ریاضیات

پلی توپ های گاوسی [ ویرایش ]

قضیه: فرض کنید A 1 , …, A n نقاط تصادفی مستقلی در صفحه ℝ 2 باشند که هر کدام دارای توزیع نرمال استاندارد دو بعدی هستند. بگذارید K n بدنه محدب این نقاط و X n مساحت K n باشد سپس [33]

در توزیع به N (0،1) همگرا می شود زیرا n به بی نهایت میل می کند.

در تمام ابعاد بزرگتر از 2 نیز همینطور است.

پلی توپ K n یک پلی توپ تصادفی گاوسی نامیده می شود.

نتیجه مشابهی برای تعداد رئوس (پلی توپ گاوسی)، تعداد لبه ها، و در واقع، وجوه در تمام ابعاد وجود دارد. [34]

توابع خطی ماتریس های متعامد [ ویرایش ]

تابع خطی ماتریس M ترکیبی خطی از عناصر آن است (با ضرایب داده شده)، M↦ tr( AM ) که در آن A ماتریس ضرایب است. ردیابی (جبر خطی) #حصول درونی را ببینید .

یک ماتریس متعامد تصادفی به طور یکنواخت توزیع می شود، اگر توزیع آن معیار Haar نرمال شده روی گروه متعامد O( n , ℝ ) باشد. ماتریس چرخش# ماتریس‌های چرخش تصادفی یکنواخت را ببینید .

قضیه. فرض کنید M یک ماتریس متعامد تصادفی n × n باشد که به طور یکنواخت توزیع شده است، و A یک ماتریس ثابت n × n باشد به طوری که tr( AA *) = n باشد ، و X = tr( AM ) باشد. سپس [35] توزیع X نزدیک به N است (0،1) در متریک تغییرات کل تا [ توضیحات لازم ] 2 √ 3/n - 1.

دنباله های بعدی [ ویرایش ]

قضیه. فرض کنید متغیرهای تصادفی X 1 , X 2 , … ∈ L 2 (Ω) به گونه ای باشند که X n → 0 ضعیف در L 2 (Ω) و X
n→ 1 ضعیف در L 1 (Ω) . سپس اعداد صحیح n 1 < n 2 < ⋯ وجود دارد که

در توزیع به N (0،1) همگرا می شود زیرا k به بی نهایت میل می کند. [36]

راه رفتن تصادفی روی یک شبکه کریستالی [ ویرایش ]

قضیه حد مرکزی ممکن است برای راه رفتن تصادفی ساده روی یک شبکه کریستالی (یک گراف پوششی آبلی بی‌نهایت بر روی یک نمودار متناهی) ایجاد شود و برای طراحی ساختارهای کریستالی استفاده می‌شود. [37] [38]

برنامه ها و نمونه ها [ ویرایش ]

مثال ساده [ ویرایش ]

این شکل قضیه حد مرکزی را نشان می دهد. میانگین های نمونه با استفاده از یک مولد اعداد تصادفی تولید می شوند که اعداد بین 0 تا 100 را از یک توزیع احتمال یکنواخت می گیرد. این نشان می‌دهد که افزایش حجم نمونه منجر به این می‌شود که 500 نمونه اندازه‌گیری شده به معنای توزیع نزدیک‌تر در مورد میانگین جامعه (در این مورد 50) است. همچنین توزیع‌های مشاهده‌شده را با توزیع‌هایی که برای توزیع گاوسی نرمال‌شده انتظار می‌رود مقایسه می‌کند، و مقادیر مجذور کای را نشان می‌دهد که خوب بودن برازش را کمیت می‌کند (اگر کای دو کاهش یافته باشد، تناسب خوب است .مقدار کمتر یا تقریباً برابر با یک است). ورودی تابع گاوسی نرمال شده میانگین میانگین نمونه (~50) و میانگین انحراف استاندارد نمونه تقسیم بر جذر اندازه نمونه (~28.87/ √ n ) است که به آن انحراف استاندارد میانگین می گویند. از آنجایی که به گسترش میانگین نمونه اشاره دارد).

یک مثال ساده از قضیه حد مرکزی، انداختن بسیاری از تاس های یکسان و بی طرفانه است. توزیع مجموع (یا میانگین) اعداد نورد شده با یک توزیع نرمال به خوبی تقریب خواهد شد. از آنجایی که کمیت های دنیای واقعی اغلب مجموع متعادل بسیاری از رویدادهای تصادفی مشاهده نشده هستند، قضیه حد مرکزی نیز توضیحی جزئی برای شیوع توزیع احتمال نرمال ارائه می دهد. همچنین تقریب آمارهای نمونه بزرگ را به توزیع نرمال در آزمایش‌های کنترل‌شده توجیه می‌کند.

مقایسه توابع چگالی احتمال، ** p ( k ) برای مجموع n تاس 6 وجهی منصفانه برای نشان دادن همگرایی آنها به یک توزیع نرمال با افزایش n ، مطابق با قضیه حد مرکزی. در نمودار پایین سمت راست، نمایه های هموار نمودارهای قبلی مجدداً مقیاس شده، روی هم قرار گرفته و با یک توزیع نرمال (منحنی سیاه) مقایسه می شوند.

شبیه سازی دیگر با استفاده از توزیع دو جمله ای. 0ها و 1های تصادفی تولید شدند و سپس میانگین آنها برای اندازه نمونه از 1 تا 512 محاسبه شد. توجه داشته باشید که با افزایش اندازه نمونه، دمها نازکتر می شوند و توزیع حول میانگین متمرکزتر می شود.

برنامه های کاربردی واقعی [ ویرایش ]

ادبیات منتشر شده شامل تعدادی مثال و کاربرد مفید و جالب در رابطه با قضیه حد مرکزی است. [39] یک منبع [40] نمونه های زیر را بیان می کند:

• توزیع احتمال برای کل مسافت طی شده در یک پیاده روی تصادفی (با طرفدار یا بی طرفانه) به سمت توزیع نرمال گرایش دارد .
• چرخاندن تعداد زیادی سکه منجر به توزیع نرمال برای تعداد کل سرها (یا معادل تعداد کل دم) می شود.

از دیدگاه دیگر، قضیه حد مرکزی ظاهر رایج "منحنی زنگ" را در تخمین چگالی اعمال شده برای داده های دنیای واقعی توضیح می دهد. در مواردی مانند نویز الکترونیکی، نمرات امتحانی و غیره، اغلب می‌توانیم یک مقدار اندازه‌گیری شده را به عنوان میانگین وزنی بسیاری از اثرات کوچک در نظر بگیریم. با استفاده از تعمیم قضیه حد مرکزی، می‌توانیم ببینیم که اغلب (البته نه همیشه) توزیع نهایی تقریباً نرمال ایجاد می‌شود.

به طور کلی، هرچه اندازه گیری بیشتر شبیه مجموع متغیرهای مستقل با تأثیر مساوی بر نتیجه باشد، نرمال بیشتری از خود نشان می دهد. این امر استفاده متداول از این توزیع را برای نشان دادن اثرات متغیرهای مشاهده نشده در مدل هایی مانند مدل خطی توجیه می کند .