ریاضیات

در مقاله قبلی قسمت اول تانسور انحنای ریمان: مشتق از کموتاتور مشتق کوواریانت ، روشی را برای استخراج تانسور ریمان از کموتاتور مشتق کوواریانت نشان دادیم که از نظر فیزیکی با تفاوت انتقال موازی یک بردار ابتدا در یک راه و سپس مطابقت دارد. دیگری، در مقابل برعکس.

تفسیر دیگر بر حسب شتاب نسبی ذرات مجاور در سقوط آزاد است .

ابری از ذرات را در حال سقوط آزاد تصور کنید. فرض کنید که ناظری با یکی از ذرات سفر می کند و به ذره ای نزدیک نگاه می کند و موقعیت آن را در مختصات اینرسی محلی می سنجد. در نسبیت خاص، با سرعت ثابت و بدون شتاب در یک خط مستقیم حرکت می کند. اما در میدان گرانشی چه اتفاقی می افتد؟

همانطور که از مقاله معادله ژئودزیک و نمادهای کریستوفل به یاد می آوریم ، یک ژئودزیک مفهوم "خط مستقیم" را به فضازمان منحنی تعمیم می دهد.

در اینجا نشان خواهیم داد که چگونه تکامل جدایی اندازه‌گیری شده بین دو ژئودزیک مجاور، که به عنوان انحراف ژئودزیکی نیز شناخته می‌شود، در واقع می‌تواند به انحنای غیرصفر فضازمان، یا استفاده از زبان نیوتنی، با حضور نیروی جزر و مدی مرتبط باشد .

بنابراین اجازه دهید دو ذره را به دنبال دو ژئودزیک بسیار نزدیک انتخاب کنیم.

مسیر مربوطه آنها را می توان با توابع x μ (τ) (ذره مرجع) و y μ (τ)≡x μ (τ) + ξ μ (τ) (ذره دوم) توصیف کرد که در آن τ (tau) زمان مناسب در طول آن است. خط جهانی ذره مرجع و جایی که ξ به انحراف چهار بردار اشاره دارد که یک ذره را به ذره دیگر در هر زمان مشخص می‌پیوندد.

نسبت شتاب a α از دو شکل تعریف شده است، تقریبا، به عنوان مشتق دوم از جدایی بردار ξ α به عنوان اشیاء پیش در امتداد ژئودزیک مربوطه می باشند.

هدف ما در این مقاله نشان دادن این است که این شتاب نسبی با تانسور ریمان با معادله زیر مرتبط است.

که برای آن یک تانسور ریمان تهی منجر به شتاب نسبی صفر بین ذرات می شود، که معادل این است که بگوییم فضازمان مسطح است.

پس بیایید سعی کنیم آن را نشان دهیم.

از آنجایی که هر ذره از یک ژئودزیک پیروی می کند، معادله مختصات مربوطه آنها به صورت زیر است:

در هر یک از این معادلات، نماد کریستوفل در موقعیت x و y هر ذره ارزیابی می شود. از آنجایی که تفکیک بین ذرات بی نهایت کوچک است، بنابراین می‌توانیم نماد کریستوفل را در موقعیت y α (Τ) با توسعه سری تیلور ارزیابی کنیم.

با این فرض که y α (τ) = x α (τ) + ξ α (τ) و با جایگزین کردن آخرین عبارت در معادله ژئودزیکی ذره y، به دست می‌آییم:

که در آن نماد کریستوفل و مشتقات مرتبه اول آن اکنون در x α (Τ) ارزیابی می شوند.

با توسعه تمام عبارات داخل پرانتز، و لغو آن اصطلاحات در مرتبه دوم نسبت به ξ، به دست می‌آید:

با استفاده از معادله ژئودزیکی ذره x:

در نهایت می توانیم بنویسیم:

که در آن u μ ≡ dx μ / dτ بردار چهار سرعتی ذره مرجع است.

ما اکنون عبارتی برای dξ α /dτ داریم، اما طبق معمول، این مشتق کل چهار بردار ξ نیست، زیرا مشتق آن نیز می‌تواند از تغییر بردارهای پایه در حین حرکت جسم در امتداد خود سهمی داشته باشد. ژئودزیکی برای بدست آوردن مشتق کل، داریم

با جایگزینی شاخص ساختگی α با σ در جمله دوم و از تعریف نماد کریستوفل یا ضریب اتصال به دست می‌آید.

به طوری که

از آنجایی که ما هنوز با شرطی سروکار داریم که ξ چهار بردار است، مشتق آن نسبت به زمان مناسب نیز چهار بردار است، بنابراین می‌توانیم مشتق مطلق دوم را با استفاده از همان توسعه مشتق مرتبه اول پیدا کنیم.

می‌توانیم عبارت دوم را بازنویسی کنیم زیرا نمادهای کریستوفل با توجه به موقعیت ذره مرجع به τ بستگی دارد.

 با استفاده از معادله ژئودزیک، می توانیم جمله سوم را بازنویسی کنیم، یعنی توسعه du μ /dτ.

همچنین برای به دست آوردن یک انعکاس با μ، ν و ξ فقط می‌توانیم آخرین جمله را با تغییر نام شاخص‌های ساختگی σ و β بازنویسی کنیم.

با استفاده از معادله نماد کریستوفل سری تیلور در بالا و جایگزینی ν با σ در جمله اول، به دست می آوریم.

بنابراین در نهایت می‌توانیم بنویسیم، و همه عبارت‌ها را جایگزین کنیم

 با لغو عبارت اول و پنجم و حذف عامل مشترک u μ u ν ξ σ

از آنجایی که این هنوز یک معادله تانسوری است، کمیت داخل پرانتز یک تانسور است و می‌توانیم تانسور ریمان را برعکس این کمیت تعریف کنیم.

سپس می‌توانیم معادله بالا را در یک عبارت کوتاه‌تر بازنویسی کنیم که به معادله انحراف ژئودزیک معروف است.

از آنجایی که تنها کمیتی در این معادله که ذاتاً به متریک بستگی دارد، تانسور ریمان است، می بینیم که اگر به طور یکسان صفر باشد، فضازمان مسطح است، اما اگر تنها یک جزء این تانسور غیر صفر باشد، فضازمان منحنی است .

در پست‌های آینده، ویژگی‌ها و نمونه‌های بیشتری از تانسور ریمان را بررسی خواهیم کرد.

منبع

https://einsteinrelativelyeasy.com/index.php/general-relativity/63-the-riemann-curvature-tensor-part-ii-derivation-from-the-geodesic-deviation