معادله دیفرانسیل جزئی

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه ششم دی ۱۴۰۰ | 6:21

معادله دیفرانسیل جزئی (PDE) معادله ای است که شامل توابع و مشتقات جزئی آنها می شود . به عنوان مثال، معادله موج

(1)

برخی از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی را می توان دقیقا در حل زبان ولفرام با استفاده از DSolve [ تحلیلی معادله ، Y ، X1 ، X2 ]، و با استفاده از روش عددی NDSolve [ eqns ، Y ، X ، xmin ، و Xmax ، تی ، tmin ، TMAX ].

به طور کلی، حل معادلات دیفرانسیل جزئی از نظر تحلیلی بسیار دشوارتر از معادلات دیفرانسیل معمولی است . گاهی اوقات ممکن است با استفاده از تبدیل Bäcklund ، ویژگی‌ها ، تابع گرین ، تبدیل انتگرال ، جفت سست ، جداسازی متغیرها ، یا - زمانی که همه چیز شکست می‌خورد (که اغلب انجام می‌شود) - روش‌های عددی مانند تفاوت‌های محدود حل شوند .

خوشبختانه، معادلات دیفرانسیل جزئی مرتبه دوم اغلب قابل حل تحلیلی هستند. چنین PDEهایی از این نوع هستند

(2)

سپس PDE های مرتبه دوم خطی بر اساس ویژگی های ماتریس طبقه بندی می شوند

(3)

به صورت بیضی ، هذلولی یا سهمی .

اگر یک ماتریس قطعی مثبت است ، یعنی PDE بیضوی است . معادله لاپلاس و معادله پواسون نمونه هستند. از شرایط مرزی برای دادن محدودیت در , Where استفاده می شود

(4)

نگه می دارد در .

اگر det باشد ، PDE گفته می شود که هذلولی است . معادله موج یک مثال از یک معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی هذلولی است. شرایط مرزی اولیه برای دادن استفاده می شود