2-سری تیلور

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه یکم اردیبهشت ۱۴۰۱ | 13:5

مثالها [ ویرایش ]

سری تیلور برای هر چند جمله ای خود چند جمله ای است.

سری مکلورن برای

1/1 - x

سری هندسی است

$1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,$

بنابراین سری تیلور برای1/xدر a = 1 است

$1-(x-1)+(x-1)^{2}-(x-1)^{3}+\cdots .$

با ادغام سری مکلورن فوق، سری مکلورن را برای ln(1 − x ) پیدا می کنیم ، که در آن ln نشان دهنده لگاریتم طبیعی است :

$-x-{\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {1}{3}}x^{3}-{\tfrac {1}{4}}x^ {4}-\cdots .$

سری تیلور مربوطه برای ln x در a = 1 است

$(x-1)-{\tfrac {1}{2}}(x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(x-1)^{3}-{ \tfrac {1}{4}}(x-1)^{4}+\cdots ,$

و به طور کلی، سری تیلور مربوطه برای ln x در یک نقطه غیر صفر دلخواه a است:

$\ln a+{\frac {1}{a}}(xa)-{\frac {1}{a^{2}}}{\frac {\left(xa\right)^{2}} {2}}+\cdots .$

سری مکلورن برای تابع نمایی e x است

${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}&={\frac {x^{0}}{ 0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3! }}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \\&=1+x+{\frac {x^ {2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {x^{4}}{24}}+{\frac {x^{5}}{ 120}}+\cdots .\end{تراز شده}}$

بسط بالا صادق است زیرا مشتق e x نسبت به x نیز e x است و e 0 برابر با 1 است. این عبارت ( x − 0) n را در صورتگر و n باقی می‌گذارد ! در مخرج برای هر جمله در مجموع نامتناهی.

تاریخچه [ ویرایش ]

زنون ، فیلسوف یونانی ، مشکل جمع کردن یک سری نامتناهی را برای رسیدن به نتیجه متناهی می‌دانست، اما آن را غیرممکن می‌دانست. [2] نتیجه پارادوکس زنو بود . بعدها، ارسطو یک راه حل فلسفی برای پارادوکس پیشنهاد کرد، اما محتوای ریاضی ظاهراً حل نشده بود تا زمانی که ارشمیدس آن را مطرح کرد، همانطور که قبل از ارسطو توسط دموکریتوس اتمیست پیشسوکرات بود. از طریق روش فرسودگی ارشمیدس بود که می‌توان تعداد نامحدودی از تقسیم‌بندی‌های پیشرونده را برای دستیابی به یک نتیجه محدود انجام داد. [3] لیو هوی به طور مستقل از روش مشابهی چند قرن بعد استفاده کرد.[4]

در قرن چهاردهم، اولین نمونه‌های استفاده از سری تیلور و روش‌های مرتبط نزدیک توسط مادهاوا از Sangamagrama ارائه شد. [5] [6] اگرچه هیچ سابقه‌ای از کار او باقی نمانده است، نوشته‌های ریاضیدانان هندی بعدی نشان می‌دهد که او تعدادی موارد خاص از سری تیلور را یافته است، از جمله مواردی برای توابع مثلثاتی سینوس ، کسینوس ، مماس ، و تانژانت . مدرسه نجوم و ریاضیات کرالا آثار او را با بسط سری های مختلف و تقریب های منطقی تا قرن شانزدهم گسترش داد.

در قرن هفدهم، جیمز گریگوری نیز در این زمینه فعالیت کرد و چندین مجموعه مکلارین را منتشر کرد. با این حال، تا سال 1715 بود که یک روش کلی برای ساخت این سری ها برای همه توابعی که برای آنها وجود دارند، سرانجام توسط بروک تیلور ارائه شد ، [7] که این سری ها اکنون به نام او نامگذاری شده اند.

نام مجموعه مکلورن به افتخار کالین مکلارین ، استادی در ادینبورگ، که مورد خاص نتیجه تیلور را در اواسط دهه 1700 منتشر کرد، نامگذاری شد.

توابع تحلیلی [ ویرایش ]

تابع e (-1/ x2 ) در x = 0 تحلیلی نیست : سری تیلور یکسان 0 است، اگرچه تابع نیست.

مقاله اصلی: تابع تحلیلی

اگر f ( x ) توسط یک سری توان همگرا در یک دیسک باز با مرکز b در صفحه مختلط (یا بازه ای در خط واقعی) داده شود، گفته می شود که در این ناحیه تحلیلی است. بنابراین برای x در این ناحیه، f توسط یک سری توان همگرا به دست می آید

$f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(xb)^{n}.$

با x متمایز کردن فرمول بالا n بار، سپس تنظیم x = b به دست می آید:

${\frac {f^{(n)}(b)}{n!}}=a_{n}$

و بنابراین بسط سری power با سری تیلور مطابقت دارد. بنابراین یک تابع در یک دیسک باز با مرکز b تحلیلی است اگر و تنها در صورتی که سری تیلور آن به مقدار تابع در هر نقطه از دیسک همگرا شود.

اگر f ( x ) برابر با مجموع سری تیلور آن برای تمام x در صفحه مختلط باشد، کل نامیده می شود . چند جمله ای ها، تابع نمایی ex ، و توابع مثلثاتی سینوس و کسینوس، نمونه هایی از کل توابع هستند. نمونه هایی از توابع که کامل نیستند عبارتند از: جذر ، لگاریتم ، مماس تابع مثلثاتی ، و معکوس آن، آرکتان . برای این توابع اگر x از b دور باشد، سری تیلور همگرا نمی شوند. یعنی اگر فاصله بین x و b بزرگتر از شعاع همگرایی باشد ، سری تیلور در x واگرا می شود . اگر مقدار تابع و همه مشتقات آن در یک نقطه مشخص باشد، می‌توان از سری تیلور برای محاسبه مقدار کل تابع در هر نقطه استفاده کرد.

موارد استفاده از سری تیلور برای توابع تحلیلی عبارتند از:

مجموع جزئی ( چندجمله ای های تیلور ) سری را می توان به عنوان تقریبی از تابع استفاده کرد. این تقریب ها در صورتی خوب هستند که اصطلاحات به اندازه کافی گنجانده شوند.
تمایز و ادغام سری های توانی را می توان به صورت ترم انجام داد و از این رو بسیار آسان است.
یک تابع تحلیلی به طور منحصر به فردی به یک تابع هولومورفیک در یک دیسک باز در صفحه مختلط گسترش می یابد. این باعث می شود که ماشین های تحلیل پیچیده در دسترس باشند.
سری (قطع شده) را می توان برای محاسبه مقادیر توابع به صورت عددی استفاده کرد (اغلب با ریختن مجدد چند جمله ای به شکل چبیشف و ارزیابی آن با الگوریتم کلنشاو ).
عملیات جبری را می توان به راحتی بر روی نمایش سری توان انجام داد. برای مثال، فرمول اویلر از بسط های سری تیلور برای توابع مثلثاتی و نمایی پیروی می کند. این نتیجه در زمینه هایی مانند تحلیل هارمونیک از اهمیت اساسی برخوردار است .
تقریب با استفاده از چند عبارت اول یک سری تیلور می تواند مشکلات غیر قابل حل را برای یک دامنه محدود ممکن کند. این روش اغلب در فیزیک استفاده می شود.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی