ریاضیات

قضیه دیورژانس تنها برای اعمال بسته سطوح S . با این حال، گاهی اوقات می‌توانیم با کمی یواشکی بودن، یک انتگرال شار را روی سطحی که بسته نیست ایجاد کنیم. توجه داشته باشید که این همیشه یک روش کارآمد برای ادامه کار نیست. با این حال، گاهی اوقات چنین است، و این یک مثال خوب از قضیه واگرایی و یک انتگرال شار است، بنابراین ما آن را همانطور که هست مرور خواهیم کرد.

شکل 1 : سطح

شکل 2 : سطحی که کف آن اضافه شده است

مثال
، شار میدان برداری F  = x y  i  + y z  j + x z  k را از طریق سطح z  = 4 - x 2  - y 2 ، برای z  >= 3 بیابید .

راه حل
سطح در شکل سمت راست نشان داده شده است. چون این یک سطح بسته نیست، نمی‌توانیم از قضیه واگرایی برای ارزیابی انتگرال شار استفاده کنیم. با این حال، اگر ما یک سطح بسته داشتیم، برای مثال شکل دوم در سمت راست (که شامل یک سطح پایین، بخش زرد یک صفحه است) می‌توانستیم. در ادامه این موضوع را در نظر خواهیم گرفت.

قضیه واگرایی می گوید

که در آن سطح S سطحی است که می خواهیم به اضافه سطح پایین (زرد). بنابراین ما می‌توانیم انتگرال شار مورد نظر خود را با پیدا کردن سمت راست قضیه واگرایی و سپس کم کردن انتگرال شار در سطح پایینی پیدا کنیم. این به ما تمرین خوبی می‌دهد، هم برای اعمال قضیه واگرایی و هم یافتن یک انتگرال سطح، بنابراین این کار را انجام خواهیم داد.

قسمت قضیه واگرایی انتگرال: در اینجا div  F  = y  + z  + x . توجه داشته باشید که در اینجا ما واگرایی را در کل حجم محصور ارزیابی می‌کنیم، بنابراین نمی‌توانیم آن را در سطح ارزیابی کنیم. با انجام انتگرال در مختصات استوانه ای، به دست می آوریم

شار از مرز پایین: توجه داشته باشید که در اینجا ما یک پارامتر بسیار آسان از سطح داریم، r = < x , y , 3>. بردار نرمال N  = <0، 0، -1> (زیرا ما یک نرمال بیرونی می خواهیم )، و dS  = dx  dy . بنابراین در سطح F  = F  = x y  i  + y z  j + 3  x  k ، و انتگرال سطح تبدیل می شود

در کنار هم قرار دادن : اینجا، همه چیز به خوبی از بین رفت. با استفاده از قضیه واگرایی، مقدار شار از سطح بالا و پایین را با هم 5 پی  / 3 می گیریم  ، و محاسبه شار برای سطح پایین صفر را به دست می دهیم، به طوری که شار فقط از سطح بالایی نیز 5  پی سوم است.  .