ریاضیات

مثال: مسئله 25.15

یک ذره آلفا با انرژی جنبشی 1.7 × 10 -12 ژول به طور مستقیم از فاصله بسیار دور به سمت هسته پلاتین شلیک می شود. فاصله نزدیکترین فاصله چقدر خواهد بود؟ بار الکتریکی ذره آلفا 2e و بار الکتریکی هسته پلاتین 78e است. ذره آلفا و هسته را به عنوان توزیع بار کروی در نظر بگیرید و حرکت هسته را نادیده بگیرید.

انرژی مکانیکی اولیه برابر با انرژی جنبشی ذره آلفا است

(25.11)

به دلیل دافعه الکتریکی بین ذره آلفا و هسته پلاتین، ذره آلفا کند می شود. در نزدیکترین فاصله، سرعت ذره آلفا صفر است و بنابراین انرژی جنبشی آن برابر با صفر است. کل انرژی مکانیکی در این نقطه برابر با انرژی پتانسیل سیستم است

(25.12)

که در آن q 1 بار ذره آلفا، q 2 بار هسته پلاتین و d فاصله نزدیکترین فاصله است. با اعمال پایستگی انرژی مکانیکی بدست می آوریم

(25.13)

فاصله نزدیکترین رویکرد را می توان از معادله (25.13) بدست آورد.

(25.14)

25.3. میدان الکترواستاتیک به عنوان یک میدان محافظه کارانه

میدان الکتریکی یک میدان محافظه کار است زیرا نیروی الکتریکی یک نیروی محافظه کار است. این نشان می دهد که مسیر یکپارچه است

(25.15)

بین نقطه P 0 و نقطه P 1 مستقل از مسیر بین این دو نقطه است. در این حالت انتگرال مسیر برای هر مسیر بسته صفر خواهد بود:

(25.16)

از معادله (25.16) می توان برای اثبات یک قضیه جالب استفاده کرد:

"در یک حفره بسته و خالی در داخل یک هادی همگن، میدان الکتریکی دقیقاً صفر است".

شکل 25.4. مقطع حفره در داخل هادی کروی.

شکل 25.4 سطح مقطع یک حفره احتمالی را در داخل یک هادی کروی نشان می دهد. فرض کنید یک میدان در داخل هادی وجود دارد و یکی از خطوط میدان در شکل 25.4 نشان داده شده است. انتگرال مسیر معادله (25.16) را در امتداد مسیر نشان داده شده در شکل 25.4 در نظر بگیرید. در فصل 24 نشان داده شد که میدان الکتریکی در یک هادی صفر است. بنابراین سهم مسیر داخل هادی به انتگرال مسیر صفر است. از آنجایی که قسمت باقی مانده از مسیر در امتداد خط میدان انتخاب می شود، جهت میدان موازی با جهت مسیر است و بنابراین انتگرال مسیر غیر صفر خواهد بود. این به وضوح معادله (25.16) را نقض می کند و باید نتیجه بگیریم که میدان داخل حفره برابر با صفر است (در این مورد انتگرال مسیر البته برابر با صفر است).

25.4. گرادیان پتانسیل الکترواستاتیک

پتانسیل الکترواستاتیک V مربوط به میدان الکترواستاتیک E است. اگر میدان الکتریکی E شناخته شود، پتانسیل الکترواستاتیک V را می توان با استفاده از معادله (25.4) به دست آورد و بالعکس. در این بخش در مورد چگونگی بدست آوردن میدان الکتریکی E در صورت مشخص بودن پتانسیل الکترواستاتیک بحث خواهیم کرد.

شکل 25.5. محاسبه میدان الکتریکی E.

دو نقطه نشان داده شده در شکل 25.5 را در نظر بگیرید. این دو موقعیت تقریباً یکسان با فاصله بینهایت کوچکی در دسی لیتر از هم جدا می شوند. تغییر در پتانسیل الکترواستاتیک بین P 1 و P 2 توسط داده می شود

(25.17)

که در آن زاویه [تتا] زاویه بین جهت میدان الکتریکی و جهت جابجایی است (شکل 25.5 را ببینید). معادله (25.17) را می توان به صورت بازنویسی کرد

(25.18)

که در آن E L مؤلفه میدان الکتریکی را در امتداد محور L نشان می دهد. اگر جهت جابجایی مطابق با محور x انتخاب شود، معادله (25.18) تبدیل می شود.

(25.19)

برای جابجایی ها در امتداد محور y و محور z به دست می آوریم

(25.20)

(25.21)

میدان الکتریکی کل E را می توان از پتانسیل الکترواستاتیک V با ترکیب معادلات (25.19)، (25.20)، و (25.21) به دست آورد:

(25.22)

معادله (25.22) معمولاً به شکل زیر نوشته می شود

(25.23)

که در آن --V گرادیان پتانسیل V است.

در بسیاری از مسائل الکترواستاتیکی میدان الکتریکی توزیع بار معین باید ارزیابی شود. محاسبه میدان الکتریکی را می توان با استفاده از دو روش مختلف انجام داد:

1. میدان الکتریکی را می توان با اعمال قانون کولن و جمع بردار سهم از همه بارهای توزیع بار محاسبه کرد.

2. کل پتانسیل الکترواستاتیک V را می توان از مجموع جبری پتانسیل ناشی از همه بارهایی که توزیع بار را تشکیل می دهند و متعاقباً با استفاده از معادله (25.23) برای محاسبه میدان الکتریکی E بدست آورد.

در بسیاری از موارد، روش 2 ساده تر است، زیرا محاسبه پتانسیل الکترواستاتیکی شامل یک جمع جبری است، در حالی که روش 1 متکی بر مجموع برداری است.

مثال: مسئله 25.32

در برخی از مناطق فضا، پتانسیل الکترواستاتیک تابع زیر x، y و z است:

(25.24)

که در آن پتانسیل بر حسب ولت و فاصله ها بر حسب متر اندازه گیری می شود. میدان الکتریکی را در نقاط x = 2 m، y = 2 m پیدا کنید.

اجزای x، y و z میدان الکتریکی E را می توان از گرادیان پتانسیل V بدست آورد (معادل (25.23)):

(25.25)

(25.26)

(25.27)

ارزیابی معادلات (25.25)، (25.26) و (25.27) در x = 2 m و y = 2 m به دست می دهد.

(25.28)

(25.29)

(25.30)

بدین ترتیب

(25.31)

مثال: مسئله 25.36

یک حلقه (دیسک با سوراخ) ساخته شده از کاغذ دارای یک شعاع بیرونی R و یک شعاع داخلی R/2 است (شکل 25.6 را ببینید). مقدار Q بار الکتریکی به طور یکنواخت روی کاغذ توزیع می شود.

الف) پتانسیل را به عنوان تابعی از فاصله روی محور حلقه پیدا کنید.

ب) میدان الکتریکی را در محور حلقه پیدا کنید.

ما محور x را مطابق با محور حلقه تعریف می کنیم (شکل 25.7 را ببینید). اولین مرحله در محاسبه پتانسیل الکترواستاتیک کل در نقطه P ناشی از حلق، محاسبه پتانسیل الکترواستاتیک در P به دلیل قطعه کوچکی از حلقه است. حلقه ای با شعاع r و عرض dr را همانطور که در شکل 25.7 نشان داده شده است در نظر بگیرید. پتانسیل الکترواستاتیک dV در P تولید شده توسط این حلقه با داده می شود

(25.32)

که در آن dQ شارژ روی حلقه است. چگالی بار [rho] حلقه برابر است با

(25.33)

شکل 25.6. مسئله 25.36.

با استفاده از معادله (25.33) dQ شارژ حلقه را می توان محاسبه کرد

(25.34)

با جایگزینی معادله (25.34) به معادله (25.32) به دست می آوریم

(25.35)

پتانسیل الکترواستاتیک کل را می توان با ادغام معادله (25.35) روی کل حلقه بدست آورد:

(25.36)

شکل 25.7. محاسبه پتانسیل الکترواستاتیک در مسئله 25.36.

به دلیل تقارن مسئله، میدان الکتریکی در امتداد محور x هدایت خواهد شد. قدرت میدان را می توان با اعمال معادله (25.23) به معادله (25.36) به دست آورد:

(25.37)

از آنجایی که میدان الکترواستاتیک و پتانسیل الکترواستاتیک با هم مرتبط هستند، می‌توان خطوط میدان را با سطوح به اصطلاح هم پتانسیل جایگزین کرد . سطوح هم پتانسیل به سطوحی گفته می شود که هر نقطه دارای پتانسیل الکترواستاتیک یکسانی است. مولفه میدان الکتریکی موازی با این سطح باید صفر باشد زیرا تغییر پتانسیل بین تمام نقاط این سطح برابر با صفر است. این بدان معناست که جهت میدان الکتریکی عمود بر سطوح هم پتانسیل است.

25.5. پتانسیل و میدان یک دوقطبی

شکل 25.8 یک دوقطبی الکتریکی را نشان می دهد که در امتداد محور z قرار دارد. این شامل دو بار + Q و - Q است که با فاصله L از هم جدا می شوند. پتانسیل الکترواستاتیک در نقطه P را می توان با جمع کردن پتانسیل های تولید شده توسط هر یک از دو بار پیدا کرد:

(25.38)

شکل 25.8. دوقطبی الکتریکی

اگر نقطه P از دوقطبی دور باشد (r >> L) می‌توانیم تقریب کنیم که r 1 و r 2 موازی هستند. در این مورد

(25.39)

و

(25.40)

اکنون می توان پتانسیل الکترواستاتیک در P را بازنویسی کرد

(25.41)

که در آن p ممان دوقطبی توزیع بار است. میدان الکتریکی دوقطبی را می توان از معادله (25.41) با گرفتن گرادیان به دست آورد (به معادله (25.23) مراجعه کنید).

منبع

http://teacher.pas.rochester.edu/phy122/lecture_notes/Chapter25/Chapter25.html