زنجیره (توپولوژی جبری)

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه یازدهم مرداد ۱۴۰۱ | 11:2

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

این مقاله در مورد توپولوژی جبری است . برای واژه زنجیره در نظریه نظم ، به زنجیره (نظریه نظم) مراجعه کنید.در توپولوژی جبری , یک زنجیره k ترکیب خطی رسمی از سلولهای k در یک مجموعه سلولی است . در کمپلکس های ساده (به ترتیب، کمپلکس های مکعبی )، k -chains ترکیبی از k -simplices (به ترتیب، k - cubes)، [1] [2] [3] هستند اما لزوماً به هم متصل نیستند. زنجیر در همسانی استفاده می شود . عناصر یک گروه همسانی کلاس های هم ارزی زنجیره ها هستند.

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

برای یک مجتمع ساده $ایکس$ ، گروه $C_n(X)$ از $n$ -زنجیره از $ایکس$ از رابطه زیر بدست می آید:

$C_{n}(X)=\left\{\sum \limits _{i}m_{i}\sigma _{i}|m_{i}\in \mathbb {Z} \right\}$

جایی که $\sigma _{i}$ مفرد هستند $n$ -ساده های $ایکس$ . توجه داشته باشید که هر عنصر در $C_n(X)$ لازم نیست یک مجتمع ساده متصل باشد.

ادغام در زنجیره ها [ ویرایش ]

ادغام در زنجیره ها با در نظر گرفتن ترکیب خطی انتگرال ها بر روی ساده های زنجیره با ضرایب (که معمولاً اعداد صحیح هستند) تعریف می شود. مجموعه ای از زنجیره های k یک گروه را تشکیل می دهد و دنباله این گروه ها را مجموعه زنجیره ای می نامند .

عملگر مرزی روی زنجیره ها [ ویرایش ]

مرز منحنی چند ضلعی ترکیبی خطی از گره های آن است. در این مورد، ترکیبی خطی از A 1 تا A 6 . با فرض اینکه بخش ها همگی از چپ به راست جهت گیری شده اند (به ترتیب افزایش از A k به A k +1 )، مرز A 6 − A 1 است.

یک منحنی چند ضلعی بسته، با فرض جهت گیری ثابت، دارای مرز صفر است.

مرز یک زنجیره ترکیب خطی مرزهای ساده در زنجیره است. مرز یک k -chain یک ( k -1)- زنجیره است. توجه داشته باشید که مرز یک سیمپلکس یک سیمپلکس نیست، بلکه یک زنجیره با ضرایب 1 یا -1 است - بنابراین زنجیره ها بسته شدن ساده ها در زیر عملگر مرزی هستند.

مثال 1: مرز یک مسیر ، تفاوت صوری نقاط انتهایی آن است: این یک مجموع تلسکوپی است . برای نشان دادن، اگر 1-زنجیره $c=t_{1}+t_{2}+t_{3}\,$ یک مسیر از نقطه است $v_{1}\,$ به اشاره $v_{4}\,$ ، جایی که $t_{1}=[v_{1}، v_{2}]\،$ ، $t_{2}=[v_{2}، v_{3}]\،$ و $t_{3}=[v_{3}، v_{4}]\،$ آنها 1-ساده های تشکیل دهنده آن هستند

${\begin{aligned}\partial _{1}c&=\partial _{1}(t_{1}+t_{2}+t_{3})\\&=\partial _{1}(t_{1 })+\جزئی _{1}(t_{2})+\جزئی _{1}(t_{3})\\&=\جزئی _{1}([v_{1},v_{2}] )+\جزئی _{1}([v_{2}، v_{3}])+\جزئی _{1}([v_{3}،v_{4}])\\&=([v_{2 }]-[v_{1}])+([v_{3}]-[v_{2}])+([v_{4}]-[v_{3}])\\&=[v_{4 }]-[v_{1}].\end{تراز شده}}$

مثال 2: مرز مثلث مجموع صوری لبه های آن با علائمی است که به گونه ای مرتب شده اند که پیمایش مرز را در خلاف جهت عقربه های ساعت انجام دهند.

یک زنجیره زمانی چرخه نامیده می شود که مرز آن صفر باشد. به زنجیره ای که مرز یک زنجیره دیگر است، مرز می گویند . مرزها چرخه هستند، بنابراین زنجیره ها یک مجموعه زنجیره ای را تشکیل می دهند که گروه های همسانی آن (مرزهای مدول چرخه) گروه های همسانی ساده نامیده می شوند.

مثال 3: صفحه سوراخ شده در مبدا دارای گروه 1-همسانی غیر اساسی است زیرا دایره واحد یک چرخه است، اما یک مرز نیست.

در هندسه دیفرانسیل ، دوگانگی بین عملگر مرزی روی زنجیره ها و مشتق بیرونی با قضیه کلی استوکس بیان می شود .

https://en.wikipedia.org/wiki/Chain_(algebraic_topology)

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی