ریاضیات

​

این مقاله اطلاعات خاصی، یعنی طبقه بندی، در مورد خانواده ای از گروه ها، یعنی: گروه های مرتبه 12 ارائه می دهد .
مشاهده طبقه بندی خانواده های گروهی | مشاهده طبقه بندی گروه های یک سفارش خاص | مشاهده سایر اطلاعات خاص در مورد گروه های سفارش 12

بیانیه

تا ایزومورفیسم گروه ها پنج گروه از مرتبه 12 وجود دارد که عبارتند از:

گروه	بخش دوم GAP ID (GAP ID است (12، بخش دوم))	آبلیان؟	2-زیرگروه Sylow	آیا زیرگروه 2-Sylow طبیعی است؟	آیا زیرگروه 3-Sylow طبیعی است؟
گروه دو حلقه ای: Dic12	1	خیر	گروه چرخه ای: Z4	خیر	آره
گروه چرخه ای: Z12	2	آره	گروه چرخه ای: Z4	آره	آره
گروه متناوب: A4	3	خیر	کلاین چهار گروه	آره	خیر
گروه دو وجهی: D12	4	خیر	کلاین چهار گروه	خیر	آره
ضرب مستقیم Z6 و Z2	5	آره	کلاین چهار گروه	آره	آره

طبقه بندی های مرتبط

• طبقه‌بندی گروه‌های مرتبه چهار برابر یکریخت اول با 1 مدول 4
• طبقه‌بندی گروه‌های مرتبه چهار برابر یکریخت اول به 3 مدول 4 : برای هر عدد اول بزرگ‌تر از 3 و یکریخت با 3 مدول 4، فقط چهار (نه پنج) کلاس یکریختی از گروه‌های مرتبه وجود دارد . به طور کلی، هیچ مشابهی از گروه متناوب: A4 برای اعداد اول دیگر وجود ندارد، اما برای چهار گروه دیگر مشابه وجود دارد.

حقایق استفاده شده

1. سفارش ضرب مرسن پرایم است و یکی دیگر به زیرگروه Sylow معمولی اشاره دارد

اثبات

مشاهدات اولیه در زیر گروه های Sylow

توجه داشته باشید که ترتیب:

بنابراین، زیرگروه 2-Sylow یکی از گروه های مرتبه 4 (یک گروه چرخه ای:Z4 یا چهار گروه کلاین ) است و زیرگروه 3-Sylow گروه منحصر به فرد مرتبه 3 است، یعنی گروه چرخه ای:Z3 .

یا زیرگروه 2-سایلو یا زیرگروه 3-سایلو طبیعی است

این از واقعیت (1) نتیجه می شود.

طبقه بندی در صورت عادی بودن هر دو زیر گروه Sylow

در مجموع دو گروه از این نوع وجود دارد: گروه چرخه ای: Z12 و ضرب مستقیم Z6 و Z2 .

در این حالت، با معادل سازی تعاریف گروه nilpotent محدود ، کل گروه یک گروه nilpotent است و به عنوان ضرب مستقیم داخلی زیرگروه 2-Sylow و زیرگروه 3-Sylow آن رخ می دهد . زیرگروه 2-Sylow یکی از دو گروه احتمالی مرتبه 4 (یعنی گروه چرخه ای: Z4 و Klein چهار گروهی ) و زیر گروه 3-Sylow گروه چرخه ای:Z3 است . بنابراین احتمالاتی وجود دارد:

• ضرب مستقیم گروه حلقوی:Z4 و گروه حلقوی:Z3 که گروه حلقوی:Z12 است .
• ضرب مستقیم کلاین چهار گروه و گروه حلقوی:Z3 که ضرب مستقیم Z6 و Z2 می باشد.

برخی از حقایق مرتبط دیگر:

• Nilpotent نظم بدون مکعب به معنی abelian است
• معادل سازی تعاریف گروه nilpotent محدود
• تعداد گروه های nilpotent برابر حاصل ضرب تعداد گروه های مرتبه هر مقسوم علیه حداکثر توان اول است

طبقه بندی در مواردی که زیر گروه 2-سایلو نرمال است و زیرگروه 3-سایلو نرمال نیست.

در مجموع یک گروه از این نوع وجود دارد: گروه متناوب:A4 .

در این حالت کل گروه یک ضرب نیمه مستقیم داخلی از زیرگروه 2-Sylow (که نرمال است) و زیرگروه 3-Sylow آن، هم شکل تا گروه حلقوی:Z3 است که نرمال نیست. ما فرض کوچک اما با اهمیت کالا semidirect، از این رو، به دلیل گروه اقدام چرخهای سفارش اول است، باید آن را داشته باشد وفادار کالا semidirect.

موردی که در زیر گروه 2-Sylow را است گروه دوری: Z4 نمی افتد به دلیل گروه automorphism از گروه دوری: Z4 است گروه دوری: Z2 ، که هیچ زیرگروهی از سفارش سه.

موردی که در زیر گروه 2-Sylow را است گروه چهارتایی کلاین می کند افزایش را به یک امکان منحصر به فرد: گروه automorphism است S3: گروه متقارن اقدام، و گروه دوری: Z3 از طریق تعبیه عمل می کند A3 در S3 . بنابراین یک ضرب نیمه مستقیم از یک گروه چهار گروهی کلاین و یک گروه چرخه ای مرتبه سه به دست می آوریم که در آن مولد دومی توسط یک چرخه 3 بر روی عناصر غیر هویتی عمل می کند. گروهی که از این طریق به دست می آید، گروه متناوب است: A4 .

طبقه بندی در مواردی که زیر گروه 3-سایلو نرمال است و زیرگروه 2-سایلو نرمال نیست.

در این مورد، کل گروه یک ضرب نیمه مستقیم داخلی از گروه چرخه ای معمولی زیرگروه 3-Sylow :Z3 و زیرگروه 2-Sylow آن است. برای تعیین ضرب نیمه مستقیم داخلی معادل تعیین یک هممورفیسم از زیر گروه 2-Sylow به گروه خودمورفیسم گروه چرخه ای:Z3 است .

گروه خودمورفیسم زیرگروه 3-Sylow ( گروه حلقوی:Z3 ) هم شکل به گروه حلقوی:Z2 است که خودمورفیسم غیر هویتی نقشه معکوس است. بنابراین، مشخص کردن ضرب نیمه مستقیم داخلی معادل تعیین هم شکلی از زیر گروه 2-Sylow به گروه حلقوی:Z2 است . از آنجایی که ما یک ضرب نیمه مستقیم غیر پیش پا افتاده را فرض می کنیم، هم شکلی باید غیر اساسی باشد. ما دو مورد را در نظر می گیریم:

• زیرگروه 2-Sylow یک گروه حلقوی است:Z4 : در این مورد، تنها هم شکلی غیر پیش پا افتاده هممورفیسم سطحی است که یک عنصر (در اصل mod 4) را به عنصر mod 2 تقلیل می دهد . گروهی که به عنوان ضرب نیمه مستقیم در این حالت دریافت می کنیم ، دو حلقه ای است. گروه: Dic12 .
• زیرگروه 2-Sylow چهار گروهی Klein است : در این مورد، سه هممورفیسم غیر پیش پا افتاده معادل (تا خودمورفیسم های چهار گروهی Klein ) وجود دارد، با هسته ها احتمالات مختلفی برای Z2 در V4 وجود دارد . همه آنها پاسخ هایی می دهند که به صورت گروهی هم شکل هستند، یعنی گروه دو وجهی:D12 (که به عنوان حاصلضرب مستقیم گروه متقارن:S3 و گروه حلقوی:Z2 نیز قابل بیان است ).

منبع

https://groupprops.subwiki.org/wiki/Classification_of_groups_of_order_12#Classification_in_case_of_both_Sylow_subgroups_being_normal

​