$ منفی است، به فاصله فضا-زمان فضایی گفته می شود که در آن بازه فضا-زمان خیالی است. فواصل فضا-زمان برابر با صفر هستند وقتی $x=\pm ct.$ به عبارت دیگر، فاصله فضا-زمان بین دو رویداد در خط جهانی چیزی که با سرعت نور حرکت می کند، صفر است. به چنین فاصله ای نور مانند یا تهی می گویند . فوتونی که از ستاره‌ای دور به چشم ما می‌رسد، علیرغم اینکه (از دیدگاه ما) سال‌ها در عبور آن سپری کرده‌ایم، پیر نمی‌شود.

نمودار فضا-زمان معمولاً تنها با یک فضا و یک مختصات زمانی منفرد ترسیم می شود. شکل 2-1 نمودار فضا-زمان را نشان می دهد که خطوط جهانی (یعنی مسیرها در فضازمان) دو فوتون A و B را نشان می دهد که از یک رویداد نشات گرفته و در جهت مخالف می روند. علاوه بر این، C خط جهانی یک جسم با سرعت کمتر از نور را نشان می دهد. مختصات زمانی عمودی با مقیاس بندی می شود $ج$ به طوری که دارای واحدهای (متر) مشابه مختصات فضای افقی است. از آنجایی که فوتون ها با سرعت نور حرکت می کنند، خطوط جهان آن ها شیب ۱± دارند. به عبارت دیگر، هر متری که یک فوتون به سمت چپ یا راست حرکت می کند، تقریباً به 3.3 نانوثانیه زمان نیاز دارد.

دو قرارداد نشانه در ادبیات نسبیت استفاده می شود:

$s^{2}=(ct)^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}$

$s^{2}=-(ct)^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}$

این قراردادهای نشانه با امضاهای متریک (+---) و (-+++) مرتبط هستند. یک تغییر جزئی این است که مختصات زمانی را به جای اول قرار دهید. هر دو کنوانسیون به طور گسترده در زمینه مطالعاتی مورد استفاده قرار می گیرند.

چارچوب های مرجع [ ویرایش ]

شکل 2-2. نمودار گالیله دو فریم مرجع در پیکربندی استاندارد

شکل 2-3. (الف) نمودار گالیله دو فریم مرجع در پیکربندی استاندارد، (ب) نمودار فضا-زمان دو فریم مرجع، (ج) نمودار فضا-زمان که مسیر یک پالس نور منعکس شده را نشان می دهد.

برای به دست آوردن بینشی در مورد اینکه چگونه مختصات فضا-زمان اندازه گیری شده توسط ناظران در چارچوب های مرجع مختلف با یکدیگر مقایسه می شوند، کار با یک تنظیم ساده شده با فریم ها در یک پیکربندی استاندارد مفید است. با دقت، این اجازه می دهد تا ریاضیات را بدون از دست دادن کلیت در نتایج بدست آمده ساده کنید. در شکل 2-2، دو قاب مرجع گالیله (یعنی فریم های 3 فضایی معمولی) در حرکت نسبی نمایش داده شده اند. قاب S متعلق به ناظر اول O و فریم S' (تلفظ "S اول") به ناظر دوم O' تعلق دارد.

محورهای x ، y ، z قاب S به موازات محورهای اولیه مربوطه قاب S′ جهت گیری می کنند.
قاب S′ در جهت x قاب S با سرعت v ثابت حرکت می کند که در قاب S اندازه گیری می شود.
منشأ فریم های S و S در زمانی که زمان t = 0 برای فریم S و t ' = 0 برای فریم S' منطبق است. [4] : 107

شکل 2-3a شکل 2-2 را در جهتی متفاوت ترسیم می کند. شکل 2-3b یک نمودار فضا-زمان را از دیدگاه ناظر O نشان می دهد. از آنجایی که S و S در پیکربندی استاندارد هستند، مبدا آنها در زمان های t = 0 در قاب S و t ' = 0 در قاب S' منطبق هستند. محور ct از رویدادهای قاب S که دارای x = 0 است می گذرد . اما نقاط دارای x ′ = 0 با سرعت v در جهت x قاب S حرکت می کنند، به طوری که با ct منطبق نیستند. محور در هر زمانی غیر از صفر بنابراین، محور ct نسبت به محور ct با زاویه θ کج می شودداده شده توسط

$\tan(\theta)=v/c.$

محور x نسبت به محور x نیز کج شده است. برای تعیین زاویه این شیب، به یاد می آوریم که شیب خط جهانی یک پالس نور همیشه 1± است. شکل 2-3c یک نمودار فضا-زمان را از دیدگاه ناظر O' نشان می دهد. رویداد P نشان دهنده گسیل یک پالس نور در x ′ = 0، ct ′ = - a است. پالس از آینه ای که در فاصله a از منبع نور قرار دارد منعکس می شود (رویداد Q) و در x '=0, ct ' = a (رویداد R) به منبع نور باز می گردد.

همان رویدادهای P، Q، R در شکل 2-3b در قاب ناظر O ترسیم شده است. مسیرهای نور دارای شیب = 1 و -1 هستند، به طوری که △PQR یک مثلث قائم الزاویه با PQ و QR هر دو در 45 درجه تشکیل می دهد. به محورهای x و ct . از آنجایی که OP = OQ = OR، زاویه بین x ′ و x نیز باید θ باشد. [4] : 113-118

در حالی که قاب استراحت دارای محورهای مکان و زمان است که در زوایای قائم به هم می رسند، قاب متحرک با محورهایی ترسیم می شود که در زاویه تند به هم می رسند. فریم ها در واقع معادل هستند. این عدم تقارن به دلیل اعوجاج های اجتناب ناپذیر در نحوه ترسیم مختصات فضا-زمان بر روی صفحه دکارتی است ، و نباید غریبه تر از روشی در نظر گرفته شود که در آن، در طرح مرکاتور از زمین، اندازه نسبی توده های زمین در نزدیکی قطب ها (گرینلند و قطب جنوب) نسبت به توده های خشکی نزدیک استوا بسیار اغراق آمیز هستند.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی