​

 فانوس شوارتز بامبرش های محوری ونرئوس شعاعی حد منطقه به عنوانمونتمایل به بی نهایت همگرا نیست. به ویژه به مساحت سیلندر همگرا نمی شود.

یکی از ظرافت‌های مساحت سطح، در مقایسه با طول قوس منحنی‌ها، این است که سطح را نمی‌توان به سادگی به‌عنوان محدوده‌ای از اشکال چندوجهی که به یک سطح صاف معین تقریب می‌کنند، تعریف کرد. هرمان شوارتز نشان داد که در حال حاضر برای استوانه، انتخاب های مختلف تقریبی سطوح مسطح می تواند به مقادیر محدود کننده متفاوتی از ناحیه منجر شود. این مثال به عنوان فانوس شوارتز شناخته می شود . [2] [3]

رویکردهای مختلفی برای تعریف کلی سطح در اواخر قرن نوزدهم و اوایل قرن بیستم توسط هنری لبسگو و هرمان مینکوفسکی ارائه شد. در حالی که برای سطوح صاف تکه ای یک مفهوم طبیعی منحصر به فرد از مساحت سطح وجود دارد، اگر سطحی بسیار نامنظم یا ناهموار باشد، ممکن است به هیچ وجه نتوان منطقه ای را به آن اختصاص داد. یک مثال معمولی با سطحی با سنبله هایی که به صورت متراکم در سراسر آن پخش شده اند، ارائه می شود. بسیاری از سطوح از این نوع در مطالعه فراکتال ها رخ می دهد . بسط مفهوم مساحت که تا حدی عملکرد آن را انجام می دهد و ممکن است حتی برای سطوح بسیار نامنظم تعریف شود در تئوری اندازه گیری هندسی مورد مطالعه قرار می گیرد . یک مثال خاص از چنین پسوندی است محتوای سطح مینکوفسکی

فرمول های رایج [ ویرایش ]

 

همچنین ببینید: فهرست فرمول ها در هندسه ابتدایی

سطح مواد جامد معمولی
شکلمعادلهمتغیرها
مکعب{\displaystyle 6s^{2}}s = طول ضلع
مکعبی{\displaystyle 2\left(lb+lh+bh\right)}ℓ = طول، b = عرض، h = ارتفاع
منشور مثلثی{\displaystyle bh+l\left(p+q+r\right)}b = طول پایه مثلث، h = ارتفاع مثلث، l = فاصله بین پایه های مثلثی، p , q , r = اضلاع مثلث
همه منشورها{\displaystyle 2B+Ph}B = مساحت یک پایه، P = محیط یک پایه، h = ارتفاع
کره{\displaystyle 4\pi r^{2}=\pi d^{2}}r = شعاع کره، d = قطر
نیمکره{\displaystyle 3\pi r^{2}}r = شعاع نیمکره
پوسته نیمکره ای{\displaystyle \pi \left(3R^{2}+r^{2}\right)}R = شعاع خارجی نیمکره.

r = شعاع داخلی نیمکره.

لون کروی{\displaystyle 2r^{2}\theta }r = شعاع کره، θ = زاویه دو وجهی
توروس{\displaystyle \left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)=4\pi ^{2}Rr}r = شعاع کوچک (شعاع لوله)، R = شعاع بزرگ (فاصله از مرکز لوله تا مرکز چنبره)
سیلندر بسته{\displaystyle 2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r\left(r+h\right)}r = شعاع پایه دایره ای، h = ارتفاع استوانه
سطح منحنی یک مخروط{\displaystyle \pi r{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}=\pi rs}{\displaystyle s={\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}

s = ارتفاع مایل مخروط،
r = شعاع پایه دایره ای،
h = ارتفاع مخروط

سطح کامل یک مخروط{\displaystyle \pi r\left(r+{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}\right)=\pi r\left(r+s\right)}s = ارتفاع مایل مخروط،

r = شعاع پایه دایره ای،
h = ارتفاع مخروط

هرم{\displaystyle B+{\frac {PL}{2}}}B = مساحت پایه، P = محیط پایه، L = ارتفاع مایل
هرم مربع{\displaystyle b^{2}+2bs=b^{2}+2b{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+h^{2}}} }b = طول پایه، s = ارتفاع مایل، h = ارتفاع عمودی
هرم مستطیلی{\displaystyle lb+l{\sqrt {\left({\frac {b}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}+b{\sqrt {\left({\frac {l}{2}}\right)^{2}+h^{2}}}}ℓ = طول، b = عرض، h = ارتفاع
چهار وجهی{\sqrt {3}}a^{2}a = طول ضلع
سطح انقلاب{\displaystyle 2\pi \int _{a}^{b}{f(x){\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}dx}} 
سطح پارامتریک{\displaystyle \iint _{D}\left\vert {\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right\vert dA}{\vec {r}}= معادله برداری پارامتریک سطح

{\vec {r}}_{u}= مشتق جزئی از{\vec {r}}با توجه بهتو

{\displaystyle {\vec {r}}_{v}}= مشتق جزئی از{\vec {r}}با توجه بهv

دی= منطقه سایه

نسبت سطح یک کره و استوانه با شعاع و ارتفاع یکسان [ ویرایش ]

مخروط، کره و استوانه ای به شعاع r و ارتفاع h .

از فرمول های داده شده در زیر می توان برای نشان دادن اینکه مساحت سطح یک کره و استوانه با شعاع و ارتفاع یکسان به نسبت 2: 3 به شرح زیر استفاده می شود.

بگذارید شعاع r و ارتفاع h باشد (که برای کره 2 r است).

 

 

{\displaystyle {\begin{array}{rlll}{\text{سطح کره}}&=4\pi r^{2}&&=(2\pi r^{2})\times 2\\{\ متن{مساحت سطح سیلندر}}&=2\pi r(h+r)&=2\pi r(2r+r)&=(2\pi r^{2})\times 3\end{آرایه}} }

 

کشف این نسبت به ارشمیدس نسبت داده شده است . [4]

​

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Surface_area