در ریاضیات ، مختصات متعامد به عنوان مجموعه ای از تعریف د مختصات Q = ( Q 1 ، س 2 ، ...، Q د ) که در آن هماهنگی سطوح تمام ملاقات در زاویه سمت راست (توجه داشته باشید: علامت هستند شاخص ، شارحان نیست). مختصات سطح برای یک خاص هماهنگ س ک منحنی، سطح، و یا فوق سطح که در آن Q K ثابت است. به عنوان مثال، مختصات دکارتی سه بعدی ( x ، y ، z) یک سیستم مختصات متعامد است، زیرا سطوح مختصات آن x = ثابت، y = ثابت، و z = ثابت، صفحاتی هستند که در زوایای قائم به یکدیگر قرار می گیرند، یعنی عمود هستند. مختصات متعامد یک مورد خاص اما بسیار رایج از مختصات منحنی است .

فهرست

• 1انگیزه
• 2بردارهای پایه
  • 2.1مبنای کوواریانس
  • 2.2مبنای متضاد
• 3جبر برداری
  • 3.1ضرب نقطه ای
  • 3.2ضرب متقابل
• 4حساب برداری
  • 4.1تفکیک
  • 4.2فرمول های بردار پایه
  • 4.3ادغام
• 5عملگرهای دیفرانسیل در سه بعدی
• 6جدول مختصات متعامد
• 7همچنین ببینید
• 8یادداشت
• 9منابع

انگیزه [ ویرایش ]

یک نقشه منسجم که بر روی یک شبکه مستطیل شکل عمل می کند. توجه داشته باشید که متعامد بودن شبکه منحنی حفظ می شود.

در حالی که عملیات بردار و قوانین فیزیکی معمولاً آسان‌ترین استخراج در مختصات دکارتی است ، مختصات متعامد غیر دکارتی اغلب برای حل مسائل مختلف، به‌ویژه مسائل ارزش مرزی ، مانند مواردی که در تئوری‌های میدانی مکانیک کوانتومی ، جریان سیالات به وجود می‌آیند ، استفاده می‌شوند. الکترودینامیک ، پلاسما فیزیک و انتشار از گونه های شیمیایی و یا حرارت .

مزیت اصلی مختصات غیر دکارتی این است که می توان آنها را برای مطابقت با تقارن مسئله انتخاب کرد. برای مثال، موج فشار ناشی از انفجار دور از زمین (یا سایر موانع) به فضای سه بعدی در مختصات دکارتی بستگی دارد، اما فشار عمدتاً از مرکز دور می‌شود، به طوری که در مختصات کروی مشکل تقریباً یک بعدی می‌شود. (از آنجایی که موج فشار به طور غالب فقط به زمان و فاصله از مرکز بستگی دارد). مثال دیگر سیال (آهسته) در یک لوله دایره ای مستقیم است: در مختصات دکارتی، باید یک مسئله مقدار مرزی دو بعدی (مشکل) را که شامل یک معادله دیفرانسیل جزئی است حل کرد، اما در مختصات استوانه ای مشکل با یک عدد یک بعدی یک بعدی می شود.معادله دیفرانسیل معمولی به جای معادله دیفرانسیل جزئی .

دلیل ترجیح مختصات متعامد به جای مختصات منحنی کلی سادگی است: بسیاری از عوارض زمانی به وجود می آیند که مختصات متعامد نباشند. برای مثال، در مختصات متعامد، بسیاری از مسائل ممکن است با جداسازی متغیرها حل شوند . جداسازی متغیرها یک تکنیک ریاضی است که یک مسئله پیچیده d -بعدی را به d مسائل تک بعدی تبدیل می‌کند که بر حسب توابع شناخته شده قابل حل هستند. بسیاری از معادلات را می توان به معادله لاپلاس یا معادله هلمهولتز تقلیل داد . معادله لاپلاس در 13 سیستم مختصات متعامد قابل تفکیک است (14 مورد ذکر شده در جدول زیربه استثنای حلقوی )، و معادله هلمهولتز در 11 سیستم مختصات متعامد قابل تفکیک است. [1] [2]

مختصات متعامد هرگز در تانسور متریک خود اصطلاحات خارج از مورب ندارند . به عبارت دیگر، فاصله بینهایت کوچک مجذور ds 2 را همیشه می توان به صورت مجموع مقیاس شده مجذور جابجایی مختصات بینهایت کوچک نوشت.

جایی که d بعد و توابع مقیاس (یا فاکتورهای مقیاس) است.

برابر با ریشه های مربع مولفه های مورب تانسور متریک یا طول بردارهای پایه محلی در زیر شرح داده شده است. این توابع مقیاس h i برای محاسبه عملگرهای دیفرانسیل در مختصات جدید، به عنوان مثال، گرادیان ، لاپلاسین ، واگرایی و کرل استفاده می شود .

یک روش ساده برای تولید سیستم‌های مختصات متعامد در دو بعد، با نگاشت هم‌شکل از یک شبکه استاندارد دو بعدی مختصات دکارتی ( x , y ) است . یک عدد مختلط z = x + iy را می توان از مختصات واقعی x و y تشکیل داد که i نشان دهنده واحد موهومی است . هر تابع هولومورفیک w = f ( z ) با مشتق مختلط غیرصفر، یک نگاشت منسجم ایجاد می کند.; اگر عدد مختلط حاصل w = u + iv نوشته شود ، منحنی‌های ثابت u و v در زوایای قائم با هم قطع می‌شوند، درست مانند خطوط اصلی ثابت x و y .

مختصات متعامد در ابعاد سه و بالاتر را می توان از یک سیستم مختصات دوبعدی متعامد تولید کرد، یا با نمایش آن به یک بعد جدید ( مختصات استوانه ای ) و یا با چرخش سیستم دو بعدی حول یکی از محورهای تقارن آن. با این حال، سیستم های مختصات متعامد دیگری در سه بعدی وجود دارد که نمی توان آنها را با برآمدن یا چرخاندن یک سیستم دو بعدی، مانند مختصات بیضی شکل، به دست آورد . مختصات متعامد کلی تر را می توان با شروع با برخی از سطوح مختصات ضروری و در نظر گرفتن مسیرهای متعامد آنها به دست آورد .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Orthogonal_coordinates