3-انتگرال کانتور

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه چهارم اسفند ۱۴۰۰ | 17:31

انتگرال را در نظر بگیرید

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}}\,dx,$

برای ارزیابی این انتگرال، ما به تابع با مقدار مختلط نگاه می کنیم

$f(z)={\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}}$

که دارای تکینگی در i و i - است. ما یک کانتور را انتخاب می کنیم که انتگرال با ارزش حقیقی را محصور می کند، در اینجا یک نیم دایره با قطر مرزی روی خط حقیقی (مثلاً از a- به a ) راحت خواهد بود. این کانتور را C بنامید .

دو روش وجود دارد، با استفاده از فرمول انتگرال کوشی یا با روش باقیمانده:

استفاده از فرمول انتگرال کوشی [ ویرایش ]

توجه داشته باشید که:

$\oint _{C}f(z)\,dz=\int _{-a}^{a}f(z)\,dz+\int _{\text{Arc}}f(z)\ ,dz$

بدین ترتیب

$\int _{-a}^{a}f(z)\,dz=\oint _{C}f(z)\,dz-\int _{\text{Arc}}f(z) \,dz$

علاوه بر این، آن را رعایت کنید

$f(z)={\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}}={\frac {1}{(z+i)^{2 }(zi)^{2}}}.$

از آنجایی که تنها تکینگی در کانتور یک در i است، پس می توانیم بنویسیم

$f(z)={\frac {\frac {1}{(z+i)^{2}}}{(zi)^{2}}}،$

که تابع را در فرم برای اعمال مستقیم فرمول قرار می دهد. سپس با استفاده از فرمول انتگرال کوشی،

$\oint _{C}f(z)\,dz=\oint _{C}{\frac {\frac {1}{(z+i)^{2}}}{(zi)^{ 2}}}\,dz=2\pi i\,\left.{\frac {d}{dz}}{\frac {1}{(z+i)^{2}}}\راست|_{ z=i}=2\pi i\left[{\frac {-2}{(z+i)^{3}}}\right]_{z=i}={\frac {\pi }{2 }}$

ما مشتق اول را در مراحل بالا می گیریم، زیرا قطب یک قطب درجه دوم است. یعنی ( z − i ) به توان دوم گرفته می شود، بنابراین از اولین مشتق f ( z ) استفاده می کنیم. اگر ( z − i ) به توان سوم گرفته شود، از مشتق دوم استفاده می کنیم و بر 2 تقسیم می کنیم و غیره . z ) خود.

باید نشان دهیم که انتگرال روی قوس نیم دایره به صورت ∞ با استفاده از لم تخمین به صفر میل می کند .

$\left|\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz\right|\leq ML$

که در آن M یک کران بالای | f ( z ) | در امتداد قوس و L طول قوس است. اکنون،

$\left|\int _{\text{Arc}}f(z)\,dz\right|\leq {\frac {a\pi }{\left(a^{2}-1\right) ^{2}}}\to 0{\text{ as }}a\to \infty .$

بنابراین

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}}\,dx=\int _{ -\infty }^{\infty }f(z)\,dz=\lim _{a\to +\infty }\int _{-a}^{a}f(z)\,dz={\frac {\pi }{2}}.\quad \square$

استفاده از روش باقیمانده [ ویرایش ]

سری لران از f ( z ) را در مورد i در نظر بگیرید ، تنها تکینگی که باید در نظر بگیریم. ما پس از آن داریم

$f(z)={\frac {-1}{4(zi)^{2}}}+{\frac {-i}{4(zi)}}+{\frac {3}{16 }}+{\frac {i}{8}}(zi)+{\frac {-5}{64}}(zi)^{2}+\cdots$

(نمونه محاسبه لران از سری لران برای استخراج این سری ببینید.)

با بازرسی مشخص می شود که باقیمانده − است i/4، بنابراین، با قضیه باقیمانده ، داریم

$\oint _{C}f(z)\,dz=\oint _{C}{\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}}\ ,dz=2\pi i\,\operatorname {Res} _{z=i}f(z)=2\pi i\left(-{\frac {i}{4}}\right)={\frac {\pi }{2}}\quad \square$

بنابراین ما همان نتیجه قبلی را می گیریم.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی

3-انتگرال کانتور

مشخصات وب

موضوعات وب

پیوندها

پیوندهای روزانه

آرشیو وب

آمارگیر وبلاگ

کد پربازدیدترین