25.1. معرفی

نیروی الکترواستاتیک یک نیروی محافظه کار است. این بدان معناست که کاری که روی یک ذره انجام می دهد فقط به موقعیت اولیه و نهایی ذره بستگی دارد و نه به مسیری که طی می شود. با هر نیروی محافظه کار، یک انرژی پتانسیل می تواند مرتبط شود. معرفی انرژی پتانسیل مفید است زیرا به ما اجازه می دهد تا بقای انرژی مکانیکی را اعمال کنیم که حل تعداد زیادی از مسائل را ساده می کند.

انرژی پتانسیل U مرتبط با نیروی محافظه کار F به شکل زیر تعریف می شود

(25.1)

که در آن U(P 0 ) انرژی پتانسیل در موقعیت مرجع P 0 است (معمولاً U(P 0 ) = 0) و انتگرال مسیر در امتداد هر مسیر مناسبی است که P 0 و P1 را به هم متصل می کند. از آنجایی که نیروی F محافظه کار است، انتگرال در معادله (25.1) به مسیر انتخاب شده بستگی ندارد. اگر کار W مثبت باشد (نیرو و جابجایی در جهت یکسان است) انرژی پتانسیل در P 1 کوچکتر از انرژی پتانسیل در P 0 خواهد بود. اگر انرژی حفظ شود، کاهش انرژی پتانسیل منجر به افزایش انرژی جنبشی می شود. اگر کار W منفی باشد (نیرو و جابجایی در جهت مخالف است) انرژی پتانسیل در P1بزرگتر از انرژی پتانسیل در P 0 خواهد بود. اگر انرژی حفظ شود، افزایش انرژی پتانسیل منجر به کاهش انرژی جنبشی می شود. اگر در مسائل الکترواستاتیک نقطه مرجع P 0 معمولاً مطابق با فاصله بی نهایت انتخاب می شود و انرژی پتانسیل در این نقطه مرجع برابر با صفر در نظر گرفته می شود. سپس معادله (25.1) را می توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

(25.2)

برای توصیف انرژی پتانسیل مرتبط با توزیع بار، مفهوم پتانسیل الکترواستاتیک V معرفی شده است. پتانسیل الکترواستاتیکی V در یک موقعیت معین به عنوان انرژی پتانسیل یک ذره آزمایشی تقسیم بر بار q این جسم تعریف می شود:

(25.3)

در آخرین مرحله از معادله (25.3) ما فرض کرده ایم که نقطه مرجع P 0 در بی نهایت گرفته می شود و پتانسیل الکترواستاتیک در آن نقطه برابر با 0 است. از آنجایی که نیروی بر واحد بار، میدان الکتریکی است (به فصل مراجعه کنید. 23) معادله (25.3) را می توان به صورت بازنویسی کرد

(25.4)

واحد پتانسیل الکترواستاتیک ولت (V) و 1 V = 1 J/C = 1 Nm/C است. معادله (25.4) نشان می دهد که به عنوان واحد میدان الکتریکی می توانیم از V/m نیز استفاده کنیم.

واحد متداول مورد استفاده برای انرژی یک ذره، الکترون ولت (eV) است که به عنوان تغییر انرژی جنبشی الکترونی تعریف می شود که بر روی اختلاف پتانسیل 1 ولت حرکت می کند. الکترون ولت را می توان به ژول مربوط کرد. از طریق معادله (25.3). معادله (25.3) نشان می دهد که تغییر انرژی یک الکترون زمانی که از اختلاف پتانسیل 1 ولت عبور می کند برابر با 1.6 است. 10 -19 J و بنابراین نتیجه می گیریم که 1 eV = 1.6 . 10 -19 جی

25.2. محاسبه پتانسیل الکترواستاتیک

یک بار q از P 0 به P 1 در مجاورت بار q' منتقل می شود (شکل 25.1 را ببینید). پتانسیل الکترواستاتیک در P1 را می توان با استفاده از معادله تعیین کرد. (25.4) و ارزیابی انتگرال در طول مسیر نشان داده شده در شکل 25.1. در طول قسمت دایره ای مسیر میدان الکتریکی و جابجایی عمود بر هم هستند و تغییر پتانسیل الکترواستاتیک صفر خواهد بود. بنابراین می توان معادله (25.4) را به صورت بازنویسی کرد

(25.5)

اگر بار q' مثبت باشد، پتانسیل با کاهش فاصله r افزایش می یابد. میدان الکتریکی از یک بار مثبت دور می‌شود، و نتیجه می‌گیریم که میدان الکتریکی از نواحی با پتانسیل الکترواستاتیک بالا به سمت مناطق با پتانسیل الکترواستاتیک پایین اشاره می‌کند.

شکل 25.1. مسیر به دنبال شارژ q بین P 0 و P 1 .

از تعریف پتانسیل الکترواستاتیک بر حسب انرژی پتانسیل (معادل (25.3)) واضح است که انرژی پتانسیل یک بار q تحت تأثیر میدان الکتریکی تولید شده توسط بار q' به دست می آید.

(25.6)

مثال: مسئله 25.21

بار کلی Q به طور یکنواخت در امتداد یک میله مستقیم به طول L توزیع می شود. پتانسیل را در نقطه P در فاصله h از نقطه میانی میله پیدا کنید (شکل 25.2 را ببینید).

پتانسیل در P به دلیل قطعه کوچکی از میله، با طول dx و بار dQ، واقع در موقعیت نشان داده شده در شکل 25.3 با

(25.7)

بار dQ قطعه به بار کل Q و طول L مربوط می شود

(25.8)

با ترکیب معادلات (25.7) و (25.8) عبارت زیر را برای dV بدست می آوریم:

(25.9)

شکل 25.2. مسئله 25.21.

شکل 25.3. حل مسئله 25.21.

پتانسیل کل در P را می توان با جمع کردن تمام بخش های کوچک به دست آورد. این معادل ادغام معادله (25.9) بین x = - L/2 و x = L/2 است.

(25.10)