3-سری تیلور

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه یکم اردیبهشت ۱۴۰۱ | 13:9

خطای تقریب و همگرایی [ ویرایش ]

تابع سینوس (آبی) با چند جمله ای تیلور درجه 7 (صورتی) برای یک دوره کامل در مرکز مبدأ تقریباً تقریب دارد.

چند جمله ای های تیلور برای ln(1 + x ) فقط تقریب های دقیقی را در محدوده -1 < x≤ 1 ارائه می دهند. برای x > 1 ، چند جمله ای های تیلور با درجه بالاتر تقریب بدتری ارائه می دهند.

تقریب های تیلور برای ln(1 + x ) (سیاه). برای x > 1 ، تقریب ها واگرا می شوند.

تصویر سمت راست تقریب دقیق sin x در اطراف نقطه x = 0 است. منحنی صورتی یک چند جمله ای درجه هفت است:

$\sin \left(x\right)\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x ^{7}}{7!}}.\!$

خطا در این تقریب بیشتر از | نیست x | 9/9 ! . برای یک چرخه کامل در مرکز مبدا ( -π < x < π ) خطا کمتر از 0.08215 است. به طور خاص، برای -1 < x < 1 ، خطا کمتر از 0.000003 است.

در مقابل، همچنین تصویری از تابع لگاریتم طبیعی ln(1 + x ) و برخی از چندجمله ای های تیلور آن در اطراف a = 0 نشان داده شده است. این تقریب ها فقط در ناحیه -1 < x ≤ 1 به تابع همگرا می شوند . در خارج از این منطقه، چند جمله ای های درجه بالاتر تیلور، تقریب بدتری برای تابع هستند.

خطایی که در تقریب یک تابع با چند جمله ای تیلور درجه n آن رخ می دهد باقیمانده یا باقیمانده نامیده می شود و با تابع Rn ( x ) نشان داده می شود . از قضیه تیلور می توان برای به دست آوردن حدی در اندازه باقیمانده استفاده کرد.

به طور کلی، سری های تیلور به هیچ وجه نیازی به همگرایی ندارند. و در واقع مجموعه توابع با سری تیلور همگرا مجموعه ای ناچیز در فضای فریشه از توابع صاف است . و حتی اگر سری تیلور یک تابع f همگرا شود، نیازی نیست حد آن به طور کلی برابر با مقدار تابع f ( x ) باشد. به عنوان مثال، تابع

$f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}}&{\text{if }}x\neq 0\\[3mu]0&{\text{if } }x=0\end{موارد}}$

بی نهایت در x = 0 قابل تمایز است و تمام مشتقات آن صفر است. در نتیجه، سری تیلور از f ( x ) حدود x = 0 به طور یکسان صفر است. با این حال، f ( x ) تابع صفر نیست، بنابراین با سری تیلور آن در اطراف مبدا برابر نیست. بنابراین، f ( x ) مثالی از یک تابع صاف غیر تحلیلی است .

در تجزیه و تحلیل واقعی ، این مثال نشان می دهد که توابع بی نهایت قابل تمایز f ( x ) وجود دارد که سری تیلور آنها با f ( x ) برابر نیستند ، حتی اگر همگرا شوند. در مقابل، توابع هولومورف مورد مطالعه در تحلیل پیچیده همیشه دارای یک سری تیلور همگرا هستند، و حتی سری تیلور از توابع مرومورفیک ، که ممکن است دارای تکینگی باشند، هرگز به مقداری متفاوت از خود تابع همگرا نمی شوند. با این حال، تابع مختلط e −1/ z 2 به 0 نزدیک نمی‌شوددر امتداد محور فرضی به 0 نزدیک می شود، بنابراین در صفحه مختلط پیوسته نیست و سری تیلور آن در 0 تعریف نشده است.

به طور کلی‌تر، هر دنباله‌ای از اعداد حقیقی یا مختلط می‌تواند به‌عنوان ضرایبی در سری تیلور از یک تابع بی‌نهایت متمایز تعریف‌شده بر روی خط واقعی ظاهر شود که نتیجه لم بورل است . در نتیجه، شعاع همگرایی یک سری تیلور می تواند صفر باشد. حتی توابع بی نهایت قابل تمایز نیز بر روی خط واقعی تعریف شده اند که سری های تیلور در همه جا شعاع همگرایی 0 دارند. [8]

یک تابع را نمی توان به عنوان یک سری تیلور با محوریت تکینگی نوشت . در این موارد، اگر قدرت های منفی متغیر x را نیز مجاز بدانیم، اغلب می توان به یک بسط سری دست یافت . سری Laurent را ببینید . برای مثال، f ( x ) = e −1/ x 2 را می توان به صورت سری Laurent نوشت.

تعمیم [ ویرایش ]

با این حال، یک تعمیم [9] [10] از سری تیلور وجود دارد که با استفاده از حساب تفاوت‌های محدود ، به مقدار خود تابع برای هر تابع پیوسته محدود در (0,∞) همگرا می‌شود . به طور خاص، با توجه به Einar Hille ، یک قضیه زیر را دارد که برای هر t > 0 ،

$\lim _{h\to 0^{+}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {\Delta _{h }^{n}f(a)}{h^{n}}}=f(a+t).$

اینجا Δn
ساعتn امین عملگر تفاضل محدود با اندازه گام h است. این سری دقیقاً سری تیلور است، با این تفاوت که به جای تمایز، تفاوت‌های تقسیم شده ظاهر می‌شود: این سری از نظر رسمی شبیه به سری‌های نیوتن است . وقتی تابع f در a تحلیلی است ، عبارت‌های سری با عبارت‌های سری تیلور همگرا می‌شوند و از این نظر سری معمول تیلور را تعمیم می‌دهند.

به طور کلی، برای هر دنباله نامتناهی a i ، هویت سری توانی زیر برقرار است:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{n!}}\Delta ^{n}a_{i}=e^{-u}\sum _{j =0}^{\infty }{\frac {u^{j}}{j!}}a_{i+j}.$

بنابراین به طور خاص،

$f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}e^{-t/h}\sum _{j=0}^{\infty }f(a+jh){\frac {(t/h)^{j}}{j!}}.$

سری سمت راست مقدار انتظاری f ( a + X ) است، که در آن X یک متغیر تصادفی توزیع شده توسط پواسون است که مقدار jh را با احتمال e - t / h می گیرد .( t / h ) j/ج !. از این رو،

$f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }f(a+x)dP_{t/h,h} (ایکس).$

قانون اعداد بزرگ نشان می دهد که هویت وجود دارد. [11]

فهرستی از سری مکلورن از برخی توابع رایج [ ویرایش ]

همچنین ببینید: لیست سری های ریاضی

چندین بسط مهم سری مکلورن دنبال می شود. [12] همه این بسط ها برای آرگومان های پیچیده x معتبر هستند .

تابع نمایی [ ویرایش ]

تابع نمایی e x (به رنگ آبی)، و مجموع اولین جمله های n + 1 سری تیلور آن در 0 (به رنگ قرمز).

تابع نمایی $e^{x}$ (با پایه e ) دارای سری مکلورن است

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2} }{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots$ .

برای همه x همگرا می شود .

لگاریتم طبیعی [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: سری مرکاتور

لگاریتم طبیعی (با پایه e ) دارای سری مکلورن است

${\begin{aligned}\ln(1-x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x- {\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,\\\ln(1+x)&=\sum _{n= 1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{ \frac {x^{3}}{3}}-\cdots .\end{تراز شده}}$

آنها برای همگرا می شوند $|x|<1$ . (علاوه بر این، سری برای ln(1 - x ) برای x = -1 همگرا می شود ، و سری برای ln(1 + x ) برای x = 1 همگرا می شود .)

سری هندسی [ ویرایش ]

سری هندسی و مشتقات آن دارای سری مکلورن هستند

${\begin{aligned}{\frac {1}{1-x}}&=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\\{\frac {1}{ (1-x)^{2}}}&=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\\{\frac {1}{(1-x)^{3 }}}&=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}.\end{تراز شده}}$

همه همگرا هستند برای $|x|<1$ . اینها موارد خاصی از سری دوجمله ای هستند که در بخش بعدی آورده شده است.

سری دو جمله ای [ ویرایش ]

سری دوجمله ای سری توان است

$(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}$

که ضرایب آن ضرایب دوجمله ای تعمیم یافته است

${\binom {\alpha }{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha ( \alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.$

(اگر n = 0 باشد، این حاصلضرب یک محصول خالی است و مقدار 1 دارد.) برای همگرا می شود $|x|<1$ برای هر عدد واقعی یا مختلط α .

وقتی α = -1 ، این اساساً سری هندسی نامتناهی است که در بخش قبل ذکر شد. موارد خاص α =1/2و α = -1/2تابع جذر و معکوس آن را بدهید :

${\begin{aligned}(1+x)^{\frac {1}{2}}&=1+{\tfrac {1}{2}}x-{\tfrac {1}{8} }x^{2}+{\tfrac {1}{16}}x^{3}-{\tfrac {5}{128}}x^{4}+{\tfrac {7}{256}}x ^{5}-\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(2n)!}{4^{n}(n! )^{2}(2n-1)}}x^{n}،\\(1+x)^{-{\frac {1}{2}}}&=1-{\tfrac {1}{ 2}}x+{\tfrac {3}{8}}x^{2}-{\tfrac {5}{16}}x^{3}+{\tfrac {35}{128}}x^{4 }-{\tfrac {63}{256}}x^{5}+\cdots &&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n) !}{4^{n}(n!)^{2}}}x^{n}.\end{تراز شده}}$

هنگامی که فقط عبارت خطی حفظ می شود، این به تقریب دو جمله ای ساده می شود .

توابع مثلثاتی [ ویرایش ]

توابع مثلثاتی معمول و معکوس آنها دارای سری مکلورن زیر هستند:

${\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^ {2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots &&{\text{برای همه }}x\\[6pt]\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n} &&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots &&{\text{برای همه }}x\\ [6pt]\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)} {(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots && {\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(- 1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4 }}{24}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\arcsin x&=\sum _{n=0}^ {\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&{\text{برای }}|x|\leq 1\\ [6pt]\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x\\&={\frac {\pi }{2}}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&={\frac {\pi }{2} }-x-{\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{برای }}|x|\leq 1 \\[6pt]\arctan x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&= x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm i\end{تراز شده}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^ {3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm i\end {هم راستا}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^ {3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm i\end {هم راستا}}$

همه زوایا بر حسب رادیان بیان می شوند . اعداد B k که در بسط های tan x ظاهر می شوند اعداد برنولی هستند . E k در بسط sec x اعداد اویلر هستند .

توابع هذلولی [ ویرایش ]

توابع هذلولی دارای سری مکلورن هستند که نزدیک به سری برای توابع مثلثاتی مربوطه هستند:

${\begin{aligned}\sinh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}&&=x+ {\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots &&{\text{برای همه }}x\\[6pt]\ cosh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&&=1+{\frac {x^{2}}{2! }}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots &&{\text{برای همه }}x\\[6pt]\tanh x&=\sum _{n=1}^{ \infty }{\frac {B_{2n}4^{n}\left(4^{n}-1\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x-{\ frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots &&{\text{ برای }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\operatorname {arsinh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1) )^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3 }}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\operatorname {artanh} x&= \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+\cdots &&{\text{برای }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm 1\end{تراز شده}}$

اعداد B k که در سری برای tanh x ظاهر می شوند اعداد برنولی هستند .

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی