2-تابع گرین

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه پنجم خرداد ۱۴۰۱ | 14:57

انگیزه [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: نظریه طیفی

اگر بتوان چنین تابع G را برای اپراتور پیدا کرد $\operatorname {L}$ سپس، اگر معادله ( 1 ) تابع گرین را در f ( s ) ضرب کنیم و سپس نسبت به s ادغام کنیم، به دست می‌آید:

$\int \operatorname {L} \,G(x,s)\,f(s)\,ds=\int \delta (xs)\,f(s)\,ds=f(x)~ .$

چون اپراتور $\operatorname {L} =\operatorname {L} (x)$ خطی است و فقط بر روی متغیر x عمل می کند (و نه بر روی متغیر ادغام s )، می توان عملگر را گرفت $\operatorname {L}$ خارج از ادغام، بازده

$\operatorname {L} \,\left(\int G(x,s)\,f(s)\,ds\right)=f(x)~.$

این به این معنی است که

$u(x)=\int G(x,s)\,f(s)\,ds$

( 3 )

راه حل معادله است $\operatorname {L} u(x)=f(x)~.$

بنابراین، می توان تابع u ( x ) را از طریق آگاهی از تابع گرین در معادله ( 1 ) و عبارت منبع در سمت راست در معادله ( 2 ) به دست آورد. این فرآیند بر خطی بودن عملگر متکی است $\operatorname {L}$ .

به عبارت دیگر، حل معادله ( 2 )، u ( x ) را می توان با ادغام داده شده در رابطه ( 3 ) تعیین کرد. اگرچه f ( x ) شناخته شده است، این ادغام نمی تواند انجام شود مگر اینکه G نیز شناخته شده باشد. مشکل اکنون در یافتن تابع G گرین است که معادله ( 1 ) را برآورده می کند. به همین دلیل، تابع سبز گاهی اوقات راه حل اساسی مرتبط با عملگر نیز نامیده می شود $\operatorname {L}$ .

نه هر اپراتور $\operatorname {L}$ تابع یک گرین را می پذیرد. تابع گرین را نیز می توان به عنوان معکوس راست در نظر گرفت $\operatorname {L}$ . جدای از مشکلات یافتن تابع گرین برای یک عملگر خاص، ارزیابی انتگرال در معادله ( 3 ) ممکن است بسیار دشوار باشد. با این حال، این روش از نظر تئوری یک نتیجه دقیق می دهد.

این را می توان به عنوان یک بسط f بر اساس یک تابع دلتای دیراک در نظر گرفت (فرض کردن f روی $\delta (xs)$ ; و برهم نهی راه حل در هر طرح . چنین معادله انتگرالی به عنوان معادله انتگرال فردهولم شناخته می شود که مطالعه آن نظریه فردهولم را تشکیل می دهد .

همچنین ببینید: معادله انتگرال ولترا

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی