مدار RLC

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه هجدهم خرداد ۱۴۰۱ | 13:47

مدار RLC (همچنین به عنوان مدار رزونانس ، مدار تنظیم شده یا مدار LCR شناخته می شود) یک مدار الکتریکی است که از یک مقاومت (R)، یک سلف (L) و یک خازن (C) تشکیل شده است که به صورت سری یا موازی به هم متصل شده اند. این پیکربندی یک نوسان ساز هارمونیک را تشکیل می دهد .

مدارهای تنظیم شده کاربردهای زیادی به ویژه برای مدارهای نوسانی و در مهندسی رادیو و ارتباطات دارند. می توان از آنها برای انتخاب محدوده باریکی از فرکانس ها از طیف کل امواج رادیویی محیط استفاده کرد. به عنوان مثال، رادیوهای AM/FM با تیونرهای آنالوگ معمولاً از مدار RLC برای تنظیم فرکانس رادیویی استفاده می کنند. معمولاً یک خازن متغیر به دستگیره تنظیم متصل می شود که به شما امکان می دهد مقدار C را در مدار تغییر دهید و ایستگاه های فرکانس های مختلف را تنظیم کنید.

مدار RLC مدار مرتبه دوم نامیده می شود زیرا هر ولتاژ یا جریان در مدار را می توان با یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم برای تجزیه و تحلیل مدار توصیف کرد.

فهرست

تنظیمات [ ویرایش | ویرایش منبع ]

هر مدار RLC از دو جزء تشکیل شده است: منبع تغذیه و تشدید کننده . دو نوع منبع انرژی وجود دارد - Thévenin و Norton . به همین ترتیب، دو نوع تشدید کننده وجود دارد - سری LC و LC موازی. در نتیجه، چهار پیکربندی از مدارهای RLC وجود دارد:

سری LC با منبع تغذیه Thévenin
سری ال سی با منبع تغذیه نورتون
LC موازی با منبع تغذیه Thévenin
LC موازی با منبع تغذیه نورتون.

شباهت ها و تفاوت های مدارهای سری و موازی [ ویرایش | ویرایش منبع ]

عبارات پهنای باند در پیکربندی سری و موازی معکوس یکدیگر هستند. این به ویژه برای تعیین اینکه آیا یک پیکربندی سری یا موازی قرار است برای یک طراحی مدار خاص استفاده شود مفید است. با این حال، در تحلیل مدار، معمولاً از متقابل دو متغیر اخیر برای مشخص کردن سیستم استفاده می‌شود. آنها به ترتیب به عنوان فرکانس تشدید و عامل Q شناخته می شوند.

پارامترهای اساسی [ ویرایش | ویرایش منبع ]

دو پارامتر اساسی وجود دارد که رفتار مدارهای RLC را توصیف می کند : فرکانس تشدید و ضریب میرایی. علاوه بر این، سایر پارامترهای مشتق شده از این دو مورد اول در زیر مورد بحث قرار می گیرند.

فرکانس تشدید [ ویرایش | ویرایش منبع ]

رزونانس بدون میرا یا فرکانس طبیعی یک مدار RLC ( بر حسب رادیان در ثانیه) توسط

$\omega _{0}={1 \over {\sqrt {LC}}}$

در واحد هرتز آشناتر (یا چرخه در ثانیه)، فرکانس طبیعی می شود

$f_{0}={\omega _{0} \over 2\pi }={1 \over 2\pi {\sqrt {LC}}}$

رزونانس زمانی رخ می دهد که امپدانس مختلط Z LC تشدید کننده LC صفر شود:

$Z_{LC}=Z_{L}+Z_{C}=0\quad$

هر دوی این امپدانس ها تابع فرکانس زاویه ای هستند $\ امگا$ :

$Z_{C}={1 \over {j\omega C}}$

$Z_{L}=jL\omega \quad$

قدر امپدانس را روی صفر قرار دهید $\omega =\omega _{0}$ و با استفاده از $j^{2}=-1$ :

$|Z_{LC}|=L\omega _{0}-{1 \over {\omega _{0}C}}=0$

$\omega _{0}^{2}={1 \over {LC}}\Rightarrow \omega _{0}={1 \over {\sqrt {LC}}}$

ضریب میرایی [ ویرایش | ویرایش منبع ]

ضریب میرایی نرمال مدار عبارت است از:

$\zeta _{N}={\zeta \over \omega _{0}}={R \over 2}{\sqrt {C \over L}}$

برای یک مدار RLC سری، و:

$\zeta _{N}={\zeta \over \omega _{0}}={1 \over 2R}{\sqrt {L \over C}}$

برای مدار RLC موازی مطلوب است که از ضریب میرایی اجباری نرمال شده (غیر بعدی) به جای ضریب معمولی ( بر حسب رادیان در ثانیه) برای تجزیه و تحلیل خواص مدار تشدید استفاده شود.

برای کاربرد در مدارهای نوسانگر، به طور کلی مطلوب است که ضریب میرایی تا حد امکان کوچکتر شود، یا به طور معادل، ضریب کیفیت (Q) تا حد امکان افزایش یابد. در عمل، این امر مستلزم کاهش مقاومت R در مدار به کوچکترین مقدار ممکن برای مدار سری و افزایش R به حداکثر مقدار ممکن برای مدار موازی است. در این مورد، مدار RLC تقریب خوبی برای یک مدار LC ایده آل می شود .

روش دیگر، برای کاربرد در فیلترهای باند گذر، مقدار ضریب میرایی بر اساس پهنای باند مورد نظر فیلتر انتخاب می شود. برای پهنای باند بیشتر، مقدار بیشتری از ضریب میرایی مورد نیاز است (و بالعکس). در عمل، این نیاز به تنظیم مقادیر نسبی مقاومت R و سلف L در مدار دارد.

پارامترهای مشتق شده [ ویرایش | ویرایش منبع ]

پارامترهای مشتق شده شامل پهنای باند ، ضریب Q و فرکانس تشدید میرا شده است .

پهنای باند [ ویرایش | ویرایش منبع ]

مدار RLC ممکن است به عنوان یک باند گذر یا فیلتر باند استاپ با جایگزینی R با یک دستگاه گیرنده با همان مقاومت ورودی استفاده شود. در مورد سری، پهنای باند (بر حسب رادیان در ثانیه) است

$\Delta \omega =2\zeta ={R \over L}$

از طرف دیگر، پهنای باند بر حسب هرتز است

$\Delta f={\Delta \omega \over 2\pi }={\zeta \over \pi }={R \over 2\pi L}$

پهنای باند اندازه گیری عرض پاسخ فرکانسی در دو فرکانس نیمه توان است. در نتیجه، این اندازه گیری از پهنای باند گاهی اوقات پهنای کامل در نیمه توان نامیده می شود . از آنجایی که توان الکتریکی با مجذور ولتاژ مدار (یا جریان) متناسب است، پاسخ فرکانس کاهش می یابد ${1 \over {\sqrt {2}}}$ در فرکانس های نیمه توان

میرایی تشدید [ ویرایش | ویرایش منبع ]

فرکانس تشدید میرایی از فرکانس طبیعی و ضریب میرایی ناشی می شود. اگر مدار کم میرا باشد ، به این معنی است

$\displaystyle \zeta <\omega _{0}$

سپس می‌توانیم تشدید میرا را به‌عنوان تعریف کنیم

$\omega _{d}={\sqrt {\omega _{0}^{2}-\zeta ^{2}}}$

در یک مدار نوسانگر

$\zeta \ll \omega _{0}$ .

در نتیجه

$\omega _{d}\approx \omega _{0}$ .

بحث در مورد میرایی کم، میرایی بیش از حد و میرایی بحرانی را در زیر ببینید.

تجزیه و تحلیل مدار [ ویرایش | ویرایش منبع ]

سری RLC با منبع تغذیه Thévenin [ ویرایش | ویرایش منبع ]

در این مدار، سه جزء همگی با منبع ولتاژ سری هستند .

نمادهای مدار RLC سری:

V - ولتاژ منبع تغذیه (اندازه گیری شده در ولت V)

I - جریان در مدار (اندازه گیری شده در آمپر A)

R - مقاومت مقاومت (اندازه گیری شده در اهم = V/A)؛

L - اندوکتانس سلف (اندازه گیری شده در henrys = H = V· s /A)

C - ظرفیت خازن (اندازه گیری شده بر حسب فاراد = F = C / V = A·s / V)

q - بار در خازن (اندازه گیری شده در کولن C)

با توجه به پارامترهای v، R، L، و C، راه حل برای شارژ، q، را می توان با استفاده از قانون ولتاژ Kirchhoff پیدا کرد . (KVL) می دهد

${v_{R}+v_{L}+v_{C}=v}\,$

برای یک ولتاژ تغییر زمان v(t) این می شود

$Ri(t)+L{{di} \over {dt}}+{1 \over C}\int _{-\infty }^{t}i(\tau )\,d\tau =v (t)$

استفاده از رابطه بین شارژ و جریان:

$i(t)={{dq} \over {dt}}$

عبارت فوق را می توان بر حسب بار در سرتاسر خازن بیان کرد:

$L{{d^{2}q} \over {dt^{2}}}+{R}{{dq} \over {dt}}+{1 \over {C}}q(t) =v(t)$

از تقسیم بر L معادله دیفرانسیل مرتبه دوم زیر بدست می آید:

${{d^{2}q} \over {dt^{2}}}+{R \over L}{{dq} \over {dt}}+{1 \over {LC}}q( t)={1 \over L}v(t)$

اکنون دو پارامتر کلیدی را تعریف می کنیم:

$\zeta _{N}={R \over 2}{\sqrt {C \over L}}$ و $\omega _{0}={1 \over {\sqrt {LC}}}$

با جایگزینی این پارامترها در معادله دیفرانسیل، به دست می آوریم:

${{d^{2}q} \over {dt^{2}}}+2\zeta _{N}.\omega _{0}{{dq} \over {dt}}+\omega _{0}^{2}q(t)={1 \over L}v(t)$

یا

$q''+2\zeta _{N}.\omega _{0}q'+\omega _{0}^{2}q={1 \over L}v(t)$

دامنه فرکانس [ ویرایش | ویرایش منبع ]

سری RLC را می توان در حوزه فرکانس با استفاده از روابط امپدانس پیچیده تحلیل کرد. اگر منبع ولتاژ بالا یک شکل موج نمایی پیچیده با دامنه v(s) و فرکانس زاویه ای ایجاد کند . $s=\sigma +i\omega$ ، KVL را می توان اعمال کرد:

$v(s)=i(s)\left(R+Ls+{\frac {1}{Cs}}\right)$

که در آن i(s) جریان مختلط تمام اجزاء است. حل برای من:

$i(s)={\frac {1}{R+Ls+{\frac {1}{Cs}}}}v(s)$

و تنظیم مجدد، ما در

$i(s)={\frac {s}{L\left(s^{2}+{R \over L}s+{\frac {1}{LC}}\right)}}v(s )$

پذیرش مجتمع [ ویرایش | ویرایش منبع ]

بعد، ما برای پذیرش پیچیده Y(های) حل می کنیم:

$Y(s)={i(s) \over v(s)}={\frac {s}{L\left(s^{2}+{R \over L}s+{\frac {1 {LC}}\راست)}}$

در نهایت با استفاده از پارامترهای ζ و ω o ساده می کنیم

$Y(s)={i(s) \over v(s)}={\frac {s}{L\left(s^{2}+2\zeta \omega _{0}s+\omega _{0}^{2}\راست)}}$

توجه داشته باشید که این عبارت برای Y(s) همان عبارتی است که برای پاسخ حالت صفر یافتیم.

قطب ها و صفرها [ ویرایش | ویرایش منبع ]

صفرهای Y(s) آن دسته از مقادیر s هستند که $Y(s)=0$ :

$s=0$ و $s=\infty$

قطب های Y(s) آن دسته از مقادیر s هستند به طوری که $Y(s)=\infty$ . با فرمول درجه دوم ، ما پیدا می کنیم

$s=-\zeta \pm {\sqrt {\zeta ^{2}-\omega _{0}^{2}}}$

توجه داشته باشید که قطب های Y(s) با ریشه ها یکسان هستند $\lambda _{1}$ و $\lambda _{2}$ از چند جمله ای مشخصه

حالت پایدار سینوسی [ ویرایش | ویرایش منبع ]

حالا اجازه دهید
  
    
    {\displaystyle s=i\omega }
  
....

بزرگی معادله فوق را در نظر بگیرید:

$|Y(s=i\omega )|={\frac {1}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L-{\frac {1}{\omega C}}\ درست)^{2}}}}.$

بعد، مقدار جریان را تابعی از ω می‌یابیم

$|I(i\omega)|=|Y(i\omega)||V(i\omega)|.\,$

اگر مقادیری را انتخاب کنیم که در آنها R = 1 اهم، C = 1 فاراد، L = 1 هنری، و V = 1.0 ولت باشد، نمودار قدر جریان i (بر حسب آمپر) به عنوان تابعی از ω (بر حسب رادیان در ثانیه) است:

تجزیه و تحلیل حالت پایدار سینوسی

توجه داشته باشید که یک اوج در وجود دارد $i_{mag}(\omega )=1$ . این به عنوان فرکانس تشدید شناخته می شود . با حل این مقدار، متوجه می شویم:

$\omega _{0}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}.$

مدار RLC موازی [ ویرایش | ویرایش منبع ]

نمادهای مدار RLC موازی:

V - ولتاژ منبع تغذیه (اندازه گیری شده در ولت V)

I - جریان در مدار (اندازه گیری شده در آمپر A)

R - مقاومت مقاومت (اندازه گیری شده در اهم = V/A)؛

L - اندوکتانس سلف (اندازه گیری شده در henrys = H = V· s /A)

C - ظرفیت خازن (اندازه گیری شده بر حسب فاراد = F = C / V = A·s / V)

امپدانس پیچیده این مدار با جمع کردن امپدانس ها به صورت موازی به دست می آید:

${1 \over Z}={1 \over Z_{L}}+{1 \over Z_{C}}+{1 \over Z_{R}}={1 \over {j\omega L} }+{j\omega C}+{1 \over R}$

تغییر از آرایش سری به آرایش موازی پیامدهای بسیار واقعی برای رفتار دارد. این را می توان با ترسیم بزرگی جریان مشاهده کرد{\displaystyle I={V \over Z}} $I={V \over Z}$ . برای مقایسه با نمودار قبلی، مقادیری را انتخاب می کنیم که R = 1 اهم، C = 1 فاراد، L = 1 هنری، و V = 1.0 ولت و ω بر حسب رادیان در ثانیه:

تجزیه و تحلیل حالت پایدار سینوسی

حداقل در پاسخ فرکانسی در فرکانس تشدید وجود دارد $\omega _{0}={1 \over {\sqrt {LC}}}$ .

مدار RLC موازی نمونه‌ای از پاسخ مدار باند استاپ است که می‌تواند به عنوان فیلتری برای مسدود کردن فرکانس‌ها در فرکانس تشدید استفاده شود اما به دیگران اجازه عبور دهد.

الگو:پاکسازی-باقیمانده

یک راه بسیار زیباتر برای بازیابی ویژگی های مدار یک مدار RLC از طریق استفاده از غیر بعدی سازی است .

برای پیکربندی موازی اجزای یکسان، که در آن Φ شار مغناطیسی در سیستم است

$C{\frac {d^{2}\Phi }{dt^{2}}}+{\frac {1}{R}}{\frac {d\Phi }{dt}}+{\ frac {1}{L}}\Phi =i_{0}\cos(\omega t)\Rightarrow {\frac {d^{2}\chi }{d\tau ^{2}}}+2\zeta _{N}{\frac {d\chi }{d\tau }}+\chi =\cos(\Omega \tau )$

با تعویض

$\Phi =\chi x_{c},\ t=\tau t_{c},\ x_{c}=Li_{0},\ t_{c}={\sqrt {LC}},\ 2 \zeta _{N}={\frac {1}{R}}{\sqrt {\frac {L}{C}}},\ \Omega =\omega t_{c}.$

متغیر اول مربوط به حداکثر شار مغناطیسی ذخیره شده در مدار است. دوم مربوط به دوره نوسانات رزونانس در مدار است.

[ ویرایش | _ ویرایش منبع ]

https://en.wikiversity.org/wiki/RLC_circuit

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی