4-تبدیل فوریه

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه بیست و نهم شهریور ۱۴۰۱ | 7:27

مثال [ ویرایش ]

شکل‌های زیر یک تصویر بصری ارائه می‌دهند که چگونه تبدیل فوریه، وجود فرکانس در یک تابع خاص را اندازه‌گیری می‌کند. تابع نشان داده شده f ( t ) = cos(6π t ) e -π t 2 در 3 هرتز نوسان می کند (اگر t ثانیه را اندازه گیری کند) و به سرعت به 0 میل می کند. (فاکتور دوم در این معادله یک تابع پوششی است که سینوسی پیوسته را شکل می دهد. شکل کلی آن یک تابع گاوسی است ). این تابع به طور ویژه برای داشتن یک تبدیل فوریه حقیقی انتخاب شده است که می تواند به راحتی ترسیم شود. تصویر اول شامل نمودار آن است. به منظور محاسبه ${\hat {f}}(3)$ ما باید e - 2π i (3 t ) f ( t ) را انتگرالگیری کنیم . تصویر دوم نمودار قسمت های حقیقی و موهومی این تابع را نشان می دهد. بخش حقیقی انتگرال تقریبا همیشه مثبت است، زیرا وقتی f ( t ) منفی است، قسمت حقیقی e - 2π i (3 t ) نیز منفی است. از آنجایی که آنها با سرعت یکسانی نوسان می کنند، وقتی f ( t ) مثبت است، بخش حقیقی e - 2π i (3 t ) نیز مثبت است.. نتیجه این است که وقتی بخش حقیقی انتگرال را انتگرالگیری می‌کنید، عدد نسبتاً زیادی به دست می‌آید (در این مورد1/2). از سوی دیگر، هنگامی که شما سعی می کنید فرکانس را اندازه گیری کنید که وجود ندارد، مانند موردی که ما به آن نگاه می کنیم ${\hat {f}}(5)$ ، می بینید که هر دو جزء حقیقی و موهومی این تابع به سرعت بین مقادیر مثبت و منفی تغییر می کنند، همانطور که در تصویر سوم ترسیم شده است. بنابراین، در این حالت، انتگرال به اندازه کافی سریع نوسان می کند به طوری که انتگرال بسیار کوچک است و مقدار تبدیل فوریه برای آن فرکانس تقریباً صفر است.

وضعیت کلی ممکن است کمی پیچیده‌تر از این باشد، اما از نظر روحی، تبدیل فوریه نشان می‌دهد که چقدر از یک فرکانس فردی در تابع f ( t ) وجود دارد.

تابع اصلی که نوسان 3 هرتز را نشان می دهد.
بخش های حقیقی و موهومی انتگرال برای تبدیل فوریه در 3 هرتز
بخش های حقیقی و موهومی انتگرال برای تبدیل فوریه در 5 هرتز
قدر تبدیل فوریه، با 3 و 5 هرتز برچسب زده شده است.

ویژگی های تبدیل فوریه [ ویرایش ]

در اینجا ما فرض می‌کنیم f ( x ) ، g ( x ) و h ( x ) توابع انتگرال‌پذیر هستند : لبگ -اندازه پذیر در خط حقیقی رضایت بخش:

$\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|\,dx<\infty .$

تبدیل فوریه این توابع را به ترتیب به صورت f̂ ( ξ ) , ĝ ( ξ ) و ĥ ( ξ ) نشان می دهیم.

ویژگی های اساسی [ ویرایش ]

تبدیل فوریه دارای خواص اساسی زیر است: [14]

خطی بودن [ ویرایش ]

برای هر عدد مختلط a و b ، اگر h ( x ) = af ( x ) + bg ( x ) , آنگاه ĥ ( ξ ) = a · f̂ ( ξ ) + b · ĝ ( ξ ) .

ترجمه / تغییر زمان [ ویرایش ]

انیمیشنی که تبدیل فوریه سیگنال تغییر زمان را نشان می دهد. [بالا] سیگنال اصلی (زرد)، به طور مداوم زمان تغییر می کند (آبی). [پایین] تبدیل فوریه حاصل از سیگنال تغییر زمان. توجه داشته باشید که چگونه اجزای فرکانس بالاتر در صفحه مختلط سریعتر از اجزای فرکانس پایین تر می چرخند.

برای هر عدد حقیقی x 0 ، اگر h ( x ) = f ( x − x 0 ) , آنگاه ĥ ( ξ ) = e −2π ix 0 ξ f̂ ( ξ ) .

مدولاسیون / تغییر فرکانس [ ویرایش ]

برای هر عدد حقیقی ξ 0 , اگر h ( x ) = e 2π ixξ 0 f ( x ) , آنگاه ĥ ( ξ ) = f̂ ( ξ − ξ 0 ) .

مقیاس بندی زمان [ ویرایش ]

برای یک عدد حقیقی غیر صفر a ، اگر h ( x ) = f ( ax )

${\displaystyle {\hat {h}}(\xi )={\frac {1}{|a|}}{\hat {f}}\left({\frac {\xi }{a}}\راست )$

مورد a = −1 به خاصیت زمان معکوس منتهی می شود ، که بیان می کند: اگر h ( x ) = f (- x ) , آنگاه ĥ ( ξ ) = f̂ (− ξ ) .

صرف [ ویرایش ]

اگر h ( x ) = f ( x ) ، پس

${\hat {h}}(\xi )={\overline {{\hat {f}}(-\xi )}}.$

به ویژه، اگر f حقیقی باشد، آنگاه شرط حقیقیت را دارد

${\hat {f}}(-\xi )={\overline {{\hat {f}}(\xi )}},$

یعنی f̂ یک تابع هرمیتی است . و اگر f کاملاً موهومی است، پس

${\hat {f}}(-\xi )=-{\hat {f}}(\xi).$

بخش حقیقی و موهومی در زمان [ ویرایش ]

اگر $h(x)=\Re {(f(x))}$ ، سپس ${\hat {h}}(\xi )={\frac {1}{2}}\left({\hat {f}}(\xi )+{\overline {{\hat {f} }(-\xi )}}\راست)$ .
اگ $h(x)=\Im {(f(x))}$ ، سپس ${\hat {h}}(\xi )={\frac {1}{2i}}\left({\hat {f}}(\xi )-{\overline {{\hat {f} }(-\xi )}}\راست)$ .

جزء فرکانس صفر [ ویرایش ]

با جایگزینی ξ = 0 در تعریف، به دست می آوریم

${\hat {f}}(0)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx.$

این همان انتگرال f در تمام دامنه آن است و به عنوان مقدار متوسط یا بایاس DC تابع نیز شناخته می شود.

برگشت پذیری و تناوب [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: قضیه وارونگی فوریه و تبدیل فوریه کسری

تحت شرایط مناسب بر روی عملکرد $f$ ، می توان آن را از تبدیل فوریه آن بازیابی کرد ${\ کلاه {f}}$ . در واقع، نشان دادن عملگر تبدیل فوریه با ${\mathcal {F}}$ ، بنابراین ${\mathcal {F}}f:={\hat {f}}$ ، سپس برای توابع مناسب، دو بار اعمال تبدیل فوریه به سادگی تابع را برمیگرداند: $({\mathcal {F}}^{2}f)(x)=f(-x)$ ، که می توان آن را به "عکوس زمان" تعبیر کرد. از آنجایی که زمان معکوس دو دوره ای است، اعمال این دو بار نتیجه می دهدf)=f} ${\mathcal {F}}^{4}(f)=f$ بنابراین عملگر تبدیل فوریه چهار دوره ای است و به همین ترتیب تبدیل فوریه معکوس را می توان با سه بار اعمال تبدیل فوریه به دست آورد: ${\mathcal {F}}^{3}({\hat {f}})=f$ . به ویژه تبدیل فوریه معکوس پذیر است (تحت شرایط مناسب).

به طور دقیق تر، تعریف عملگر برابری ${\mathcal {P}}$ به طوری که $({\mathcal {P}}f)(x)=f(-x)$ ، ما داریم:

${\begin{aligned}{\mathcal {F}}^{0}&=\mathrm {id} ,\\{\mathcal {F}}^{1}&={\mathcal {F}} ,\\{\mathcal {F}}^{2}&={\mathcal {P}},\\{\mathcal {F}}^{3}&={\mathcal {F}}^{-1 }={\mathcal {P}}\circ {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}\circ {\mathcal {P}},\\{\mathcal {F}}^{4}& =\mathrm {id} \end{تراز شده}}$

این برابری عملگرها مستلزم تعریف دقیق فضای توابع مورد نظر، تعریف برابری توابع (برابری در هر نقطه؟ برابری تقریباً در همه جا ؟) و تعریف برابری عملگرها - یعنی تعریف توپولوژی در فضای تابع و فضای عملگر در سوال اینها برای همه توابع صادق نیستند، اما در شرایط مختلف، که محتوای اشکال مختلف قضیه وارونگی فوریه است ، صادق هستند .

این تناوب چهار برابری تبدیل فوریه شبیه به چرخش صفحه به میزان 90 درجه است، به خصوص که تکرار دو برابری یک معکوس را به همراه دارد، و در واقع این قیاس را می توان دقیق کرد. در حالی که تبدیل فوریه را می توان به سادگی به عنوان تغییر دامنه زمان و حوزه فرکانس تفسیر کرد، با تبدیل فوریه معکوس آنها را به عقب برگرداند، از نظر هندسی تر می توان آن را به عنوان یک چرخش 90 درجه در حوزه زمان-فرکانس تفسیر کرد (با در نظر گرفتن زمان به عنوان محور x و فرکانس به عنوان محور y )، و تبدیل فوریه را می توان به تبدیل فوریه کسری تعمیم داد ، که شامل چرخش توسط زوایای دیگر است. این را می توان بیشتر به تبدیل های متعارف خطی تعمیم داد ، که می تواند به عنوان عملکرد گروه خطی ویژه SL 2 ( R ) در صفحه زمان-فرکانس، با شکل نمادین حفظ شده مطابق با اصل عدم قطعیت ، در زیر تجسم شود . این رویکرد به ویژه در پردازش سیگنال ، تحت تجزیه و تحلیل زمان - فرکانس مورد مطالعه قرار گرفته است.

واحدها و دوگانگی [ ویرایش ]

متغیر فرکانس باید دارای واحدهای معکوس نسبت به واحدهای حوزه تابع اصلی باشد (معمولاً t یا x نامیده می شود). به عنوان مثال، اگر t بر حسب ثانیه اندازه گیری شود، ξ باید بر حسب چرخه در ثانیه باشد. اگر مقیاس زمان بر حسب 2 π ثانیه باشد، معمولاً از یک حرف یونانی ω دیگر برای نشان دادن فرکانس زاویه ای (که در آن ω = 2π ξ ) در واحد رادیان در ثانیه استفاده می شود. اگر از x برای واحدهای طول استفاده می شود، ξ باید در طول معکوس باشد، به عنوان مثال، اعداد موج. یعنی دو نسخه از خط حقیقی وجود دارد: یکی که محدوده t است و در واحد t اندازه گیری می شود، و دیگری که محدوده ξ است و در واحدهای معکوس نسبت به واحد t اندازه گیری می شود . این دو نسخه متمایز از خط حقیقی را نمی توان با یکدیگر یکسان دانست. بنابراین، تبدیل فوریه از یک فضای توابع به فضای متفاوتی از توابع می رود: توابعی که دامنه تعریف متفاوتی دارند.

به طور کلی، ξ باید همیشه به صورت یک شکل خطی در فضای دامنه آن در نظر گرفته شود، به این معنی که خط حقیقی دوم فضای دوگانه اولین خط حقیقی است. برای توضیح رسمی تر و جزئیات بیشتر به مقاله جبر خطی مراجعه کنید. این دیدگاه در تعمیم تبدیل فوریه به گروه های تقارن عمومی ، از جمله مورد سری فوریه، ضروری می شود.

این که هیچ راه ترجیحی وجود ندارد (اغلب، یکی می‌گوید «راه متعارف نیست») برای مقایسه دو نسخه از خط حقیقی که در تبدیل فوریه دخیل هستند - ثابت کردن واحدها در یک خط، مقیاس واحدها را مجبور نمی‌کند. خط دیگر - دلیل انبوه قراردادهای رقیب در تعریف تبدیل فوریه است. تعاریف مختلف ناشی از انتخاب های مختلف واحدها با ثابت های مختلف متفاوت است.

اجازه دهید ${\hat {f}}_{1}(\xi )$ شکل تبدیل فوریه بر حسب فرکانس معمولی ξ باشد.

زیرا $\xi ={\tfrac {\omega }{2\pi }}$ ، فرم جایگزین ${\hat {f}}_{3}(\omega )$ (که تبدیل فوریه § سایر قراردادها آن را شکل غیر واحدی در فرکانس زاویه ای می نامند) هیچ عاملی در تعریف آن ندارد.

${\begin{aligned}{\hat {f}}_{3}(\omega )\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^ {\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega \cdot x}\,dx={\hat {f}}_{1}\left({\frac {\omega }{2\pi }}\راست)\end{تراز شده}}$

اما یک عامل دارد ${\tfrac {1}{2\pi }}$ در فرمول وارونگی مربوطه خود

${\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}_{3 }(\omega )\cdot e^{i\omega \cdot x}\,d\omega .\end{aligned}}$

یک فرم جایگزین ${\hat {f}}_{2}(\omega )$ (که تبدیل فوریه § سایر قراردادها شکل واحد را در فرکانس زاویه ای می نامند) دارای ضریب ${\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}$ در تعریف آن

${\begin{aligned}{\hat {f}}_{2}(\omega )\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\cdot e^{-i\omega \cdot x}\,dx\end{تراز شده}}$

و همین عامل را نیز دارد ${\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}$ در فرمول وارونگی مربوطه خود، یک رابطه متقارن ایجاد می کند

${\begin{aligned}f(x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f} }_{2}(\omega )\cdot e^{i\omega \cdot x}\,d\omega .\end{تراز شده}}$

در قراردادهای دیگر، تبدیل فوریه به جای − i در توان i است و بالعکس برای فرمول وارونگی. به طور موثر که تعریف می کند $e^{i2\pi \xi x},\xi >0$ به عنوان یک فرکانس منفی، زیرا جزء طیفی مربوطه است ${\hat {f}}(-\xi ).$ اما بسیاری از هویت‌های مربوط به تبدیل فوریه در آن قراردادها معتبر باقی می‌مانند، مشروط بر اینکه تمام عباراتی که به صراحت شامل i می‌شوند آن را با - i جایگزین کرده باشند . برای اضافه کردن سردرگمی بیشتر، توجه داشته باشید که از آنجایی که مهندسان برق از حرف i برای نشان دادن جریان استفاده می‌کنند، شکل تبدیل آنها معمولاً به جای i از حرف j برای واحد موهومی استفاده می‌کند.

هنگام استفاده از واحدهای بدون بعد ، فاکتورهای ثابت حتی ممکن است در تعریف تبدیل نوشته نشوند. به عنوان مثال، در تئوری احتمال ، تابع مشخصه Φ تابع چگالی احتمال f متغیر تصادفی X از نوع پیوسته بدون علامت منفی در نمایی تعریف می شود، و از آنجایی که واحدهای x نادیده گرفته می شوند، 2 π نیز وجود ندارد. :

$\phi (\lambda )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{i\lambda x}\,dx.$

(در تئوری احتمالات و در آمار ریاضی، استفاده از تبدیل فوریه-استیلتیس ترجیح داده می شود، زیرا بسیاری از متغیرهای تصادفی از نوع پیوسته نیستند و تابع چگالی ندارند و باید نه توابع بلکه توزیع ها را در نظر گرفت. ، اندازه گیری هایی که دارای "اتم" هستند.)

از دیدگاه بالاتر کاراکترهای گروه ، که بسیار انتزاعی‌تر است، همه این انتخاب‌های دلخواه ناپدید می‌شوند، همانطور که در بخش بعدی این مقاله توضیح داده خواهد شد، که مفهوم تبدیل فوریه یک تابع در یک آبلی فشرده محلی را بررسی می‌کند. گروه .

تداوم یکنواخت و لم ریمان-لبگ [ ویرایش ]

تابع مستطیل شکل لبگ قابل انتگرالگیری است .

تابع sinc ، که تبدیل فوریه تابع مستطیل است، محدود و پیوسته است، اما لبگ قابل انتگرال نیست.

تبدیل فوریه ممکن است در برخی موارد برای توابع غیر قابل انتگرال تعریف شود، اما تبدیل فوریه توابع انتگرال پذیر چندین ویژگی قوی دارند.

تبدیل فوریه f̂ هر تابع انتگرال پذیر f به طور یکنواخت پیوسته است و [15]

$\left\|{\hat {f}}\right\|_{\infty }\leq \left\|f\right\|_{1}$

توسط لم ریمان-لبگ ، [16]

${\hat {f}}(\xi )\to 0{\text{ as }}|\xi |\to \infty .$

با این حال، ${\ کلاه {f}}$ لازم نیست یکپارچه شود به عنوان مثال، تبدیل فوریه تابع مستطیل شکل ، که قابل انتگرال است، تابع sinc است ، که قابل انتگرال‌پذیری لبگ نیست ، زیرا انتگرال‌های نامناسب آن مانند سری هارمونیک متناوب عمل می‌کنند ، در همگرا شدن به مجموع بدون اینکه مطلقاً همگرا باشند.

به طور کلی نمی توان تبدیل معکوس را به عنوان یک انتگرال لبگ نوشت . با این حال، زمانی که هر دو f و ${\ کلاه {f}}$ قابل انتگرالگیری هستند، برابری معکوس

$f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\hat {f}}(\xi )e^{2i\pi x\xi }\,d\xi$

تقریبا در همه جا نگه می دارد . یعنی تبدیل فوریه روی L 1 ( R ) تزریقی است . (اما اگر f پیوسته باشد، تساوی برای هر x برقرار است.)

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی