نظریه استورم-لیوویل (اشتورم-لیوویل)

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه هشتم خرداد ۱۴۰۱ | 10:52

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

در ریاضیات و کاربردهای آن، نظریه کلاسیک استورم-لیوویل، نظریه معادلات دیفرانسیل معمولی خطی مرتبه دوم حقیقی به شکل زیر است

${\frac {d}{dx}}\!\!\left[\,p(x){\frac {dy}{dx}}\right]+q(x)y=-\lambda \ ,w(x)y,$

( 1 )

برای توابع ضریب داده شده p ( x ) , q ( x ) و w ( x ) و یک تابع مجهول y از متغیر آزاد x . تابع w ( x ) که گاهی با r ( x ) نشان داده می شود، تابع وزن یا چگالی نامیده می شود .

همه معادلات دیفرانسیل معمولی خطی مرتبه دوم همگن (یعنی با سمت راست برابر با صفر) را می توان به این شکل کاهش داد.

در ساده ترین حالتی که همه ضرایب در بازه بسته محدود [ a , b ] پیوسته هستند و p مشتق پیوسته دارد، تابع y اگر به طور پیوسته بر روی ( a , b ) قابل تفکیک باشد و معادله ( 1 ) را برآورده کند، راه حل نامیده می شود. در هر نقطه از ( a , b ) . (در مورد p ( x ) عمومی تر ، q ( x ) ، w ( x )راه‌حل‌ها باید به معنای ضعیف درک شوند .) علاوه بر این، y معمولاً برای برآوردن برخی شرایط مرزی در a و b مورد نیاز است. هر یک از این معادله ( 1 ) همراه با شرایط مرزی آن یک مسئله استورم-لیویل را تشکیل می دهند .

مقدار λ در معادله مشخص نشده است: یافتن λ که برای آن یک راه حل غیر ضروری وجود دارد بخشی از مسئله اشتورم -لیوویل داده شده است. چنین مقادیر λ ، زمانی که وجود داشته باشند، مقادیر ویژه مسئله نامیده می شوند، و راه حل های مربوطه، توابع ویژه مرتبط با هر λ هستند. این اصطلاح به این دلیل است که راه حل ها با مقادیر ویژه و توابع ویژه یک عملگر دیفرانسیل هرمیتی در یک فضای تابع مناسب مطابقت دارند. . نظریه اشتورم -لیوویل وجود و رفتار مجانبی مقادیر ویژه، نظریه کیفی مربوط به توابع ویژه و کامل بودن آنها در فضای تابع را مطالعه می کند.

این نظریه در ریاضیات کاربردی مهم است، جایی که مسائل اشتورم -لیوویل بسیار مکرر رخ می دهد، به ویژه هنگامی که با معادلات دیفرانسیل جزئی خطی قابل جداسازی سروکار داریم . به عنوان مثال، در مکانیک کوانتومی ، معادله شرودینگر مستقل از زمان یک بعدی یک مسئله استورم-لیویل است.

اگر p ( x ) ، w ( x ) > 0 ، و p ( x ) ، p '( x ) ، q ( x ) ، w ( x ) توابع پیوسته بر روی متن محدود باشند، به یک مسئله استورم-لیویل گفته می شود که منظم است. فاصله [ a , b ] ، و مسئله شرایط مرزی فرم را از هم جدا کرده است:

$\alpha _{1}y(a)+\alpha _{2}y'(a)=0\qquad \alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2} >0،$

( 2 )

$\beta _{1}y(b)\,+\,\beta _{2}y'(b)=0\qquad \beta _{1}^{2}+\beta _{2} ^{2}>0.$

( 3 )

نتیجه اصلی نظریه استورم-لیویل بیان می کند که برای مسئله منظم استورم-لیوویل ( 1 )، ( 2 )، ( 3 ):

مقادیر ویژه λ 1 , λ 2 , λ 3 , ... حقیقی هستند و می توان آنها را طوری شماره گذاری کرد که

$\lambda _{1}<\lambda _{2}<\lambda _{3}<\cdots <\lambda _{n}<\cdots \to \infty ;$
مربوط به هر مقدار ویژه λ n یک تابع ویژه منحصر به فرد (تا مضرب ثابت) y n ( x ) با دقیقاً n - 1 صفر در ( a , b ) است که n امین راه حل اساسی نامیده می شود .
توابع ویژه نرمال شده یک مبنای متعارف تحت ضرب داخلی وزن دار در فضای هیلبرت تشکیل می دهند. $L^{2}([a,b],w(x)\,dx)$ . به این معنا که:

$\langle y_{n},y_{m}\rangle =\int _{a}^{b}y_{n}(x)y_{m}(x)w(x)\,dx=\ دلتا _{mn}،$
جایی که δ mn دلتای کرونکر است .

این نظریه به نام ژاک چارلز فرانسوا استورم (1803-1855) و جوزف لیوویل (1809-1882) نامگذاری شده است.

فهرست

کاهش به فرم اشتورم -لیوویل [ ویرایش ]

معادله دیفرانسیل ( 1 ) به شکل اشتورم -لیوویل یا خود الحاقی گفته می شود . تمام معادلات دیفرانسیل معمولی خطی مرتبه دوم را می توان به شکل سمت چپ ( 1 ) با ضرب هر دو طرف معادله در یک ضریب انتگرال گیری مناسب (اگرچه این امر در مورد معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم صادق نیست). ، یا اگر y یک بردار باشد). چند نمونه در زیر آمده است.

معادله بسل [ ویرایش ]

$x^{2}y''+xy'+\left(x^{2}-\nu ^{2}\right)y=0$

که می توان آن را به شکل اشتورم -لیوویل نوشت (ابتدا با تقسیم بر x ، سپس با جمع کردن دو جمله اول سمت چپ به یک جمله)

$\left(xy'\right)'+\left(x-{\frac {\nu ^{2}}{x}}\right)y=0.$

معادله لژاندر [ ویرایش ]

که به راحتی می توان آن را به شکل اشتورم -لیوویل قرار داد، زیرادdx(1 − x 2 ) = −2 x ، بنابراین معادله لژاندر معادل است با

$\left(\left(1-x^{2}\right)y'\right)'+\nu (\nu +1)y=0$

مثال با استفاده از یک عامل انتگرال [ ویرایش ]

$x^{3}y''-xy'+2y=0$

تقسیم بر x ^3 :

$y''-{\frac {1}{x^{2}}}y'+{\frac {2}{x^{3}}}y=0$

ضرب در سراسر توسط یک عامل انتگرال از

$\mu (x)=\exp \left(\int -{\frac {dx}{x^{2}}}\right)=e^{{1}/{x}}،$

می دهد

$e^{{1}/{x}}y''-{\frac {e^{{1}/{x}}}{x^{2}}}y'+{\frac {2e ^{{1}/{x}}}{x^{3}}}y=0$

که به راحتی می توان آن را به شکل اشتورم -لیوویل قرار داد

${\frac {d}{dx}}e^{{1}/{x}}=-{\frac {e^{{1}/{x}}}{x^{2}}}$

بنابراین معادله دیفرانسیل معادل است

$\left(e^{{1}/{x}}y'\right)'+{\frac {2e^{{1}/{x}}}{x^{3}}}y= 0.$

عامل انتگرال برای معادله مرتبه دوم عمومی [ ویرایش ]

$P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0$

ضرب در عام انتگرال سازی

${\displaystyle \mu (x)={\frac {1}{P(x)}}\exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,dx\right )$

و سپس جمع آوری شکل اشتورم -لیوویل را می دهد:

${\frac {d}{dx}}\left(\mu (x)P(x)y'\right)+\mu (x)R(x)y=0,$

یا به صراحت:

${\frac {d}{dx}}\left(\exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,dx\right)y'\right) +{\frac {R(x)}{P(x)}}\exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,dx\right)y=0.$

معادلات اشتورم -لیوویل به عنوان عملگرهای دیفرانسیل خود الحاق [ ویرایش ]

نقشه برداری تعریف شده توسط:

$Lu=-{\frac {1}{w(x)}}\left({\frac {d}{dx}}\left[p(x)\,{\frac {du}{dx} }\right]+q(x)u\right)$

می توان آن را به عنوان یک عملگر خطی L مشاهده کرد که تابع u را به تابع دیگر Lu نگاشت می کند و می توان آن را در زمینه تحلیل تابعی مطالعه کرد. در واقع می توان معادله ( 1 ) را به صورت نوشتاری نوشت

$Lu=\lambda u.$

این دقیقاً مشکل مقدار ویژه است. یعنی به دنبال مقادیر ویژه λ 1 , λ 2 , λ 3 ,... و بردارهای ویژه u 1 , u 2 , u 3 ,... از عملگر L است. تنظیم مناسب برای این مشکل فضای هیلبرت است $L^{2}([a,b],w(x)\,dx)$

با ضرب اسکالر

$\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}{\overline {f(x)}}g(x)w(x)\,dx.$

در این فضا L بر روی توابع به اندازه کافی صاف که شرایط مرزی منظم فوق را برآورده می کند، تعریف می شود. علاوه بر این، L یک عملگر خود الحاقی است:

$\langle Lf,g\rangle =\langle f,Lg\rangle .$

این را می توان به طور رسمی با استفاده از انتگرال توسط قطعات دو بار مشاهده کرد، جایی که عبارات مرزی به دلیل شرایط مرزی ناپدید می شوند. سپس نتیجه می شود که مقادیر ویژه یک عملگر اشتورم -لیوویل حقیقی هستند و توابع ویژه L مربوط به مقادیر ویژه مختلف متعامد هستند. با این حال، این عملگر نامحدود است و از این رو وجود یک مبنای متعارف از توابع ویژه مشهود نیست. برای غلبه بر این مشکل، شخص به حلال نگاه می کند

$\left(Lz\right)^{-1},\qquad z\in \mathbb {R},$ جایی که z یک مقدار ویژه نیست. سپس، محاسبه حلال معادل حل یک معادله ناهمگن است که می تواند با استفاده از فرمول تغییر پارامترها انجام شود. این نشان می دهد که حلال یک عملگر انتگرال با یک هسته متقارن پیوسته است ( تابع گرین مسئله). به عنوان یک نتیجه از قضیه آرزلا-اسکولی ، این عملگر انتگرال فشرده است و وجود دنباله ای از مقادیر ویژه α n که به 0 همگرا می شوند و توابع ویژه که یک مبنای متعارف را تشکیل می دهند از قضیه طیفی برای عملگرهای فشرده به دست می آید . در نهایت توجه داشته باشید که

$\left(Lz\right)^{-1}u=\alpha u,\qquad Lu=\left(z+\alpha ^{-1}\right)u,$ معادل هستند، بنابراین ممکن است بگیریم $\lambda =z+\alpha ^{-1}$ با همان توابع ویژه

اگر بازه نامحدود باشد، یا اگر ضرایب دارای تکینگی در نقاط مرزی باشند، L را مفرد می نامیم. در این حالت، طیف دیگر تنها از مقادیر ویژه تشکیل نمی شود و می تواند شامل یک جزء پیوسته باشد. هنوز یک بسط تابع ویژه مرتبط وجود دارد (شبیه به سری فوریه در مقابل تبدیل فوریه). این در مکانیک کوانتومی مهم است، زیرا معادله شرودینگر مستقل از زمان یک بعدی یک مورد خاص از معادله استورم-لیویل است.

کاربرد برای مسائل مقدار مرزی مرتبه دوم ناهمگن [ ویرایش ]

یک معادله دیفرانسیل خطی مرتبه دوم ناهمگن عمومی را در نظر بگیرید

$P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=f$ برای توابع داده شده $P(x)،Q(x)،R(x)،f(x)$ . مانند قبل، این می تواند به شکل اشتورم -لیوویل کاهش یابد $Ly=f$ : نوشتن یک عملگر عمومی اشتورم -لیوویل به صورت:

$Lu={\frac {p}{w(x)}}u''+{\frac {p'}{w(x)}}u'+{\frac {q}{w(x) }}u,$

یکی سیستم را حل می کند:

$p=Pw,\quad p'=Qw,\quad q=Rw.$

برای حل دو معادله اول کافی است که معادل حل

( Pw )′ = Qw

یا

$w'={\frac {QP'}{P}}w:=\alpha w.$

یک راه حل این است:

$w=\exp \left(\int \alpha \,dx\right),\quad p=P\exp \left(\int \alpha \,dx\right),\quad q=R\exp \ چپ (\int \alpha \,dx\right).$

با توجه به این تبدیل، یکی باقی مانده است که حل شود:

$Ly=f.$

به طور کلی، اگر شرایط اولیه در یک نقطه مشخص شود، برای مثال y ( a ) = 0 و y ′( a ) = 0 ، یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم را می توان با استفاده از روش های معمولی حل کرد و قضیه پیکارد-لیندلوف تضمین می کند که دیفرانسیل معادله یک راه حل منحصر به فرد در همسایگی نقطه ای دارد که شرایط اولیه مشخص شده است.

اما اگر به جای تعیین مقادیر اولیه در یک نقطه ، بخواهیم مقادیر را در دو نقطه مختلف (به اصطلاح مقادیر مرزی) مشخص کنیم، مثلاً y ( a ) = 0 و y ( b ) = 1 ، مشکل مشخص می شود. بسیار دشوارتر باشد توجه داشته باشید که با افزودن یک تابع متمایز شناخته شده مناسب به y که مقادیر آن در a و b شرایط مرزی مورد نظر را برآورده می کند و تزریق داخل معادله دیفرانسیل پیشنهادی، می توان بدون از دست دادن کلیت فرض کرد که شرایط مرزی به شکل y هستند . a ) = 0 وy ( b ) = 0 .

در اینجا، نظریه اشتورم -لیوویل وارد عمل می‌شود: در واقع، یک کلاس بزرگ از توابع f را می‌توان بر حسب یک سری توابع ویژه متعارف u i از عملگر لیوویل مرتبط با مقادیر ویژه مربوطه λi گسترش داد :

$f(x)=\sum _{i}\alpha _{i}u_{i}(x),\quad \alpha _{i}\in {\mathbb {R}}.$

سپس یک جواب برای معادله پیشنهادی بدیهی است:

$y=\sum _{i}{\frac {\alpha _{i}}{\lambda _{i}}}u_{i}.$

این راه حل فقط در بازه باز a < x < b معتبر خواهد بود و ممکن است در مرزها شکست بخورد.

مثال: سری فوریه [ ویرایش ]

مسئله اشتورم -لیوویل را در نظر بگیرید:

$Lu=-{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=\lambda u$

( 4 )

برای مجهولات λ و u ( x ) هستند . برای شرایط مرزی، به عنوان مثال در نظر می گیریم:

$u(0)=u(\pi )=0.$

توجه کنید که اگر k یک عدد صحیح باشد، تابع

$u_{k}(x)=\sin kx$ راه حلی با مقدار ویژه λ = k 2 است. ما می دانیم که راه حل های یک مسئله اشتورم -لیوویل یک مبنای متعامد تشکیل می دهند، و از سری فوریه می دانیم که این مجموعه از توابع سینوسی یک مبنای متعامد است. از آنجایی که پایه‌های متعامد همیشه حداکثر هستند (طبق تعریف) نتیجه می‌گیریم که مسئله اشتورم -لیوویل در این مورد هیچ بردار ویژه دیگری ندارد.

با توجه به موارد قبل، اجازه دهید اکنون مسئله ناهمگن را حل کنیم

$Ly=x,\qquad x\in (0,\pi )$ با همان شرایط مرزی $y(0)=y(\pi )=0$ . در این حالت باید f ( x ) = x را به عنوان سری فوریه بسط دهیم. خواننده ممکن است با انتگرال

∫ e^ ikx x dx

یا با مراجعه به جدول تبدیل های فوریه بررسی کند که به این ترتیب به دست می آوریم

$Ly=\sum _{k=1}^{\infty }-2{\frac {\left(-1\right)^{k}}{k}}\sin kx.$

این سری فوریه خاص به دلیل خواص همگرایی ضعیف آن مشکل ساز است. پیش از این مشخص نیست که آیا این سری از نقطه نظر همگرا هستند یا خیر. به دلیل تجزیه و تحلیل فوریه، از آنجایی که ضرایب فوریه " مربع-مجموع " هستند، سری فوریه در L 2 همگرا می شود که تمام چیزی است که ما برای عملکرد این نظریه خاص نیاز داریم. برای خواننده علاقه مند ذکر می کنیم که در این مورد ممکن است به نتیجه ای تکیه کنیم که می گوید سری های فوریه در هر نقطه تمایز پذیری همگرا می شوند و در نقاط پرش (تابع x که به عنوان تابع تناوبی در نظر گرفته می شود دارای جهش در π است) همگرا می شود. به میانگین حد چپ و راست (به همگرایی سری فوریه مراجعه کنید ).

بنابراین با استفاده از فرمول ( 4 ) جواب زیر را بدست می آوریم:

$y=\sum _{k=1}^{\infty }2{\frac {(-1)^{k}}{k^{3}}}\sin kx={\tfrac {1} {6}}(x^{3}-\pi ^{2}x).$

در این مورد، ما می‌توانستیم پاسخ را با استفاده از ضد تمایز پیدا کنیم ، اما در بیشتر موارد که معادله دیفرانسیل در بسیاری از متغیرها قرار دارد، دیگر مفید نیست.

کاربرد در معادلات دیفرانسیل جزئی [ ویرایش ]

حالت های عادی [ ویرایش ]

برخی معادلات دیفرانسیل جزئی را می توان با کمک نظریه استورم-لیویل حل کرد. فرض کنید ما به حالت‌های ارتعاشی یک غشاء نازک علاقه‌مندیم که در یک قاب مستطیلی نگه داشته شده است، 0 ≤ x ≤ L 1 , 0 ≤ y ≤ L 2 . معادله حرکت برای جابجایی غشاء عمودی، W ( x ، y ، t ) با معادله موج به دست می‌آید :

${\frac {\partial ^{2}W}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}W}{\partial y^{2}}}={ \frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}W}{\partial t^{2}}}.$

روش جداسازی متغیرها پیشنهاد می کند که ابتدا به دنبال راه حل هایی با شکل ساده

W = X ( x ) × Y ( y ) × T ( t )

باشید . برای چنین تابع W معادله دیفرانسیل جزئی تبدیل می شود

X″/X + Y″/Y = 1/c^2 T″/T

از آنجایی که سه عبارت این معادله به طور جداگانه تابعی از x , y , t هستند، باید ثابت باشند. برای مثال، جمله اول

X ″ = λX

را برای ثابت λ می دهد. شرایط مرزی ("در یک قاب مستطیلی") W = 0 در زمانی که

x = 0 ، L 1 یا y = 0 ، L 2

است و ساده ترین مسائل مقدار ویژه اشتورم -لیوویل ممکن را مانند مثال تعریف می کند، و "حالت نرمال" را ایجاد می کند. راه حل ها برای W با وابستگی به زمان هارمونیک،

$W_{mn}(x,y,t)=A_{mn}\sin \left({\frac {m\pi x}{L_{1}}}\right)\sin \left({\ frac {n\pi y}{L_{2}}}\right)\cos \left(\omega _{mn}t\right)$

که در آن m و n اعداد صحیح غیر صفر هستند ، A mn ثابت دلخواه هستند و

$\omega _{mn}^{2}=c^{2}\left({\frac {m^{2}\pi ^{2}}{L_{1}^{2}}}+ {\frac {n^{2}\pi ^{2}}{L_{2}^{2}}}\راست).$

توابع W mn مبنایی را برای فضای هیلبرت از راه حل های (تعمیم یافته) معادله موج تشکیل می دهند. یعنی یک راه حل دلخواه W را می توان به مجموع این حالت ها تجزیه کرد، که در فرکانس های فردی خود ω mn ارتعاش می کنند . این نمایش ممکن است به یک مجموع بی نهایت همگرا نیاز داشته باشد.

معادله خطی مرتبه دوم [ ویرایش ]

برای مرتبه دوم خطی در یک بعد فضایی و مرتبه اول در زمان شکل:

$f(x){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+g(x){\frac {\partial u}{\partial x}}+h (x)u={\frac {\partial u}{\partial t}}+k(t)u,$

$u(a,t)=u(b,t)=0,\qquad u(x,0)=s(x).$

با جداسازی متغیرها، فرض می کنیم که

$u(x,t)=X(x)T(t).$

سپس معادله دیفرانسیل جزئی فوق ما ممکن است به صورت زیر نوشته شود:

${\frac {{\hat {L}}X(x)}{X(x)}}={\frac {{\hat {M}}T(t)}{T(t)}}$

جایی که

${\hat {L}}=f(x){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+g(x){\frac {d}{dx}}+h (x)،\qquad {\hat {M}}={\frac {d}{dt}}+k(t).$

از آنجایی که طبق تعریف، L̂ و X ( x ) مستقل از زمان t و M̂ و T ( t ) مستقل از موقعیت x هستند، پس هر دو طرف معادله فوق باید برابر با یک ثابت باشند:

${\hat {L}}X(x)=\lambda X(x),\qquad X(a)=X(b)=0,\qquad {\hat {M}}T(t)= \lambda T(t).$

اولین مورد از این معادلات باید به عنوان یک مسئله اشتورم -لیوویل بر حسب توابع ویژه X n ( x ) و مقادیر ویژه λ n حل شود. دومین مورد از این معادلات را می توان با مشخص شدن مقادیر ویژه به صورت تحلیلی حل کرد.

${\frac {d}{dt}}T_{n}(t)={\bigl (}\lambda _{n}-k(t){\bigr )}T_{n}(t)$

$T_{n}(t)=a_{n}\exp \left(\lambda _{n}t-\int _{0}^{t}k(\tau )\,d\tau \right )$

$u(x,t)=\sum _{n}a_{n}X_{n}(x)\exp \left(\lambda _{n}t-\int _{0}^{t} k(\tau )\,d\tau \راست)$

$a_{n}={\frac {{\bigl \langle }X_{n}(x),s(x){\bigr \rangle }}{{\bigl \langle }X_{n}(x ),X_{n}(x){\bigr \rangle }}}$

جایی که

${\bigl \langle }y(x),z(x){\bigr \rangle }=\int _{a}^{b}y(x)z(x)w(x)\,dx ،$

$w(x)={\frac {\exp \left(\int {\frac {g(x)}{f(x)}}\,dx\right)}{f(x)}}.$

نمایش راه حل ها و محاسبه عددی [ ویرایش ]

معادله دیفرانسیل اشتورم -لیوویل ( 1 ) با شرایط مرزی ممکن است به صورت تحلیلی حل شود، که می تواند دقیق یا تقریبی باشد، با روش ریلیق-ریتز ، یا با روش ماتریس-تغییر از گرک و همکاران. [1] [2] [3]

از نظر عددی، روش های مختلفی نیز موجود است. در موارد دشوار، ممکن است نیاز باشد که محاسبات میانی را تا چند صد رقم اعشار با دقت انجام دهیم تا مقادیر ویژه را به درستی تا چند رقم اعشار بدست آوریم.

روش های تیراندازی [4] [5]
روش تفاضل محدود
روش سری توان پارامترهای طیفی [6]

روش های تیراندازی [ ویرایش ]

روش‌های تیراندازی با حدس زدن مقدار λ ، حل یک مسئله مقدار اولیه تعریف شده توسط شرایط مرزی در یک نقطه پایانی، مثلاً a ، بازه [ a , b ] ، و مقایسه مقداری که این راه‌حل در نقطه پایانی دیگر b می‌گیرد ، انجام می‌شود. دیگر شرایط مرزی مورد نظر، و در نهایت افزایش یا کاهش λ در صورت لزوم برای اصلاح مقدار اصلی. این استراتژی برای مکان یابی مقادیر ویژه پیچیده قابل اجرا نیست. [ توضیح لازم است ]

روش سری توان پارامترهای طیفی [ ویرایش ]

روش سری توان پارامترهای طیفی (SPPS) از تعمیم حقیقیت زیر در مورد معادلات دیفرانسیل معمولی خطی مرتبه دوم همگن استفاده می کند: اگر y جوابی از معادله ( 1 ) باشد که در هیچ نقطه ای از [ a , b ناپدید نمی شود. ] ، سپس تابع

$y(x)\int _{a}^{x}{\frac {dt}{p(t)y(t)^{2}}}$

جوابی برای همان معادله است و به صورت خطی مستقل از y است. علاوه بر این، همه راه حل ها ترکیبی خطی از این دو راه حل هستند. در الگوریتم SPPS، باید با مقدار دلخواه λ شروع شود∗
0(اغلب λ∗
0= 0 ; لازم نیست یک مقدار ویژه باشد) و هر راه حل y 0 از ( 1 ) با λ = λ∗
0که در [ a , b ] محو نمی شود . (بحث زیر در مورد راههای یافتن y 0 و λ مناسب∗
0.) دو دنباله از توابع X ( n ) ( t ) ، X̃ ( n ) ( t ) در [ a ، b ] ، که به عنوان انتگرال های تکراری شناخته می شوند، به صورت بازگشتی به صورت زیر تعریف می شوند. ابتدا وقتی n = 0 باشد، آنها به طور یکسان برابر با 1 در [ a , b ] در نظر گرفته می شوند . برای به دست آوردن توابع بعدی آنها به طور متناوب در ضرب می شوند1/py2
0و وای2
0و به طور خاص برای n > 0 ادغام شده است :

$X^{(n)}(t)={\begin{cases}\displaystyle -\int _{a}^{x}X^{(n-1)}(t)p(t)^ {-1}y_{0}(t)^{-2}\,dt&n{\text{ odd}},\\[6pt]\displaystyle \quad \int _{a}^{x}X^{( n-1)}(t)y_{0}(t)^{2}w(t)\,dt&n{\text{ even}}\end{موارد}}$

( 5 )

${\tilde {X}}^{(n)}(t)={\begin{cases}\displaystyle \quad \int _{a}^{x}{\tilde {X}}^{( n-1)}(t)y_{0}(t)^{2}w(t)\,dt&n{\text{ odd}},\\[6pt]\displaystyle -\int _{a}^{ x}{\tilde {X}}^{(n-1)}(t)p(t)^{-1}y_{0}(t)^{-2}\,dt&n{\text{ حتی. }}\پایان{موارد}}$

( 6 )

انتگرال های تکرار شده به دست آمده اکنون به عنوان ضرایب در دو سری توان زیر در λ اعمال می شوند :

$u_{0}=y_{0}\sum _{k=0}^{\infty }\left(\lambda -\lambda _{0}^{*}\right)^{k}{\ tilde {X}}^{(2k)}،$

$u_{1}=y_{0}\sum _{k=0}^{\infty }\left(\lambda -\lambda _{0}^{*}\right)^{k}X^ {(2k+1)}.$

سپس برای هر λ (حقیقی یا مختلط)، u 0 و u 1 راه حل های مستقل خطی معادله مربوطه هستند ( 1 ). (توابع p ( x ) و q ( x ) از طریق تأثیر آنها بر انتخاب y 0 در این ساختار شرکت می کنند .)

بعدی ضرایب c 0 و c 1 را انتخاب می کند تا ترکیب y = c 0 u 0 + c 1 u 1 اولین شرط مرزی ( 2 ) را برآورده کند. انجام این کار ساده است زیرا X ( n ) ( a ) = 0 و X̃ ( n ) ( a ) = 0 ، برای n > 0 . مقادیر X ( n ) ( b ) و X̃( n ) ( b )مقادیر u 0 ( b )و u 1 ( b )و مشتقات u ′ 0 ( b )و u 0 ( b )را ارائه دهید، بنابراین شرط مرزی دوم ( 3 ) تبدیل به یک معادله در یک سری توان در λ. برای کار عددی، می‌توان این سری را به تعداد متناهی از عبارت‌ها کوتاه کرد و یک چند جمله‌ای قابل محاسبه درλکه ریشه‌های آن تقریبی از مقادیر ویژه جستجو شده است.

وقتی λ = λ 0 ، این به ساختار اصلی توضیح داده شده در بالا برای یک راه حل مستقل خطی از یک معین کاهش می یابد. بازنمایی های ( 5 ) و ( 6 ) همچنین کاربردهای نظری در نظریه اشتورم -لیوویل دارند. [6]

ساخت یک راه حل غیر محو [ ویرایش ]

روش SPPS به خودی خود می تواند برای یافتن راه حل شروع y 0 استفاده شود. معادله ( py ′)′ = μqy را در نظر بگیرید . به عنوان مثال، q ، w و λ در ( 1 ) به ترتیب با 0، - q و μ جایگزین می شوند. سپس تابع ثابت 1 یک راه حل ناپدید کننده مربوط به مقدار ویژه μ 0 = 0 است. در حالی که هیچ تضمینی وجود ندارد که u 0 یا u 1 ناپدید نشوند، تابع مختلط y 0 = u 0 +iu 1 هرگز ناپدید نخواهد شد زیرا دو راه حل مستقل خطی یک معادله منظم استورم-لیوویل نمی توانند به طور همزمان در نتیجه قضیه جدایی استورم ناپدید شوند . این ترفند یک راه حل y 0 از ( 1 ) برای مقدار λ 0 = 0 می دهد. در عمل اگر ( 1 ) دارای ضرایب حقیقی باشد، راه حل های مبتنی بر y 0 دارای بخش های خیالی بسیار کوچکی خواهند بود که باید کنار گذاشته شوند.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Sturm%E2%80%93لیوویل_theory

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی