سیستم مختصات استوانه ای

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه ششم دی ۱۴۰۰ | 19:24

استوانه سیستم با منشاء هماهنگ O ، محور قطبی ، و محور طولی L . نقطه نقطه با فاصله شعاعی ρ = 4 ، مختصات زاویه ای φ = 130 درجه و ارتفاع z = 4 است .

یک سیستم مختصات استوانه ای یک سیستم مختصات سه بعدی است که موقعیت نقطه را با فاصله از یک محور مرجع انتخابی (محور L در تصویر مقابل) ، جهت از محور نسبت به جهت مرجع انتخابی (محور A) مشخص می کند. فاصله از صفحه مرجع انتخاب شده عمود بر محور (صفحه حاوی بخش بنفش) . بسته به اینکه کدام طرف صفحه مرجع رو به نقطه است، فاصله اخیر به صورت یک عدد مثبت یا منفی داده می شود.

منشاء از سیستم نقطه ای که هر سه مختصات را می توان به عنوان صفر داده شده است. این محل تقاطع بین صفحه مرجع و محور است. این محور را به‌طور متفاوتی محور استوانه‌ای یا طولی می‌نامند تا آن را از محور قطبی متمایز کند ، که پرتویی است که در صفحه مرجع قرار دارد و از مبدا شروع می‌شود و در جهت مرجع قرار می‌گیرد. سایر جهات عمود بر محور طولی را خطوط شعاعی می نامند .

فاصله از محور ممکن است فاصله شعاعی یا شعاع نامیده شود ، در حالی که مختصات زاویه ای گاهی اوقات به عنوان موقعیت زاویه ای یا به عنوان آزیموت نامیده می شود . شعاع و آزیموت با هم مختصات قطبی نامیده می شوند ، زیرا با یک سیستم مختصات قطبی دوبعدی در صفحه از طریق نقطه، موازی با صفحه مرجع مطابقت دارند . مختصات سوم ممکن است ارتفاع یا ارتفاع (اگر صفحه مرجع افقی در نظر گرفته شود)، موقعیت طولی ، [1] یا موقعیت محوری نامیده می شود . [2]

مختصات استوانه‌ای در ارتباط با اجسام و پدیده‌هایی که دارای تقارن چرخشی حول محور طولی هستند، مانند جریان آب در یک لوله مستقیم با مقطع گرد، توزیع گرما در یک استوانه فلزی ، میدان‌های الکترومغناطیسی تولید شده توسط جریان الکتریکی در سیم بلند و مستقیم، قرص های برافزایشی در نجوم و غیره.

آنها گاهی اوقات «مختصات قطبی استوانه ای» [3] و «مختصات استوانه ای قطبی» [4] نامیده می شوند و گاهی اوقات برای تعیین موقعیت ستارگان در یک کهکشان («مختصات قطبی استوانه ای کهکشانی مرکزی») استفاده می شوند. [5]

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

سه مختصات ( ρ , φ , z ) نقطه P به صورت زیر تعریف می شوند:

فاصله محوری و یا فاصله شعاعی ρ است که فاصله اقلیدسی از Z محور به نقطه P .
زاویه φ زاویه بین جهت مرجع در هواپیما انتخاب شده و خط از مبدأ به طرح از است P در هواپیما.
محوری هماهنگ و یا ارتفاع Z فاصله امضا از هواپیما انتخاب به نقطه است P .

مختصات استوانه ای منحصر به فرد [ ویرایش ]

همانطور که در مختصات قطبی، همان نقطه با مختصات استوانه ای ( ρ , φ , z ) دارای بی نهایت مختصات معادل است، یعنی ( ρ , φ ± n × 360 درجه، z ) و ( - ρ , φ ± ( 2 n + 1 ) ×180 درجه، z )، که در آن n هر عدد صحیحی است. علاوه بر این، اگر شعاع ρ صفر باشد، آزیموت دلخواه است.

در شرایطی که شخصی مجموعه منحصر به فردی از مختصات را برای هر نقطه می‌خواهد، ممکن است شعاع غیرمنفی ( ρ ≥ 0 ) و آزیموت φ را در یک بازه خاص 360 درجه محدود کند، مانند [-180 درجه، + 180 °] و یا [0360 درجه سانتی] .

کنوانسیون ها [ ویرایش ]

نماد مختصات استوانه ای یکنواخت نیست. ISO استاندارد 31-11 توصیه ( ρ ، φ ، Z ) ، که در آن ρ است که شعاعی هماهنگ، φ زاویه، و Z ارتفاع. با این حال، شعاع نیز اغلب با r یا s ، آزیموت با θ یا t ، و مختصات سوم با h یا (اگر محور استوانه‌ای افقی در نظر گرفته می‌شود) x یا هر حرف خاص زمینه نشان داده می‌شود.

هماهنگ سطوح از مختصات استوانه ( ρ ، φ ، Z ) . استوانه قرمز نقاط را با ρ = 2 نشان می دهد، صفحه آبی نقاط را با z = 1 نشان می دهد ، و نیم صفحه زرد نقاط با φ = -60 درجه را نشان می دهد . Z محور عمودی است و X محور به رنگ سبز مشخص شده است. سه سطح در نقطه P با آن مختصات (که به صورت کره سیاه نشان داده شده است) تلاقی می کنند . مختصات دکارتی از P تقریباً (1.0، -1.732، 1.0) هستند.

سطوح مختصات استوانه ای. سه جزء متعامد، ρ (سبز)، φ (قرمز)، و z (آبی) که هر کدام با نرخ ثابتی افزایش می‌یابند. نقطه در تقاطع بین سه سطح رنگی است.

در موقعیت‌های بتن، و در بسیاری از تصاویر ریاضی، یک مختصات زاویه‌ای مثبت در خلاف جهت عقربه‌های ساعت اندازه‌گیری می‌شود که از هر نقطه با ارتفاع مثبت دیده می‌شود.

تبدیل سیستم مختصات [ ویرایش ]

سیستم مختصات استوانه ای یکی از بسیاری از سیستم های مختصات سه بعدی است. برای تبدیل بین آنها می توان از فرمول های زیر استفاده کرد.

مختصات دکارتی [ ویرایش ]

برای تبدیل بین مختصات استوانه ای و دکارتی، راحت است فرض کنیم که صفحه مرجع اولی صفحه xy دکارتی است (با معادله z = 0 )، و محور استوانه ای محور z دکارتی است . سپس Z -coordinate مشابه در هر دو سیستم، و مکاتبات بین استوانه ای است ( ρ ، φ ، Z ) و دکارتی ( X ، Y ، Z ) همان است که برای مختصات قطبی، یعنی

${\begin{aligned}x&=\rho \cos \varphi \\y&=\rho \sin \varphi \\z&=z\end{aligned}}$

در یک جهت، و

${\begin{aligned}\rho &={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\varphi &={\begin{cases}0&{\mbox{if }} x=0{\mbox{ و }}y=0\\\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)&{\mbox{if }}x\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&{\mbox{if }}x>0\\-\arcsin \left({\frac {y}{\rho }}\right)+ \pi &{\mbox{if }}x<0\end{موارد}}\end{تراز شده}}$

در دیگری تابع آرکسین معکوس تابع سینوس است و فرض بر این است که یک زاویه در محدوده [-π/2، +π/2] = [-90 درجه، 90+ درجه] . این فرمول ها یک آزیموت φ در محدوده [-90°، +270°] را به دست می دهند . برای سایر فرمول ها، مقاله مختصات قطبی را ببینید .

بسیاری از زبان‌های برنامه‌نویسی مدرن تابعی را ارائه می‌کنند که بدون نیاز به انجام تحلیل موردی مانند بالا ، آزیموت صحیح φ را در محدوده (-π, π) با توجه به x و y محاسبه می‌کند. به عنوان مثال، این تابع توسط atan2 ( y , x ) در زبان برنامه نویسی C و atan( y ، x ) در Common Lisp فراخوانی می شود .

مختصات کروی [ ویرایش ]

مختصات کروی (شعاع r ، ارتفاع یا شیب θ ، آزیموت φ )، ممکن است با موارد زیر به مختصات استوانه‌ای تبدیل شوند:

θ ارتفاع است:	θ تمایل است:
${\begin{aligned}\rho &=r\cos \theta \\\varphi &=\varphi \\z&=r\sin \theta \end{aligned}}$	${\begin{aligned}\rho &=r\sin \theta \\\varphi &=\varphi \\z&=r\cos \theta \end{aligned}}$

مختصات استوانه ای را می توان با موارد زیر به مختصات کروی تبدیل کرد:

θ ارتفاع است:	θ تمایل است:
${\begin{aligned}r&={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arctan \left({\tfrac {z}{\rho } }\راست)\\\varphi &=\varphi \end{تراز شده}}$	${\begin{aligned}r&={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arctan \left({\tfrac {\rho }{z} }\راست)\\\varphi &=\varphi \end{تراز شده}}$

عناصر خط و حجم [ ویرایش ]

مشاهده جدایی ناپذیر چند برای جزئیات ادغام حجم در مختصات استوانه، و دل در مختصات استوانه ای و کروی برای حساب بردار فرمول.

در بسیاری از مسائل مربوط به مختصات قطبی استوانه ای، دانستن عناصر خط و حجم مفید است. اینها در یکپارچه سازی برای حل مسائل مربوط به مسیرها و حجم ها استفاده می شوند.

عنصر خط است

$\mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} \rho \,{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\rho \,\mathrm {d} \varphi \,{ \boldsymbol {\hat {\varphi }}}+\mathrm {d} z\,\mathbf {\hat {z}} .$

عنصر حجم است

$\mathrm {d} V=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.$

عنصر سطح در یک سطح شعاع ثابت ρ (یک سیلندر عمودی) است

$\mathrm {d} S_{\rho }=\rho \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} z.$

عنصر سطح در سطحی با آزیموت ثابت φ (یک نیمه صفحه عمودی) است

$\mathrm {d} S_{\varphi }=\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} z.$

عنصر سطح در سطحی با ارتفاع ثابت z (صفحه افقی) است

$\mathrm {d} S_{z}=\rho \,\mathrm {d} \rho \,\mathrm {d} \varphi .$

دل اپراتور در این سیستم منجر به عبارت زیر را برای گرادیان ، واگرایی ، حلقه و لاپلاس :

${\begin{aligned}\nabla f&={\frac {\partial f}{\partial \rho }}{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \varphi }}{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {\hat { z}} \\[8px]\nabla \cdot {\boldsymbol {A}}&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\ rho A_{\rho }\right)+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial \varphi }}+{\frac {\partial A_{z }}{\partial z}}\\[8px]\nabla \times {\boldsymbol {A}}&=\left({\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial A_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial A_{\varphi }}{\partial z }}\right){\boldsymbol {\hat {\rho }}}+\left({\frac {\partial A_{\rho }}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z} }{\partial \rho }}\right){\boldsymbol {\hat {\varphi }}}+{\frac {1}{\rho }}\left({\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho A_{\varphi }\right)-{\frac {\partial A_{\rho }}{\partial \varphi }}\right)\mathbf {\hat {z}} \\[ 8px]\nabla ^{2}f&={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\ partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\ frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}\end{aligned}}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+ {\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f }{\partial z^{2}}}\end{تراز شده}}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+ {\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f }{\partial z^{2}}}\end{تراز شده}}$

هارمونیک های استوانه ای [ ویرایش ]

حل معادله لاپلاس در یک سیستم با تقارن استوانه ای هارمونیک استوانه ای نامیده می شود .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منابع

https://en.wikipedia.org/wiki/Cylindrical_coordinate_system

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی