ادامه 39 استفاده از قانون گاوس

توسط علی رضا نقش نیلچی | شنبه ششم فروردین ۱۴۰۱ | 13:54

محاسبه شارژ محصور شده

فرض کنید R شعاع استوانه‌ای باشد که بارها در آن به صورت استوانه‌ای متقارن توزیع می‌شوند. نقطه میدان P را در فاصله s از محور قرار دهید. (سمت سطح گاوس شامل نقطه میدان P است.) وقتی (یعنی زمانی که P خارج از توزیع بار باشد)، سطح گاوسی شامل تمام بار در استوانه به شعاع R و طول L می شود. هنگامی که ( P در داخل توزیع بار قرار دارد)، آنگاه فقط بار درون استوانه ای به شعاع s و طول L توسط سطح گاوسی محصور می شود:

${\lambda }_{\text{enc}}L=\left\{\begin{array}{c}\left(\text{total charge}\right)\phantom{\rule{0.2em}{0ex} }\text{if}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}r\ge R\hfill \\ \left(\text{فقط شارژ درون}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}} r<R\right)\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{if}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}r<R\hfill \end{array}.$

پوسته استوانه ای با بار یکنواخت یک پوسته استوانه ای بسیار طولانی غیر رسانا به شعاع R دارای چگالی بار سطحی یکنواخت است ${\sigma }_{0}.$ میدان الکتریکی (a) را در نقطه ای خارج از پوسته و (ب) را در نقطه ای در داخل پوسته پیدا کنید.

استراتژی استراتژی قانون گاوس را که قبلاً ارائه شد، اعمال کنید، جایی که ما موارد داخل و خارج پوسته را جداگانه بررسی می کنیم.

راه حل

میدان الکتریکی در نقطه ای خارج از پوسته. برای نقطه ای خارج از پوسته استوانه ای، سطح گاوسی سطح استوانه ای به شعاع و طول L است، همانطور که در (شکل) نشان داده شده است. بار محصور شده توسط استوانه گاوسی برابر با بار روی پوسته استوانه ای به طول L است. بنابراین، ${\lambda }_{\text{enc}}$ توسط داده شده است
${\lambda }_{\text{enc}}=\frac{{\sigma }_{0}2\pi \phantom{\rule{0.2em}{0ex}}RL}{L}=2\pi \ فانتوم{\rule{0.2em}{0ex}}R{\sigma }_{0}.$

یک سطح گاوسی که یک پوسته استوانه ای را احاطه کرده است.

از این رو میدان الکتریکی در نقطه P خارج از پوسته در فاصله r دور از محور است
$\stackrel{\to }{\text{E}}=\frac{2\pi R{\sigma }_{0}}{2\pi {\epsilon }_{o}}\phantom{\rule{0.2 em}{0ex}}\frac{1}{r}\stackrel{^}{\text{r}}=\frac{R{\sigma }_{0}}{{\epsilon }_{o}} \phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\frac{1}{r}\stackrel{^}{\text{r}}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\left(r >R\راست)$

همانطور که $\stackrel{^}{\text{r}}$ در شکل نشان داده شده است، یک بردار واحد، عمود بر محور و به دور از آن است. میدان الکتریکی در P در جهت $\stackrel{^}{\text{r}}$ داده شده در (شکل) اگر ${\sigma }_{0}>0$ و در جهت مخالف $\stackrel{^}{\text{r}}$ اگر قرار می ${\sigma }_{0}<0$ گیرد.
میدان الکتریکی در نقطه ای از داخل پوسته. برای نقطه ای در داخل پوسته استوانه ای، سطح گاوسی استوانه ای است که شعاع r آن کمتر از R است ( (شکل) ). این بدان معناست که هیچ هزینه ای در سطح گاوسی لحاظ نمی شود:
${\lambda }_{\text{enc}}=0.$

یک سطح گاوسی در یک پوسته استوانه ای شکل.

معادله زیر را برای بزرگی میدان الکتریکی ${E}_{\text{in}}$ در نقطه‌ای که r آن کمتر از R پوسته بارها است به دست می‌دهد.
${E}_{\text{in}}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}2\pi rL=0\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\left(r<R\ درست)،$

این به ما می دهد
${E}_{\text{in}}=0\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\left(r<R\right).$

اهمیت توجه کنید که نتیجه داخل پوسته دقیقاً همان چیزی است که باید انتظار داشته باشیم: بدون بار محصور به معنای میدان الکتریکی صفر است. در خارج از پوسته، نتیجه یک سیم با شارژ یکنواخت می شود $R{\sigma }_{0}.$

درک خود را بررسی کنید یک سیم مستقیم نازک دارای چگالی بار خطی یکنواخت است ${\lambda }_{0}.$ میدان الکتریکی را در فاصله d از سیم پیدا کنید، جایی که d بسیار کمتر از طول سیم است.

$\stackrel{\to }{\text{E}}=\frac{{\lambda }_{0}}{2\pi {\epsilon }_{0}}\phantom{\rule{0.2em}{0ex }}\frac{1}{d}\stackrel{^}{\text{r}}$ ; این با محاسبه (شکل) مطابقت دارد که در آن میدان الکتریکی را با ادغام روی سیم باردار پیدا کردیم. توجه کنید که محاسبه این میدان الکتریکی با قانون گاوس چقدر ساده تر است.

توزیع بار با تقارن مسطح

تقارن مسطح چگالی بار زمانی به دست می آید که بارها به طور یکنواخت روی یک سطح صاف بزرگ پخش شوند . در تقارن مسطح، تمام نقاط یک صفحه موازی با صفحه بار نسبت به بارها یکسان هستند.

پیامدهای تقارن

صفحه توزیع بار را صفحه xy در نظر می گیریم و میدان الکتریکی را در نقطه فضایی P با مختصات ( x ، y ، z ) می یابیم. از آنجایی که چگالی بار در همه مختصات ( x , y ) در صفحه یکسان است، از نظر تقارن، میدان الکتریکی در P نمی‌تواند به مختصات x یا y نقطه P بستگی داشته باشد ، همانطور که در (شکل) نشان داده شده است. بنابراین، میدان الکتریکی در Pفقط می تواند به فاصله از هواپیما بستگی داشته باشد و جهتی به سمت هواپیما یا دور از هواپیما دارد. به این معنا که میدان الکتریکی در P فقط یک جزء z غیر صفر دارد.

بارهای یکنواخت در صفحه xy : $\stackrel{\to }{\text{E}}=E\left(z\right)\stackrel{^}{\text{z}}$

که در آن z فاصله از صفحه و $\stackrel{^}{\text{z}}$ بردار واحد نرمال به صفحه است. توجه داشته باشید که در این سیستم، $E\left(z\right)=E\left(\text{−}z\right)$ اگر چه البته آنها در جهت مخالف اشاره می کنند.

اجزای میدان الکتریکی موازی با یک صفحه بارها، دو بار که به طور متقارن از نقطه میدان P قرار گرفته اند را خنثی می کند. بنابراین، میدان در هر نقطه به صورت عمودی از صفحه بارها نشان داده می شود. برای هر نقطه P و بار ${q}_{1}،$ ما همیشه می توانیم a را ${q}_{2}$ با این اثر پیدا کنیم.

شکل یک هواپیما را نشان می دهد. نقاط q1 و q2 روی صفحه قرار دارند و از مرکز آن به مساوی فاصله دارند. خطوط این نقاط را به نقطه P بالای صفحه متصل می کنند. فلش هایی با برچسب بردار E1 و بردار E2 از نقطه P سرچشمه می گیرند و در جهت مخالف خطوط متصل کننده P به q1 و q2 هستند. فلش سوم از P زاویه ایجاد شده توسط دو فلش اول را نصف می کند. این بردار E زیرنویس خالص است.

