5-معادله لاپلاس

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه پنجم اسفند ۱۴۰۰ | 21:16

الکترواستاتیک [ ویرایش ]

اجازه دهید $\mathbf {E}$ میدان الکتریکی باشد، $\rho$ چگالی بار الکتریکی باشد و $\varepsilon _{0}$ گذراندن فضای آزاد باشد. سپس قانون گاوس برای الکتریسیته (معادله اول ماکسول) به شکل دیفرانسیل بیان می کند [6]

$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}.$

اکنون میدان الکتریکی را می توان به عنوان گرادیان منفی پتانسیل الکتریکی بیان کرد $V$ ،

$\mathbf {E} =-\nabla V,$

اگر میدان غیر چرخشی باشد، $\nabla \times \mathbf {E} =\mathbf {0}$ . چرخش ناپذیری $\mathbf {E}$ به عنوان شرایط الکترواستاتیک نیز شناخته می شود. [6]

$\nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot (-\nabla V)=-\nabla ^{2}V$

$\nabla ^{2}V=-\nabla \cdot \mathbf {E}$

با وصل کردن این رابطه به قانون گاوس، معادله پواسون را برای الکتریسیته به دست می آوریم، [6]

$\nabla ^{2}V=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.$

در مورد خاص یک منطقه بدون منبع، $\rho =0$ و معادله پواسون برای پتانسیل الکتریکی به معادله لاپلاس تقلیل می یابد. [6]

اگر پتانسیل الکترواستاتیک $V$ در مرز یک منطقه مشخص می شود ${\mathcal {R}}$ ، سپس به طور منحصر به فرد تعیین می شود. اگر ${\mathcal {R}}$ توسط یک ماده رسانا با چگالی بار مشخص احاطه شده است $\rho$ ، و اگر کل شارژ{\displaystyle Q} $س$ پس شناخته شده است $V$ نیز منحصر به فرد است. [7]

پتانسیلی که معادله لاپلاس را همراه با شرط مرزی برآورده نمی کند، یک پتانسیل الکترواستاتیک نامعتبر است.

جاذبه [ ویرایش ]

در این بخش هیچ منبعی ذکر نشده است . لطفاً با افزودن نقل قول به منابع معتبر به بهبود این بخش کمک کنید . مطالب بدون منبع ممکن است به چالش کشیده و حذف شوند. ( دسامبر 2019 ) ( نحوه و زمان حذف این پیام الگو را بیاموزید )

اجازه دهید $\mathbf {g}$ میدان گرانشی باشد، $\rho$ چگالی جرمی و $جی$ ثابت گرانشی سپس قانون گاوس برای گرانش به صورت دیفرانسیل است

$\nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho .$

میدان گرانشی محافظه کار است و بنابراین می توان آن را به عنوان گرادیان منفی پتانسیل گرانشی بیان کرد:

$\mathbf {g} =-\nabla V،$

$\nabla \cdot \mathbf {g} =\nabla \cdot (-\nabla V)=-\nabla ^{2}V,$

$\inplies \nabla ^{2}V=-\nabla \cdot \mathbf {g}.$

با استفاده از شکل دیفرانسیل قانون گرانش گاوس، داریم

$\nabla ^{2}V=4\pi G\rho ,$

که معادله پواسون برای میدان های گرانشی است.

در فضای خالی، $\rho =0$ و ما داریم

$\nabla ^{2}V=0,$

که معادله لاپلاس برای میدان های گرانشی است.

در متریک شوارتزشیلد [ ویرایش ]

S. Persides [8] معادله لاپلاس را در فضازمان شوارتزشیلد بر روی ابرسطحهای ثابت t حل کرد. با استفاده از متغیرهای متعارف r , θ , φ راه حل است

$\Psi (r,\theta,\varphi )=R(r)Y_{l}(\theta,\varphi)،$

که در آن Yl ( θ , φ ) یک تابع هارمونیک کروی است ، و

$R(r)=(-1)^{l}{\frac {(l!)^{2}r_{s}^{l}}{(2l)!}}P_{l}\left (1-{\frac {2r}{r_{s}}}\right)+(-1)^{l+1}{\frac {2(2l+1)!}{(l)!^{2 }r_{s}^{l+1}}}Q_{l}\left(1-{\frac {2r}{r_{s}}}\راست).$

در اینجا Pl و Ql به ترتیب توابع لژاندر از نوع اول و دوم هستند، در حالی که rs شعاع شوارتزشیلد است . پارامتر l یک عدد صحیح غیر منفی دلخواه است.

همچنین مشاهده کنید [ ویرایش ]

مختصات 6 کره ای ، سیستم مختصاتی که بر اساس آن معادله لاپلاس به صورت R قابل تفکیک می شود.
معادله هلمهولتز ، یک مورد کلی از معادله لاپلاس.
هارمونیک کروی
دامنه های چهارگانه
نظریه بالقوه
جریان بالقوه
تبدیل بیتمن
قضیه ارنشاو از معادله لاپلاس استفاده می کند تا نشان دهد که تعلیق فرومغناطیسی ثابت غیرممکن است.
وکتور لاپلاس

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Laplace%27s_equation

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی