ریاضیات

 نیروهای محافظه کار [ ویرایش ]

قضیه هلمهولتز توضیح می دهد که چرا کار انجام شده توسط یک نیروی محافظه کار در تغییر موقعیت یک جسم مستقل از مسیر است. ابتدا لمای 2-2 را معرفی می کنیم که نتیجه و مورد خاصی از قضیه هلمهولتز است.

لم 2-2. [5] [6] فرض کنید U ⊆ R 3 یک زیر مجموعه باز باشد ، با یک میدان برداری لایه‌ای F و یک حلقه صاف تکه‌ای c 0 : [0، 1] → U . یک نقطه p ∈ U را ثابت کنید ، اگر یک هموتوپی (هموتوپی لوله مانند) وجود دارد H : [0, 1] × [0, 1] → U به گونه ای که

• [SC0] H به صورت تکه ای صاف است ،
• [SC1] H ( تی ، 0) = ج 0 ( تی ) برای همه تی ∈ [0، 1] ،
• [SC2] H ( t ، 1) = p برای همه t ∈ [0، 1] ،
• [SC3] H (0, s ) = H (1, s ) = p برای همه s ∈ [0, 1] .

سپس،

لم 2-2 از قضیه 2-1 پیروی می کند. در لمای 2-2، وجود H راضی کننده [SC0] تا [SC3] بسیار مهم است. اگر U به سادگی متصل باشد، چنین H وجود دارد. تعریف فضای ساده متصل به شرح زیر است:

تعریف 2-2 (فضای متصل به سادگی). [5] [6] بگذارید M ⊆ R n غیر خالی و متصل به مسیر باشد. M به سادگی متصل می شود اگر و فقط اگر برای هر حلقه پیوسته، c : [0, 1] → M یک هموتوپی لوله ای پیوسته وجود داشته باشد H : [0, 1] × [0, 1] → M از c به یک نقطه ثابت وجود داشته باشد. p ∈ c ; به این معنا که،

• [SC0 '] H است مستمر ،
• [SC1] H ( تی ، 0) = ج ( تی ) برای همه تی ∈ [0، 1] ،
• [SC2] H ( t ، 1) = p برای همه t ∈ [0، 1] ،
• [SC3] H (0, s ) = H (1, s ) = p برای همه s ∈ [0, 1] .

این ادعا که "برای یک نیروی محافظه کار، کار انجام شده در تغییر موقعیت یک شی مستقل از مسیر است" ممکن است بلافاصله به نظر برسد. اما به یاد بیاورید که اتصال ساده فقط وجود یک هموتوپی پیوسته راضی کننده را تضمین می کند [SC1-3]. ما در عوض به دنبال یک هموتوپی صاف تکه ای هستیم که آن شرایط را برآورده کند.

با این حال، شکاف در نظم با قضیه تقریب ویتنی حل می شود . [6] : 136، 421  [11] بنابراین قضیه زیر را بدست می آوریم.

قضیه 2-2. [5] [6] اجازه دهید U ⊆ R 3 شود باز و به سادگی با یک میدان برداری غیرچرخشی متصل F . برای همه حلقه‌های صاف تکه‌ای c : [0، 1] → U

معادلات ماکسول [ ویرایش ]

همچنین نگاه کنید به: معادلات ماکسول § گردش و حلقه

در فیزیک الکترومغناطیس ، قضیه استوکس توجیهی برای هم ارزی شکل دیفرانسیل معادله ماکسول-فارادی و معادله ماکسول-آمپر و شکل انتگرال این معادلات ارائه می کند. برای قانون فارادی، قضیه استوکس برای میدان الکتریکی اعمال می شود.{\displaystyle \mathbf {E} }:

برای قانون آمپر، قضیه استوکس برای میدان مغناطیسی اعمال می شود.:

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Stokes%27_theorem