8-تابع دلتا دیراک

توسط علی رضا نقش نیلچی | جمعه بیست و سوم اردیبهشت ۱۴۰۱ | 0:45

ابعاد بالاتر [ ویرایش ]

به طور کلی، در یک مجموعه باز $U$ در $n$ فضای اقلیدسی بعدی $\mathbb {R} ^{n}$ ، توزیع دلتای دیراک در یک نقطه متمرکز شده است $a\در U$ توسط [53] تعریف شده است

$\delta _{a}[\varphi ]=\varphi (a)$

برای همه{ $\varphi \in C_{c}^{\infty }(U)$ ، فضای همه عملکردهای صاف با پشتیبانی فشرده در $U$ . اگر $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ هر چند شاخص است و $\جزئی ^{\آلفا }$ نشان دهنده عملگر مشتق جزئی مختلط مربوطه است، سپس $\ آلفا$ مشتق -ام $\partial ^{\alpha }\delta _{a}$ از $\delta _{a}$ توسط [53] ارائه شده است

$\left\langle \partial ^{\alpha }\delta _{a},\,\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\left\langle \delta _{a },\partial ^{\alpha }\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }\varphi (x){\Big |}_{x=a} \quad {\text{ برای همه }}\varphi \در C_{c}^{\infty }(U).$

یعنی $\ آلفا$ -ام مشتق از $\delta _{a}$ توزیعی است که مقدار آن روی هر تابع آزمایشی است $\varphi$ هست $\ آلفا$ -ام مشتق از $\varphi$ در $آ$ (با علامت مثبت یا منفی مناسب).

اولین مشتقات جزئی تابع دلتا به صورت لایه های دوتایی در امتداد صفحات مختصات در نظر گرفته می شوند. به طور کلی، مشتق نرمال یک لایه ساده که روی یک سطح قرار می گیرد، یک لایه دوگانه است که روی آن سطح حمایت می شود و یک تک قطبی مغناطیسی آرام را نشان می دهد. مشتقات بالاتر تابع دلتا در فیزیک به عنوان چند قطبی شناخته می شوند .

مشتقات بالاتر به طور طبیعی به عنوان بلوک های سازنده ساختار کامل توزیع ها با پشتیبانی نقطه وارد ریاضیات می شوند. اگر $اس$ هر توزیع روشن است $U$ در مجموعه پشتیبانی می شود $\{آ\}$ متشکل از یک نقطه واحد، سپس یک عدد صحیح وجود دارد $متر$ و ضرایب $c_{\alpha }$ به طوری که [53] [54]

$S=\sum _{|\alpha |\leq m}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }\delta _{a}.$

نمایش تابع دلتا [ ویرایش ]

تابع دلتا را می توان به عنوان حد یک دنباله از توابع مشاهده کرد

$\delta (x)=\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\eta _{\varepsilon }(x)،$

که در آن η ε ( x ) گاهی اوقات تابع دلتای نوپا نامیده می شود. این حد به معنای ضعیفی است: یا آن

$\lim _{\varepsilon \to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }\eta _{\varepsilon }(x)f(x)\,dx=f( 0)$

( 5 )

برای همه توابع پیوسته f با پشتیبانی فشرده ، یا اینکه این حد برای همه عملکردهای صاف f با پشتیبانی فشرده برقرار است. تفاوت بین این دو حالت کمی متفاوت از همگرایی ضعیف اغلب ظریف است: اولی همگرایی در توپولوژی مبهم اندازه گیری ها است و دومی همگرایی در معنای توزیع است.

تقریب هویت [ ویرایش ]

به طور معمول یک تابع دلتای نوپا η ε را می توان به روش زیر ساخت. اجازه دهید η یک تابع کاملاً انتگرال پذیر در R از انتگرال 1 باشد و تعریف کنید

$\eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).$

در ابعاد n ، به جای آن از مقیاس بندی استفاده می شود

$\eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-n}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).$

سپس یک تغییر ساده متغیرها نشان می‌دهد که η ε انتگرال 1 نیز دارد. می‌توان نشان داد که ( 5 ) برای همه توابع فشرده پیوسته f , [55] صادق است و بنابراین η ε به‌دلیل اندازه‌گیری‌ها ضعیف به δ همگرا می‌شود .

η ε ساخته شده در این روش به عنوان تقریبی برای هویت شناخته می شود . [56] این اصطلاح به این دلیل است که فضای L 1 ( R ) توابع کاملاً یکپارچه‌پذیر تحت عمل کانولوشن توابع بسته می‌شود: f ∗ g ∈ L 1 ( R ) هر زمان که f و g در L 1 ( R ) باشند. با این حال، هیچ هویتی در L 1 ( R ) برای محصول کانولوشن وجود ندارد: هیچ عنصریh طوری که f ∗ h = f برای همه f . با این وجود، دنباله η ε چنین هویتی را به این معنا تقریب می‌زند

$f*\eta _{\varepsilon }\to f\quad {\text{as }}\varepsilon \to 0.$

این حد به معنای همگرایی میانگین (همگرایی در L 1 ) برقرار است. برای اطمینان از همگرایی نقطه‌ای تقریباً در همه جا ، شرایط بیشتری در η ε ، به عنوان مثال این که یک نرم‌کننده مرتبط با یک تابع فشرده باشد، [57] مورد نیاز است .

اگر η = η 1 اولیه به خودی خود صاف و فشرده باشد، دنباله را نرم کننده می نامند . به عنوان مثال، نرم کننده استاندارد با انتخاب η به عنوان یک تابع ضربه ای نرمال شده مناسب به دست می آید.

$\eta (x)={\begin{cases}e^{-{\frac {1}{1-|x|^{2}}}}&{\text{if }}|x|< 1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1.\end{موارد}}$

در برخی موقعیت‌ها مانند تحلیل عددی ، تقریب خطی تکه‌ای به هویت مطلوب است. این را می توان با در نظر گرفتن η 1 به عنوان تابع کلاه به دست آورد . با این انتخاب η 1 ، یکی دارد

$\eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\max \left(1-\left|{\frac {x}{\varepsilon }}\right|,0\right)$

که همگی پیوسته و فشرده هستند، اگرچه صاف نیستند و بنابراین نرم کننده نیستند.

ملاحظات احتمالی [ ویرایش ]

در زمینه نظریه احتمال ، طبیعی است که شرط اضافی را تحمیل کنیم که η 1 اولیه در یک تقریب به هویت باید مثبت باشد، زیرا چنین تابعی یک توزیع احتمال را نشان می دهد . انحراف با توزیع احتمال گاهی اوقات مطلوب است زیرا منجر به بیش از حد یا کمتر شدن آن نمی شود، زیرا خروجی ترکیبی محدب از مقادیر ورودی است و بنابراین بین حداکثر و حداقل تابع ورودی قرار می گیرد. در نظر گرفتن η 1 به عنوان توزیع احتمال، و اجازه دادن η ε ( x ) = η 1 (x / ε ) / ε همانطور که در بالا باعث تقریبی هویت می شود. به طور کلی، اگر به علاوه، η میانگین 0 داشته باشد و گشتاورهای کمی بالاترداشته باشد، این سریعتر به یک تابع دلتا همگرا می شودبه عنوان مثال، اگر η 1 توزیع یکنواخت در [-1/2، 1/2] باشد که به عنوان تابع مستطیلی نیز شناخته می شود، آنگاه: [58]

$\eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\ Begin{cases}{\frac {1}{\varepsilon }},&-{\frac {\varepsilon }{2}}<x<{\frac {\varepsilon }{2}}\\0,&{\ متن{در غیر این صورت}}.\end{موارد}}$

مثال دیگر با توزیع نیم دایره ویگنر است

$\eta _{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {2}{\pi \varepsilon ^{2}}}{\sqrt {\varepsilon ^{2}-x^{2} }},&-\varepsilon <x<\varepsilon \\0,&{\text{وگرنه}}\end{موارد}}$

این پیوسته و فشرده است، اما نرم کننده نیست زیرا صاف نیست.

نیمه گروه ها [ ویرایش ]

توابع دلتای نوپا اغلب به صورت نیمه گروه های پیچشی به وجود می آیند . [59] این به معنای محدودیت دیگری است که پیچش η ε با η δ باید برآورده کند .

$\eta _{\varepsilon }*\eta _{\delta }=\eta _{\varepsilon +\delta }$

برای همه ε , δ > 0 . نیمه گروه های پیچشی در L 1 که یک تابع دلتای نوپا را تشکیل می دهند، همیشه تقریبی به هویت به معنای بالا هستند، با این حال شرط نیمه گروه یک محدودیت کاملاً قوی است.

در عمل، نیمه‌گروه‌هایی که تابع دلتا را تقریب می‌کنند، به‌عنوان راه‌حل‌های اساسی یا توابع گرین برای معادلات دیفرانسیل جزئی بیضوی یا سهموی با انگیزه فیزیکی به وجود می‌آیند . در زمینه ریاضیات کاربردی ، نیمه گروه ها به عنوان خروجی یک سیستم خطی زمان ناپذیر به وجود می آیند . بطور انتزاعی، اگر A یک عملگر خطی باشد که بر روی توابع x عمل می کند ، آنگاه یک نیمه گروه کانولوشن با حل مسئله مقدار اولیه بوجود می آید.

${\begin{cases}{\dfrac {\partial }{\partial t}}\eta (t,x)=A\eta (t,x),\quad t>0\\[5pt]\ displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\eta (t,x)=\delta (x)\end{cases}}$

که در آن حد طبق معمول به معنای ضعیف درک می شود. تنظیم η ε ( x ) = η ( ε , x ) تابع دلتای نوپای مرتبط را می دهد.

برخی از نمونه‌های نیمه‌گروه‌های کانولوشن از نظر فیزیکی مهم که از چنین راه‌حل اساسی ناشی می‌شوند شامل موارد زیر است.

هسته گرما

هسته حرارتی ، تعریف شده توسط

$\eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \varepsilon }}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\ وارپسیلون }}}$

اگر یک واحد انرژی گرمایی در زمان t = 0 در مبدأ سیم ذخیره شود ، دما را در یک سیم بینهایت در زمان t > 0 نشان می دهد. این نیمه گروه طبق معادله حرارتی یک بعدی تکامل می یابد :

${\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.$

در تئوری احتمال ، η ε ( x ) توزیع نرمال واریانس ε و میانگین 0 است. این نشان دهنده چگالی احتمال در زمان t = ε موقعیت ذره ای است که از مبدأ به دنبال یک حرکت استاندارد براونی شروع می شود . در این زمینه، شرط نیمه گروهی بیانی از ویژگی مارکوف حرکت براونی است.

در فضای اقلیدسی با ابعاد بالاتر R n ، هسته حرارتی است

$\eta _{\varepsilon }={\frac {1}{(2\pi \varepsilon )^{n/2}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x\cdot x}{2\ وارپسیلون }}}،$

و همان تعبیر فیزیکی را دارد، mutatis mutandis . همچنین یک تابع دلتای نوپا را به این معنا نشان می دهد که η ε → δ در معنای توزیع به صورت ε → 0 است.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Dirac_delta_function

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی