ریاضیات

 نیروی لورنتس و قانون القاء فارادی [ ویرایش ]

نیروی لورنتس -تصویر روی دیواری در لیدن

نوشتار اصلی: قانون استقرا فارادی

با توجه به حلقه ای از سیم در یک میدان مغناطیسی ، قانون القایی فارادی بیان می کند که نیروی الکتروموتور القایی (EMF) در سیم به صورت زیر است:

جایی که

شار مغناطیسی از طریق حلقه است، B میدان مغناطیسی است، Σ( t ) سطحی است که توسط کانتور بسته ∂Σ( t ) محدود شده است، در زمان t، عنصرd A مساحت برداری بی نهایت کوچک از Σ( t ) است. قدر مساحت یک تکه بی نهایت کوچک از سطح است، جهت متعامد به آن تکه سطحی است).

علامت EMF توسط قانون لنز تعیین می شود . توجه داشته باشید که این نه تنها برای یک سیم ثابت - بلکه برای یک سیم متحرک نیز معتبر است .

از قانون القایی فارادی (که برای سیم متحرک، به عنوان مثال در یک موتور معتبر است) و معادلات ماکسول ، می توان نیروی لورنتس را استنباط کرد. برعکس نیز صادق است، نیروی لورنتس و معادلات ماکسول می توانند برای استخراج قانون فارادی استفاده شوند .

فرض کنید Σ( t ) سیم متحرک باشد که بدون چرخش و با سرعت ثابت با هم حرکت می کنند و Σ ( t ) سطح داخلی سیم باشد. EMF در اطراف مسیر بسته ∂Σ( t ) به صورت زیر به دست می آید: [31]

جایی که

میدان الکتریکی است و d ℓ یک عنصر برداری بی نهایت کوچک از کانتور ∂Σ( t ) است.

نکته: هر دو d ℓ و d A دارای ابهام علامت هستند. برای به دست آوردن علامت صحیح ، همانطور که در مقاله قضیه کلوین-استوکس توضیح داده شد، از قانون دست راست استفاده می شود .

نتیجه فوق را می توان با نسخه قانون القاء فارادی که در معادلات ماکسول مدرن ظاهر می شود، مقایسه کرد که در اینجا معادله ماکسول-فارادی نامیده می شود :

معادله ماکسول-فارادی را نیز می توان به صورت انتگرال با استفاده از قضیه کلوین-استوکس نوشت . [32]

بنابراین، معادله ماکسول فارادی را داریم:

و قانون فارادی،

اگر سیم حرکت نکند، این دو معادل هستند. با استفاده از قانون انتگرال لایب نیتس و اینکه div B = 0 ، منجر به،

و با استفاده از معادله ماکسول فارادی،

از آنجایی که این برای هر موقعیت سیم معتبر است، به این معنی است که

قانون القای فارادی در مورد اینکه آیا حلقه سیم صلب و ثابت است یا در حال حرکت یا در حال تغییر شکل است و اینکه آیا میدان مغناطیسی در زمان ثابت است یا در حال تغییر است، وجود دارد. با این حال، مواردی وجود دارد که قانون فارادی یا ناکافی است یا استفاده از آن دشوار است و استفاده از قانون نیروی لورنتز ضروری است. به عدم کاربرد قانون فارادی مراجعه کنید .

اگر میدان مغناطیسی در زمان ثابت باشد و حلقه رسانا در میدان حرکت کند، شار مغناطیسی Φ B که حلقه را به هم متصل می‌کند می‌تواند به روش‌های مختلفی تغییر کند. به عنوان مثال، اگر فیلد B با موقعیت متفاوت باشد، و حلقه به مکانی با فیلد B متفاوت حرکت کند ، Φ B تغییر خواهد کرد. از طرف دیگر، اگر جهت گیری حلقه را با توجه به میدان B تغییر دهد، عنصر دیفرانسیل B ⋅ d A به دلیل زاویه متفاوت بین B و d A تغییر می کند، همچنین Φ B نیز تغییر می کند.. به عنوان مثال سوم، اگر بخشی از مدار از طریق یک میدان B یکنواخت و مستقل از زمان عبور داده شود، و بخش دیگری از مدار ثابت نگه داشته شود، شار پیوند دهنده کل مدار بسته می تواند به دلیل تغییر در موقعیت نسبی تغییر کند. اجزای تشکیل دهنده مدار با زمان (سطح ∂Σ( t ) وابسته به زمان). در هر سه مورد، قانون القایی فارادی سپس EMF تولید شده توسط تغییر در Φ B را پیش‌بینی می‌کند .

توجه داشته باشید که معادله ماکسول فارادی نشان می‌دهد که میدان الکتریکی E زمانی که میدان مغناطیسی B در زمان تغییر می‌کند، غیر محافظه‌کار است، و به عنوان گرادیان یک میدان اسکالر قابل بیان نیست ، و مشمول قضیه گرادیان نمی‌شود زیرا چرخش آن صفر نیست. [31] [33]