محاسبه سطح و شار گاوسی

در مورد حاضر، یک سطح گاوسی مناسب یک جعبه است، زیرا میدان الکتریکی مورد انتظار فقط در یک جهت است. برای متقارن نگه داشتن جعبه گاوسی نسبت به صفحه بارها، آن را به سمت صفحه بارها قرار می دهیم، به طوری که یک وجه حاوی نقطه میدان P به موازات صفحه بارها گرفته می شود. در (شکل) اضلاع I و II سطح گاوسی (جعبه) که موازی با صفحه بینهایت هستند سایه زده شده اند. آنها تنها سطوحی هستند که باعث ایجاد شار غیرصفر می شوند، زیرا میدان الکتریکی و بردارهای مساحت وجوه دیگر بر یکدیگر عمود هستند.

یک صفحه باردار نازک و جعبه گاوسی برای یافتن میدان الکتریکی در نقطه میدان P. حالت عادی برای هر وجه جعبه از داخل جعبه به بیرون است. در دو وجه جعبه، میدان های الکتریکی با بردارهای مساحت موازی هستند و در چهار وجه دیگر، میدان های الکتریکی عمود بر بردارهای سطح هستند.

فرض کنید A مساحت سطح سایه‌دار در هر طرف صفحه و ${E}_{P}$ بزرگی میدان الکتریکی در نقطه P باشد. از آنجایی که ضلع های I و II در فاصله یکسانی از صفحه قرار دارند، میدان الکتریکی در نقاطی از این صفحه ها قدر یکسانی دارد، اگرچه جهت میدان الکتریکی در این نقاط در دو صفحه مخالف یکدیگر است.

قدر در I یا II: $E\left(z\right)={E}_{P}.$

اگر بار روی صفحه مثبت باشد، جهت میدان الکتریکی و بردارهای ناحیه مانند (شکل) نشان داده شده است. بنابراین، ما برای شار میدان الکتریکی از طریق جعبه پیدا می کنیم

$\text{Φ}={\oint }_{S}{\stackrel{\to }{\text{E}}}_{P}·\stackrel{^}{\text{n}}\phantom{\ قانون{0.2em}{0ex}}dA={E}_{P}A+{E}_{P}A+0+0+0+0=2{E}_{P}A$

که در آن صفرها برای شار از طرف دیگر جعبه است. توجه داشته باشید که اگر بار روی هواپیما منفی باشد، جهات میدان الکتریکی و بردارهای ناحیه برای صفحات I و II مخالف یکدیگر هستند و برای شار علامت منفی می گیریم. طبق قانون گاوس، شار باید برابر ${q}_{\text{enc}}\text{/}{\epsilon }_{0}$ باشد. از (شکل) ، می بینیم که بارهای داخل حجم محصور شده توسط جعبه گاوسی در ناحیه A از صفحه xy قرار دارند. از این رو،

${q}_{\text{enc}}={\sigma }_{0}A.$

با استفاده از معادلات شار و بار محصور در قانون گاوس، می‌توانیم بلافاصله میدان الکتریکی را در نقطه‌ای در ارتفاع z از یک صفحه باردار یکنواخت در صفحه xy تعیین کنیم :

${\stackrel{\to }{\text{E}}}_{P}=\frac{{\sigma }_{0}}{2{\epsilon }_{0}}\stackrel{^}{\ متن{n}}.$

جهت میدان به علامت بار روی صفحه و سمت صفحه ای که نقطه میدان P در آن قرار دارد بستگی دارد . توجه داشته باشید که در بالای هواپیما، $\stackrel{^}{\text{n}}=\text{+}\stackrel{^}{\text{z}}$ در حالی که در زیر هواپیما، $\stackrel{^}{\text{n}}=\text{−}\stackrel{^}{\text{z}}$ .

ممکن است متعجب شوید اگر متوجه شوید که میدان الکتریکی در واقع به فاصله از هواپیما بستگی ندارد. این اثری از این فرض است که هواپیما بی نهایت است. از نظر عملی، نتیجه ارائه شده در بالا هنوز یک تقریب مفید برای صفحات محدود نزدیک به مرکز است.

خلاصه

برای توزیع بار با تقارن‌های فضایی خاص (کروی، استوانه‌ای و مسطح)، می‌توانیم یک سطح گاوسی را پیدا کنیم که $\stackrel{\to }{\text{E}}·\stackrel{^}{\text{n}}=E$ در آن E روی سطح ثابت است. سپس میدان الکتریکی با قانون گاوس تعیین می شود.
برای تقارن کروی، سطح گاوس نیز یک کره است و قانون گاوس به $4\pi {r}^{2}E=\frac{{q}_{\text{enc}}}{{\epsilon }_{0}}$ .
برای تقارن استوانه‌ای، از یک سطح گاوسی استوانه‌ای استفاده می‌کنیم و متوجه می‌شویم که قانون گاوس به $2\pi rLE=\frac{{q}_{\text{enc}}}{{\epsilon }_{0}}$ .
برای تقارن مسطح، یک سطح گاوسی مناسب، جعبه‌ای است که به صفحه نفوذ می‌کند، با دو وجه موازی با صفحه و بقیه عمود بر هم، در نتیجه قانون گاوس وجود دارد $2AE=\frac{{q}_{\text{enc}}}{{\epsilon }_{0}}$ .

سوالات مفهومی

آیا قانون گاوس برای تعیین میدان الکتریکی دو بار مساوی اما مخالف با فاصله ثابت از هم مفید خواهد بود؟

نه، از آنجایی که وضعیت تقارن ندارد، ساده کردن قانون گاوس را چالش برانگیز می کند.

در مورد نقشی که تقارن در کاربرد قانون گاوس ایفا می کند بحث کنید. مثال هایی از توزیع بار پیوسته که قانون گاوس در آن ها برای تعیین میدان الکتریکی مفید است و مفید نیست، بیاورید.

در مورد محدودیت های سطح گاوسی که برای بحث در مورد تقارن مسطح استفاده می شود بحث کنید. مثلا طولش مهمه؟ آیا سطح مقطع باید مربع باشد؟ آیا وجه های انتهایی باید در طرف مقابل ورق باشد؟

هر شکلی از سطح گاوسی قابل استفاده است. تنها محدودیت این است که انتگرال گاوسی باید قابل محاسبه باشد. بنابراین، یک جعبه یا یک استوانه راحت ترین اشکال هندسی برای سطح گاوسی هستند.

چالش ها و مسائل

به یاد بیاورید که در مثال یک کره باردار یکنواخت، ${\rho }_{0}=Q\text{/}\left(\frac{4}{3}\pi {R}^{3}\right).$ پاسخ ها را بر حسب بار کل Q روی کره بازنویسی کنید.

$r>R,\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}E=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}{r}^{2}};\phantom{\rule {0.2em}{0ex}}r<R,\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}E=\frac{qr}{4\pi {\epsilon }_{0}{R}^{3 }}$

فرض کنید که چگالی بار توزیع بار کروی نشان داده شده در (شکل) برابر و صفر برای $\rho \left(r\right)={\rho }_{0}r\text{/}R$ عبارات بدست آوردن میدان الکتریکی در داخل و خارج از توزیع باشد. $r\le R$

یک سیم بسیار بلند و نازک دارای چگالی بار خطی یکنواختی $50\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\mu \text{C/m}\text{.}$ است که میدان الکتریکی در فاصله 2.0 سانتی متری سیم چقدر است؟

$EA=\frac{\lambda l}{{\epsilon }_{0}}⇒E=4.50\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}×\phantom{\rule{0.2em}{0ex}} {10}^{7}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{N}\text{/}\text{C}$

یک بار $-30\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\mu \text{C}$ به طور یکنواخت در یک حجم کروی به شعاع 10.0 سانتی متر توزیع می شود. میدان الکتریکی ناشی از این بار را در فاصله (a) 2.0 سانتی متر، (ب) 5.0 سانتی متر و (ج) 20.0 سانتی متر از مرکز کره تعیین کنید.

با توجه به اینکه بار به طور یکنواخت روی سطح یک هادی کروی به شعاع 10.0 سانتی متر توزیع شده است، محاسبات خود را برای مسئله قبلی تکرار کنید.

آ. 0; ب 0; ج $\stackrel{\to }{\text{E}}=6.74\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}×\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{6}\ فانتوم{\rule{0.2em}{0ex}}\text{N}\text{/}\text{C}\left(\text{−}\stackrel{^}{\text{r}}\right)$

بار کلی Q به ترتیب در سراسر پوسته کروی شعاع داخلی و خارجی به طور یکنواخت توزیع می ${r}_{1}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{and}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}{r}_{2}،$ شود. نشان دهید که میدان الکتریکی ناشی از بار است

$\begin{array}{cccc}\stackrel{\to }{\text{E}}=\stackrel{\to }{0}\hfill & & & \left(r\le {r}_{1}\ راست);\hfill \\ \stackrel{\to }{\text{E}}=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}{r}^{2}}\left(\ frac{{r}^{3}-{r}_{1}{}^{3}}{{r}_{2}{}^{3}-{r}_{1}{}^{ 3}}\right)\stackrel{^}{\text{r}}\hfill & & & \left({r}_{1}\le r\le {r}_{2}\right);\ hfill \\ \stackrel{\to }{\text{E}}=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}{r}^{2}}\stackrel{^}{\text {r}}\hfill & & & \left(r\ge {r}_{2}\right).\hfill \end{آرایه}$

هنگامی که یک بار روی یک کره فلزی قرار می گیرد، در سطح بیرونی به حالت تعادل می رسد. از این اطلاعات برای تعیین میدان الکتریکی $+3.0\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\mu \text{C}$ بار روی یک توپ کروی آلومینیومی 5.0 سانتی متری در دو نقطه زیر در فضا استفاده کنید: (الف) یک نقطه در فاصله 1.0 سانتی متری از مرکز توپ (یک نقطه داخلی) و (ب) a. نقطه 10 سانتی متر از مرکز توپ (یک نقطه بیرونی).

آ. 0; ب $E=2.70\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}×\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{6}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}} \text{N}\text{/}\text{C}$

یک ورق بار بزرگ دارای چگالی بار یکنواختی $10\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\mu {\text{C/m}}^{2}\text{.}$ است که میدان الکتریکی ناشی از این بار در نقطه ای درست بالای سطح ورق چقدر است؟

تعیین کنید که آیا تقارن استوانه ای تقریبی برای موقعیت های زیر برقرار است یا خیر. بیان کنید چرا یا چرا؟ (الف) یک میله مسی به طول 300 سانتی‌متر به شعاع 1 سانتی‌متر با +500 نانوسان‌سی‌سی بار شارژ می‌شود و میدان الکتریکی را در نقطه‌ای 5 سانتی‌متری از مرکز میله جستجو می‌کنیم. (ب) یک میله مسی به طول 10 سانتی‌متر به شعاع 1 سانتی‌متر با +500 nC بار شارژ می‌شود و میدان الکتریکی را در نقطه‌ای 5 سانتی‌متری از مرکز میله جستجو می‌کنیم. ج) یک میله چوبی 150 سانتی‌متری به یک میله پلاستیکی 150 سانتی‌متری چسبانده می‌شود تا یک میله به طول 300 سانتی‌متر بسازد، سپس با رنگ باردار رنگ می‌شود تا چگالی بار یکنواخت به دست آید. شعاع هر میله 1 سانتی متر است و میدان الکتریکی را در نقطه ای که 4 سانتی متر از مرکز میله فاصله دارد جستجو می کنیم. (د) همان میله (ج)، اما میدان الکتریکی را در نقطه ای جستجو می کنیم که 500 سانتی متر از مرکز میله فاصله دارد.

آ. بله، طول میله بسیار بیشتر از فاصله تا نقطه مورد نظر است. ب نه، طول میله به اندازه فاصله تا نقطه مورد نظر است. ج بله، طول میله بسیار بیشتر از فاصله تا نقطه مورد نظر است. د نه. طول میله به اندازه فاصله تا نقطه مورد نظر است.

یک میله نقره ای بلند به شعاع 3 سانتی متر $\text{−}5\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\mu \text{C/cm}$ بر روی سطح خود بار دارد. (الف) میدان الکتریکی را در نقطه ای به فاصله 5 سانتی متر از مرکز میله (یک نقطه بیرونی) بیابید. (ب) میدان الکتریکی را در یک نقطه 2 سانتی متری از مرکز میله (یک نقطه داخلی) بیابید.

میدان الکتریکی در 2 سانتی متر از مرکز میله مسی بلند به شعاع 1 سانتی متر دارای قدر 3 N/C است و از محور میله به سمت بیرون هدایت می شود. الف) چه مقدار بار در واحد طول روی میله مسی وجود دارد؟ (ب) شار الکتریکی از طریق یک مکعب با ضلع 5 سانتی متری که به گونه ای قرار دارد که میله از طرف مقابل مکعب به طور عمود بر آن عبور کند، چقدر خواهد بود؟

آ. ; ب $\stackrel{\to }{\text{E}}=\frac{R{\sigma }_{0}}{{\epsilon }_{0}}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}} \frac{1}{r}\stackrel{^}{\text{r}}⇒{\sigma }_{0}=5.31\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}×\phantom{\rule {0.2em}{0ex}}{10}^{-11}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{C}\text{/}{\text{m}}^{2} ،$
$\lambda =3.33\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}×\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-12}\phantom{\rule{0.2em}{0ex }}\text{C}\text{/}\text{m}$
$\text{Φ}=\frac{{q}_{\text{enc}}}{{\epsilon }_{0}}=\frac{3.33\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}× \phantom{\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-12}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{C}\text{/}\text{m}\ left(0.05\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{m}\right)}{{\epsilon }_{0}}=0.019\phantom{\rule{0.2em}{0ex}} \text{N}·{\text{m}}^{2}\text{/}\text{C}$

یک پوسته استوانه‌ای بلند مسی با شعاع داخلی 2 سانتی‌متر و شعاع بیرونی 3 سانتی‌متر، یک میله آلومینیومی بلند باردار به شعاع 1 سانتی‌متر با چگالی بار 4 pC/m را به‌طور متحدالمرکز احاطه کرده است. تمام بارهای روی میله آلومینیومی در سطح آن قرار دارد. سطح داخلی پوسته مسی دقیقاً دارای بار مخالف با میله آلومینیومی است در حالی که سطح خارجی پوسته مسی دارای باری مشابه با میله آلومینیومی است. قدر و جهت میدان الکتریکی را در نقاطی که در فواصل زیر از مرکز میله آلومینیومی قرار دارند بیابید: (الف) 0.5 سانتی متر، (ب) 1.5 سانتی متر، (ج) 2.5 سانتی متر، (د) 3.5 سانتی متر، و (ه) 7 سانتی متر.

بار به طور یکنواخت با چگالی $\rho$ در سراسر حجم استوانه ای بی نهایت طولانی به شعاع R توزیع می شود. نشان دهید که میدان این توزیع بار به صورت شعاعی نسبت به سیلندر و آن جهت است

$E2\pi rl=\frac{\rho \pi {r}^{2}l}{{\epsilon }_{0}}⇒E=\frac{\rho r}{2{\epsilon }_{0 }}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\left(r\le R\right)$ ;
$E2\pi rl=\frac{\rho \pi {R}^{2}l}{{\epsilon }_{0}}⇒E=\frac{\rho {R}^{2}}{2{ \epsilon }_{0}r}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\left(r\ge R\right)$

بار در یک حجم استوانه ای بسیار طولانی با شعاع R توزیع می شود به طوری که چگالی بار با فاصله r از محور مرکزی سیلندر بر اساس $\rho =\alpha r،$ جایی $\ آلفا$ که یک ثابت است افزایش می یابد. نشان دهید که میدان این توزیع بار به صورت شعاعی نسبت به سیلندر و آن جهت است

$\begin{array}{}\\ \\ E=\frac{\alpha {r}^{2}}{3{\epsilon }_{0}}\hfill & & & \left(r\le R\ right);\hfill \\ E=\frac{\alpha {R}^{3}}{3{\epsilon }_{0}r}\hfill & & & \left(r\ge R\right). \hfill \end{آرایه}$

میدان الکتریکی 10.0 سانتی‌متر از سطح یک توپ مسی به شعاع 5.0 سانتی‌متر به سمت مرکز توپ هدایت می‌شود و اندازه آن $4.0\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}×\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{2}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text {N/C}\text{.}$ چقدر بار روی سطح توپ است؟

$\text{Φ}=\frac{{q}_{\text{enc}}}{{\epsilon }_{0}}⇒{q}_{\text{enc}}=-4.45\phantom{\ rule{0.2em}{0ex}}×\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-10}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\text{C}$

بار در سراسر یک پوسته کروی با شعاع داخلی ${r}_{1}$ و خارجی ${r}_{2}$ با چگالی حجمی که با $\rho ={\rho }_{0}{r}_{1}\text{/}r،$ یک ${\rho }_{0}$ ثابت است توزیع می شود. میدان الکتریکی ناشی از این بار را به عنوان تابعی از r فاصله از مرکز پوسته تعیین کنید.

بار در سراسر حجم کروی شعاع R با چگالی $\rho =\alpha {r}^{2}،$ که در آن $\ آلفا$ ثابت است توزیع می شود. میدان الکتریکی ناشی از بار را در نقاط داخل و خارج کره تعیین کنید.

${q}_{\text{enc}}=\frac{4}{5}\pi \alpha {r}^{5}،$
$E4\pi {r}^{2}=\frac{4\pi \alpha {r}^{5}}{5{\epsilon }_{0}}⇒E=\frac{\alpha {r}^ {3}}{5{\epsilon }_{0}}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\left(r\le R\right),$
${q}_{\text{enc}}=\frac{4}{5}\pi \alpha {R}^{5},\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}E4\pi {r }^{2}=\frac{4\pi \alpha {R}^{5}}{5{\epsilon }_{0}}⇒E=\frac{\alpha {R}^{5}}{ 5{\epsilon }_{0}{r}^{2}}\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}\left(r\ge R\right)$

یک هسته اورانیوم را کره ای با شعاع $R=7.4\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}×\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-15}\phantom{\rule{0.2em}{0ex} }\text{m}$ با بار 92 e در نظر بگیرید که به طور یکنواخت در سراسر حجم آن توزیع شده است. $3.0\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}×\phantom{\rule{0.2em}{0ex}}{10}^{-15}\text{m}$ الف) وقتی الکترون از مرکز هسته باشد نیروی الکتریکی وارد شده به آن چقدر است؟ ب) شتاب الکترون در این نقطه چقدر است؟

چگالی بار حجمی یک توزیع بار کروی با ضرایب $\rho \left(r\right)={\rho }_{0}{e}^{\text{−}\alpha r}،$ کجا ${\rho }_{0}$ و $\ آلفا$ ثابت است. میدان الکتریکی حاصل از این توزیع بار چقدر است؟

ادغام با قطعات: ${q}_{\text{enc}}=4\pi {\rho }_{0}\left[\text{−}{e}^{\text{−}\alpha r}\left(\frac {{\left(r\right)}^{2}}{\alpha }+\frac{2r}{{\alpha }^{2}}+\frac{2}{{\alpha }^{3} }\right)+\frac{2}{{\alpha }^{3}}\right]⇒E=\frac{{\rho }_{0}}{{r}^{2}{\epsilon } _{0}}\left[\text{−}{e}^{\text{−}\alpha r}\left(\frac{{\left(r\right)}^{2}}{\alpha }+\frac{2r}{{\alpha }^{2}}+\frac{2}{{\alpha }^{3}}\right)+\frac{2}{{\alpha }^{3 }}\درست]$

منبع

https://opentextbc.ca/universityphysicsv2openstax/chapter/applying-gausss-law/

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی