2-قانون هوک

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه هشتم اردیبهشت ۱۴۰۱ | 11:41

فرمول وکتور

در مورد فنر مارپیچی که در امتداد محور خود کشیده یا فشرده می شود، نیروی اعمال شده (یا بازگرداننده) و ازدیاد طول یا فشار حاصله دارای جهت یکسانی هستند (که جهت محور مذکور است). بنابراین، اگر Fs و x به عنوان بردار تعریف شوند، معادله هوک همچنان پابرجاست و می گوید که بردار نیرو، بردار طویل ضرب در یک اسکالر ثابت است.

فرم تانسور عمومی

برخی از اجسام الاستیک زمانی که تحت نیرویی با جهت متفاوت قرار گیرند در یک جهت تغییر شکل می دهند. یک مثال تیر چوبی افقی با مقطع مستطیلی غیر مربعی است که توسط بار عرضی خمیده می شود که نه عمودی و نه افقی است. در چنین مواردی، بزرگی جابجایی x متناسب با بزرگی نیروی F s خواهد بود، تا زمانی که جهت نیروی دوم ثابت بماند (و مقدار آن خیلی زیاد نباشد). بنابراین نسخه اسکالر قانون هوک F s = −kx برقرار خواهد بود. با این حال، بردارهای نیرو و جابجایی ، مضرب های اسکالر یکدیگر نخواهند بود، زیرا جهت های متفاوتی دارند. علاوه بر این، نسبتk بین قدر آنها به جهت بردار F s بستگی دارد .

با این حال، در چنین مواردی اغلب یک رابطه خطی ثابت بین بردارهای نیرو و تغییر شکل وجود دارد، البته تا زمانی که به اندازه کافی کوچک باشند. یعنی یک تابع κ از بردارها به بردارها وجود دارد، به این ترتیب که F = κ ( X ) و κ ( α X 1 + β X 2 ) = α κ ( X 1 ) + β κ ( X 2 ) برای هر اعداد واقعی α ، β و هر بردار جابجایی X 1, X 2 . به چنین تابعی تانسور (مرتبة دوم) می گویند .

با توجه به یک سیستم مختصات دکارتی دلخواه ، بردارهای نیرو و جابجایی را می توان با ماتریس های 3 × 1 از اعداد واقعی نشان داد. سپس تانسور κ که آنها را به هم متصل می کند می تواند با ماتریس 3 × 3 κ از ضرایب واقعی نشان داده شود، که وقتی در بردار جابجایی ضرب شود، بردار نیرو را به دست می دهد:

$\mathbf {F} \,=\,{\begin{bmatrix}F_{1}\\F_{2}\\F_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\ begin{ bmatrix}\kappa _{11}&\kappa _{12}&\kappa _{13}\\\kappa _{21}&\kappa _{22}&\kappa _{23}\\\kappa _{ 31}&\kappa _{32}&\kappa _{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}} \,=\,{\boldsymbol {\kappa }}\mathbf {X}$

به این معنا که،

$F_{i}=\kappa _{i1}X_{1}+\kappa _{i2}X_{2}+\kappa _{i3}X_{3}$

برای i = 1، 2، 3 . بنابراین، می‌توان گفت که قانون هوک F = κ X زمانی که X و F بردارهایی با جهت‌های متغیر هستند نیز برقرار است، با این تفاوت که سفتی جسم یک تانسور κ است، نه یک عدد واقعی منفرد k .

قانون هوک برای رسانه های پیوسته

مقاله اصلی: کشش خطی

الف) شماتیک نانو فنر پلیمری. شعاع سیم پیچ، R، گام، P، طول فنر، L، و تعداد چرخش، N، به ترتیب 2.5 میکرومتر، 2.0 میکرومتر، 13 میکرومتر و 4 است. میکروگراف های الکترونی نانو فنر، قبل از بارگذاری (be)، کشیده شده (f)، فشرده شده (g)، خم شده (h)، و بازیابی (i). همه میله های مقیاس 2 میکرومتر هستند. فنر یک پاسخ خطی در برابر نیروی اعمالی را دنبال کرد که اعتبار قانون هوک را در مقیاس نانو نشان داد. [4]

تنش ها و کرنش های مواد در داخل یک ماده الاستیک پیوسته (مانند یک بلوک لاستیکی، دیواره دیگ بخار یا یک میله فولادی) با یک رابطه خطی که از نظر ریاضی شبیه به قانون فنر هوک است، به هم متصل می شوند و اغلب به آن اشاره می شود. به آن نام

با این حال، حالت کرنش در یک محیط جامد در اطراف یک نقطه را نمی توان با یک بردار توصیف کرد. بسته یکسانی از مواد، هر چقدر هم که کوچک باشد، می تواند به طور همزمان در جهات مختلف فشرده، کشیده و برش داده شود. به همین ترتیب، تنش های موجود در آن بسته می تواند به طور همزمان فشار، کشیدن، و برش باشد.

برای دریافت این پیچیدگی، وضعیت مربوط به محیط اطراف یک نقطه باید با تانسورهای مرتبه دو ثانیه، تانسور کرنش ε (به جای جابجایی X ) و تانسور تنش σ (جایگزین نیروی بازگرداننده F ) نمایش داده شود. ). آنالوگ قانون فنر هوک برای رسانه های پیوسته است

${\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {c} {\boldsymbol {\varepsilon }},$

که در آن c یک تانسور مرتبه چهارم (یعنی نقشه خطی بین تانسورهای مرتبه دوم) است که معمولاً تانسور سفتی یا تانسور الاستیسیته نامیده می شود . ممکن است یکی نیز آن را به صورت بنویسد

${\boldsymbol {\varepsilon }}=\mathbf {s} {\boldsymbol {\sigma }},$

که در آن تانسور s که تانسور انطباق نامیده می شود ، معکوس نقشه خطی مذکور را نشان می دهد.

در یک سیستم مختصات دکارتی، تانسورهای تنش و کرنش را می توان با ماتریس های 3×3 نشان داد.

${\boldsymbol {\varepsilon }}\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}&\varepsilon _{12}&\varepsilon _{13}\\\varepsilon _{21} &\varepsilon _{22}&\varepsilon _{23}\\\varepsilon _{31}&\varepsilon _{32}&\varepsilon _{33}\end{bmatrix}}\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}\,=\,{\ begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22 }&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\end{bmatrix}}$

تانسور سفتی c با یک ماتریس 3 × 3 × 3 × 3 = 81 اعداد واقعی c ijkl به عنوان یک نگاشت خطی بین 9 عدد σ ij و نه عدد ε kl . سپس قانون هوک این را می گوید

$\sigma _{ij}=\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}c_{ijkl}\varepsilon _{kl}$

جایی که i ، j = 1،2،3 .

هر سه تانسور معمولاً از نقطه‌ای به نقطه‌ای در داخل محیط متفاوت هستند و ممکن است با زمان نیز تغییر کنند. تانسور کرنش ε صرفاً جابجایی ذرات محیط را در همسایگی نقطه مشخص می کند، در حالی که تانسور تنش σ نیروهایی را مشخص می کند که بسته های همسایه محیط بر یکدیگر اعمال می کنند. بنابراین، آنها مستقل از ترکیب و وضعیت فیزیکی مواد هستند. از طرف دیگر تانسور سختی c یکی از ویژگی‌های ماده است و اغلب به متغیرهای حالت فیزیکی مانند دما، فشار و ریزساختار بستگی دارد .

به دلیل تقارن ذاتی σ ، ε و c ، تنها 21 ضریب الاستیک از دومی مستقل هستند. [5] این عدد را می توان با تقارن مواد کاهش داد: 9 برای یک کریستال متعامد ، 5 برای یک ساختار شش ضلعی ، و 3 برای یک تقارن مکعبی . [6] برای محیط های همسانگرد (که دارای خواص فیزیکی یکسان در هر جهت هستند)، c را می توان تنها به دو عدد مستقل کاهش داد، مدول توده ای K و مدول برشی G، که به ترتیب مقاومت ماده را در برابر تغییرات حجم و تغییر شکل های برشی کمی نشان می دهد.

قوانین مشابه

از آنجایی که قانون هوک یک تناسب ساده بین دو کمیت است، فرمول ها و پیامدهای آن از نظر ریاضی شبیه به بسیاری از قوانین فیزیکی دیگر است، مانند آنهایی که حرکت سیالات را توصیف می کنند ، یا قطبش یک دی الکتریک توسط یک میدان الکتریکی .

به طور خاص، معادله تانسور σ = cε که تنش های الاستیک را به کرنش ها مرتبط می کند، کاملاً شبیه معادله τ = με̇ مربوط به تانسور تنش چسبناک τ و تانسور نرخ کرنش ε̇ در جریان سیالات چسبناک است. اگرچه اولی مربوط به تنش های استاتیکی (مربوط به مقدار تغییر شکل) است در حالی که دومی مربوط به تنش های دینامیکی (مربوط به میزان تغییر شکل) است.

واحد های اندازه گیری

در واحدهای SI ، جابجایی ها بر حسب متر (m) و نیروها بر حسب نیوتن (N یا kg·m/s 2 ) اندازه گیری می شود. بنابراین، ثابت فنر k و هر عنصر تانسور κ بر حسب نیوتن بر متر (N/m) یا کیلوگرم بر ثانیه مجذور (kg/s 2 ) اندازه‌گیری می‌شود.

برای محیط پیوسته، هر عنصر تانسور تنش σ نیرویی است که بر یک ناحیه تقسیم می‌شود. بنابراین در واحدهای فشار، یعنی پاسکال ( Pa یا N/m 2 یا kg/(m·s 2 ) اندازه گیری می شود. c ijkl نیز بر حسب واحد فشار بیان می شود .

کاربرد کلی برای مواد الاستیک

منحنی تنش-کرنش برای فولاد کم کربن، نشان‌دهنده رابطه بین تنش (نیرو در واحد سطح) و کرنش (تراکم/کشش حاصل، معروف به تغییر شکل). قانون هوک فقط برای قسمتی از منحنی بین مبدا و نقطه تسلیم (2) معتبر است.

1: قدرت نهایی
2: قدرت تسلیم (نقطه تسلیم)
3: پارگی
4: ناحیه سخت شدن کرنش
5: ناحیه گردن
A: استرس ظاهری ( F / A 0 )
ب: استرس واقعی ( F / A )

اجسامی که پس از تغییر شکل توسط یک نیرو، با بازگشت مولکول ها یا اتم های مواد به حالت اولیه تعادل پایدار، به سرعت شکل اولیه خود را به دست می آورند، اغلب از قانون هوک پیروی می کنند.

قانون هوک فقط برای برخی از مواد تحت شرایط بارگذاری خاص صادق است. فولاد در اکثر کاربردهای مهندسی رفتار خطی-الاستیک از خود نشان می دهد. قانون هوک برای آن در سراسر محدوده الاستیک آن معتبر است (یعنی برای تنش های زیر استحکام تسلیم ). برای برخی از مواد دیگر، مانند آلومینیوم، قانون هوک فقط برای بخشی از محدوده الاستیک معتبر است. برای این مواد یک تنش حدی متناسب تعریف شده است که در زیر آن خطاهای مربوط به تقریب خطی ناچیز است.

لاستیک به طور کلی به عنوان یک ماده "غیر هوکی" در نظر گرفته می شود زیرا خاصیت ارتجاعی آن وابسته به تنش است و به دما و سرعت بارگذاری حساس است.

تعمیم قانون هوک برای مورد تغییر شکل های بزرگ توسط مدل های جامدات نئو هوکی و جامدات مونی-ریولین ارائه شده است.

فرمول های مشتق شده

تنش کششی یک میله یکنواخت

میله ای از هر ماده الاستیک ممکن است به عنوان فنر خطی در نظر گرفته شود . میله دارای طول L و سطح مقطع A است. تنش کششی σ آن به طور خطی با امتداد کسری یا کرنش ε با مدول الاستیسیته E متناسب است :

$\sigma =E\varepsilon$ .

مدول الاستیسیته اغلب ممکن است ثابت در نظر گرفته شود. به نوبه خود،

$\varepsilon = \frac{\Delta L}{L}$

(یعنی تغییر کسری در طول) و از آنجا که

$\sigma ={\frac {F}{A}}\,,$

نتیجه می شود که:

$\varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}={\frac {F}{AE}}\,.$

تغییر طول ممکن است به صورت بیان شود

$\Delta L=\varepsilon L={\frac {FL}{AE}}\,.$

انرژی بهاری

انرژی پتانسیل U el ( x ) ذخیره شده در یک فنر به دست می آید

$U_{\mathrm {el} }(x)={\tfrac {1}{2}}kx^{2}$

که از جمع کردن انرژی لازم برای فشرده سازی تدریجی فنر حاصل می شود. یعنی انتگرال نیرو بر جابجایی. از آنجایی که نیروی خارجی دارای جهت کلی یکسانی با جابجایی است، انرژی پتانسیل یک فنر همیشه غیرمنفی است.

این U el پتانسیل را می توان به عنوان یک سهمی در صفحه Ux به گونه ای مشاهده کرد که U el ( x ) =1/2kx 2 . همانطور که فنر در جهت x مثبت کشیده می شود، انرژی پتانسیل به صورت سهموی افزایش می یابد (همان چیزی که فنر فشرده می شود اتفاق می افتد). از آنجایی که تغییر در انرژی پتانسیل با سرعت ثابت تغییر می کند:

${\frac {d^{2}U_{\mathrm {el} }}{dx^{2}}}=k\,.$

توجه داشته باشید که تغییر در تغییر U ثابت است حتی زمانی که جابجایی و شتاب صفر باشد.

ثابت‌های نیروی آرام (ثابت‌های انطباق عمومی)

ثابت‌های نیروی آرام (معکوس ثابت‌های انطباق تعمیم‌یافته ) به‌طور منحصربه‌فردی برای سیستم‌های مولکولی، بر خلاف ثابت‌های نیروی «صلب» معمولی تعریف می‌شوند، و بنابراین استفاده از آن‌ها اجازه می‌دهد تا همبستگی‌های معنی‌داری بین میدان‌های نیرو محاسبه‌شده برای واکنش‌دهنده‌ها ، حالت‌های انتقال ، و محصولات یک واکنش شیمیایی همانطور که انرژی پتانسیل را می توان به صورت یک فرم درجه دوم در مختصات داخلی نوشت، می توان آن را بر حسب نیروهای تعمیم یافته نیز نوشت. ضرایب به دست آمده ثابت انطباق نامیده می شوند. یک روش مستقیم برای محاسبه ثابت انطباق برای هر مختصات داخلی یک مولکول، بدون نیاز به انجام آنالیز حالت عادی وجود دارد. [7] مناسب بودن ثابت‌های نیروی آرام (ثابت انطباق معکوس) به‌عنوان توصیفگرهای استحکام پیوند کووالانسی در اوایل سال 1980 نشان داده شد. اخیراً، مناسب بودن به‌عنوان توصیف‌کننده‌های قدرت پیوند غیرکووالانسی نیز نشان داده شده است. [8]

نوسان ساز هارمونیک

همچنین ببینید: نوسانگر هارمونیک

جرم معلق توسط فنر نمونه کلاسیک نوسانگر هارمونیک است

جرم m متصل به انتهای فنر نمونه کلاسیکی از نوسانگر هارمونیک است . با کمی کشیدن روی جرم و سپس رها کردن آن، سیستم در حرکت نوسانی سینوسی حول موقعیت تعادل قرار می گیرد. تا جایی که فنر از قانون هوک پیروی می کند و می توان از اصطکاک و جرم فنر چشم پوشی کرد، دامنه نوسان ثابت می ماند. و فرکانس f مستقل از دامنه آن خواهد بود که فقط با جرم و سفتی فنر تعیین می شود:

$f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}$

این پدیده ساخت ساعت‌ها و ساعت‌های مکانیکی دقیقی را که می‌توان روی کشتی‌ها و جیب‌های مردم حمل کرد، ممکن کرد.

چرخش در فضای بدون جاذبه

اگر جرم m به فنری با نیروی ثابت k متصل شود و در فضای آزاد بچرخد ، کشش فنر ( Ft ) نیروی مرکز مورد نیاز ( Fc ) را تامین می‌کند :

$F_{\mathrm {t} }=kx\,;\qquad F_{\mathrm {c} }=m\omega ^{2}r$

از آنجایی که F t = F c و x = r ، پس:

$k = m \omega^2$

با توجه به اینکه ω = 2π f ، به معادله فرکانس مشابه بالا منجر می شود:

$f={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {k}{m}}}$

نظریه کشش خطی برای محیط پیوسته

توجه: قرارداد جمع آوری اینشتین برای جمع کردن شاخص های مکرر در زیر استفاده شده است.

مواد ایزوتروپیک

برای توسعه مشابه برای سیالات چسبناک، ویسکوزیته را ببینید .

مواد همسانگرد با خواص مستقل از جهت در فضا مشخص می شوند. بنابراین، معادلات فیزیکی شامل مواد همسانگرد باید مستقل از سیستم مختصاتی باشد که برای نمایش آنها انتخاب شده است. تانسور کرنش یک تانسور متقارن است. از آنجایی که ردیابی هر تانسوری مستقل از هر سیستم مختصاتی است، کامل ترین تجزیه بدون مختصات یک تانسور متقارن این است که آن را به صورت مجموع یک تانسور ثابت و یک تانسور متقارن بدون ردیابی نشان دهیم. [9] بنابراین در نماد شاخص :

$\varepsilon _{ij}=\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+\left(\varepsilon _{ij}-{ \tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)$

جایی که δ ij دلتای کرونکر است . در نماد تانسور مستقیم:

${\boldsymbol {\varepsilon }}=\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\,;\qquad \operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\tfrac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})~\mathbf {I} \,;\qquad \operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\boldsymbol {\varepsilon }}-\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})$

جایی که من تانسور هویت مرتبه دوم است.

اولین عبارت سمت راست تانسور ثابت است که به عنوان تانسور کرنش حجمی نیز شناخته می شود ، و عبارت دوم تانسور متقارن بدون ردیابی است که به عنوان تانسور کرنش انحرافی یا تانسور برشی نیز شناخته می شود .

کلی ترین شکل قانون هوک برای مواد همسانگرد را می توان اکنون به صورت ترکیبی خطی از این دو تانسور نوشته شود:

$\sigma _{ij}=3K\left({\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)+2G\left(\varepsilon _{ij} -{\tfrac {1}{3}}\varepsilon _{kk}\delta _{ij}\right)\,;\qquad {\boldsymbol {\sigma }}=3K\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})+2G\operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})$

که در آن K مدول حجیم و G مدول برشی است.

با استفاده از روابط بین مدول های الاستیک ، این معادلات ممکن است به روش های مختلف دیگری نیز بیان شوند. شکل رایج قانون هوک برای مواد همسانگرد، که به صورت نماد تانسور مستقیم بیان می‌شود، [10] است.

${\boldsymbol {\sigma }}=\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}={\mathsf {c}}:{\boldsymbol {\varepsilon }}\,;\qquad {\mathsf {c}}=\lambda \mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +2\mu {\mathsf {I} }$

که در آن λ = K −2/3G = c 1111 − 2 c 1212 و μ = G = c 1212 ثابت های Lamé هستند ، I تانسور هویت رتبه دوم، و I قسمت متقارن تانسور هویت رتبه چهارم است. در نماد نمایه:

$\sigma _{ij}=\lambda \varepsilon _{kk}~\delta _{ij}+2\mu \varepsilon _{ij}=c_{ijkl}\varepsilon _{kl}\,;\ qquad c_{ijkl}=\lambda \delta _{ij}\delta _{kl}+\mu \left(\delta _{ik}\delta _{jl}+\delta _{il}\delta _{jk }\درست)$

رابطه معکوس [11] است.

${\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{2\mu }}{\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\lambda }{2\mu (3\lambda +2 \mu )}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} ={\frac {1}{2G}}{\boldsymbol {\sigma }}+\left({\ frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}}\right)\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I}$

بنابراین، تانسور انطباق در رابطه ε = s : σ است

${\mathsf {s}}=-{\frac {\lambda }{2\mu (3\lambda +2\mu )}}\mathbf {I} \otimes \mathbf {I} +{\frac {1}{2\mu }}{\mathsf {I}}=\left({\frac {1}{9K}}-{\frac {1}{6G}}\right)\mathbf {I} \ otimes \mathbf {I} +{\frac {1}{2G}}{\mathsf {I}}$

بر حسب مدول یانگ و نسبت پواسون ، قانون هوک برای مواد همسانگرد را می توان به صورت زیر بیان کرد.

$\varepsilon _{ij}={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{ij}-\nu (\sigma _{kk}\delta _{ij}-\sigma _{ij}){\big )}\,;\qquad {\boldsymbol {\varepsilon }}={\frac {1}{E}}{\big (}{\boldsymbol {\sigma }}-\nu (\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I} -{\boldsymbol {\sigma }}){\big )}={\frac {1+\nu }{E}} {\boldsymbol {\sigma }}-{\frac {\nu }{E}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})\mathbf {I}$

این شکلی است که در آن کرنش بر حسب تانسور تنش در مهندسی بیان می شود. عبارت به صورت بسط یافته است

${\begin{aligned}\varepsilon _{11}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{11}-\nu (\sigma _{22}+\ سیگما _{33}){\big )}\\\varepsilon _{22}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{22}-\nu (\sigma _{ 11}+\sigma _{33}){\big )}\\\varepsilon _{33}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{33}-\nu ( \sigma _{11}+\sigma _{22}){\big )}\\\varepsilon _{12}&={\frac {1}{2G}}\sigma _{12}\,;\qquad \varepsilon _{13}={\frac {1}{2G}}\sigma _{13}\,;\qquad \varepsilon _{23}={\frac {1}{2G}}\sigma _{23 }\end{تراز شده}}$

که در آن E مدول یانگ و ν نسبت پواسون است . ( الاستیسیته 3 بعدی را ببینید ).

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Hooke%27s_law

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی