ریاضیات

18
 
9
 
چگونه ثابت کنم که حداکثر یک گروه ساده از مرتبه 168 وجود دارد؟
من قبلاً آن را دیده ام جیL3( 2 )GL3(2) و پاسL2( 7 )PSL2(7) گروه های ساده ای از مرتبه 168 هستند، و من شواهد مستقیمی را دیده ام که نشان می دهد آنها برابر هستند.
اکنون می خواهم نشان دهم که فقط یک گروه ساده از آن ترتیب وجود دارد.
برای شروع این کار به چه چیزی فکر کنم؟ در واقع چگونه آن را ثابت می کنید؟
تنها چیزی که من می‌دانم که نتایج ساختاری در مورد گروه‌هایی که فقط ترتیب آن داده می‌شود، قضیه سایلو است. بنابراین من آن را اعمال می کنم. از آنجا که168 =23⋅ 3 ⋅ 7168=23⋅3⋅7 من از قضیه سایلو می دانم که وجود خواهد داشت:n2| 3⋅7n2|3⋅7 و n2≡ 1( mod2 )n2≡1(mod2) بنابراین می تواند وجود داشته باشد 1 ، 3 ، 71,3,7 یا 2121 Sylow 2-زیرگروه ها.n3|23⋅ 7n3|23⋅7 و n3≡ 1( mod3 )n3≡1(mod3) بنابراین می تواند وجود داشته باشد 1 ، 4 ، 71,4,7 یا 2828 Sylow 3-زیرگروه.n7|23⋅ 3n7|23⋅3 و n7≡1(mod7)n7≡1(mod7) بنابراین وجود دارد 11 یا 23=823=8 از اینها
من یک لم را ثابت کردم که می گوید اگر یک زیرگروه Sylow طبیعی است اگر منحصر به فرد باشد، این ثابت می کند که فقط نمی تواند وجود داشته باشد 11 2-زیرگروه Sylow.
ویرایش : بنابراین فکر می کنم یک لم مفید دیگر از نظرات و اینجا دریافت کردم :
Lemma LetGG یک گروه ساده از نظم باشد NN با p|Np|N، سپس یا |G|≤np!|G|≤np!.اثبات : اجازه دهیدGG با صرف روی آن عمل کنید npnp pp-زیرگروه های Sylow، چون همگی مزدوج هستند، یک نقشه سطحی به دست می دهد G→SnpG→Snp، اگر npnp 1 نیست و |G|>|Snp||G|>|Snp| هسته این نقشه یک زیر گروه معمولی خواهد بود 1≠N⊴G1≠N⊴G.
این به ما فرصت ها را می دهد:77 یا 2121 2-زیرگروه های Sylow.77 یا 2828 3-زیرگروه های Sylowدقیقا 2828 77-Sylow-زیرگروه ها.
سوالات مرتبط:ثابت کنید هیچ عنصری از مرتبه 6 در یک گروه ساده از مرتبه 168 وجود ندارد - این سوال با دانش بیشتری در مورد زیرگروه های Sylow شروع می شود که من قادر به استنباط آن هستم.Sylow 7-subgroups in a group of order 168 - نشان می دهد که زیرگروه های 7-Sylow معمولی هستند یا دارای حداکثر نرمال ساز هستند (من این را نمی فهمم)چرا PSL3(F2)≅PSL2(F7)PSL3(F2)≅PSL2(F7)? - اثبات مستقیم ایزومورفیسم خاص.
گروه های محدودگروه های ساده
اشتراک گذاری
استناد کنید
دنبال کردن
ویرایش شده در 13 آوریل 17 در 12:21

انجمنربات
1
پرسید: 7 مارس '13 در 12:51
user58512
1به طور مبهم به یاد می‌آورم که یک بار این کار را انجام داده بودم. به نظر می رسد77-Sylows ممکن است نقطه شروع خوبی باشد. هشت مورد از آنها وجود دارد (همانطور که شما اشاره کردید). اینها احتمالاً باید با 8 خط گروه مطابقت داشته باشندPSL2(7)PSL2(7) عمل می کند. 
– یرکی لاتونن مارس 7 '13 در 13:04
3و بله، توصیه می کنم ابتدا آن را برای 60 انجام دهید. IIRC بسیار ساده تر :-) 
– یرکی لاتونن مارس 7 '13 در 13:05
1یک نکته برای 60: اگر GG یک زیر گروه دارد HH از شاخص 5، سپس عمل جایگشت از GG بر G/HG/H یک هممورفیسم غیر پیش پا افتاده از GG به S[G:H]S[G:H]، که یک تناقض است. این به شما امکان می دهد برخی از احتمالات را حذف کنید و سپس زیر گروهی از شاخص دقیقاً پنج را پیدا خواهید کرد ... 
– یرکی لاتونن مارس 7 '13 در 13:11
1به طور مشابه می توانید احتمالات را حذف کنید n3=4n3=4، n2=3n2=3در مورد 168 این گروه Sylows را به صورت گذرا مزدوج می کند، بنابراین اگرn3=4n3=4 ما یک هم شکلی غیر پیش پا افتاده داریم GG به S4S4، که یک نه است. 
– یرکی لاتونن مارس 7 '13 در 13:16
3اگر می خواهید ببینید که این مشکل حل شده است، جبر انتزاعی Dummit و Foote، ویرایش سوم را بررسی کنید. صفحات 207-212. 
– جاش بی. مارس 7 '13 در 14:20
نمایش 7 نظر دیگر
 1 پاسخ
فعالقدیمی ترینرای
 
4
 
برای شروع چند مشاهدات نسبتاً ابتدایی (یا حتی پیش پا افتاده بستگی دارد)، قرار دادن np=np= شماره سایلو p−p−زیر گروه ها، G:=G:= گروه ساده سفارش 168168:
 
168=23⋅3⋅7⟹n7=8,n3=7,28
 
نمی تواند باشد n3=4n3=4 مانند آن زمان GG دارای یک زیر گروه از شاخص 4 است که غیرممکن است زیرا این بدان معنی است GG ایزومورف با یک زیر گروه از S4S4. به همین دلیل، باید باشدn2=7,21n2=7,21...
شاید با خواندن اینجا کل دیدگاه را داشته باشید. نگران تعداد صفحات نباشید زیرا اولین ها نتایج اولیه لیست شده اند.
 
 
The only thing I know that gives structural results about groups given only its order is Sylow's theorem. So I apply that. Since 168=23⋅3⋅7168=23⋅3⋅7 I know from Sylow's theorem there would be:n2|3⋅7n2|3⋅7 and n2≡1(mod2)n2≡1(mod2) so there could be 1,3,71,3,7 or 2121 Sylow 2-subgroups.n3|23⋅7n3|23⋅7 and n3≡1(mod3)n3≡1(mod3) so there could be 1,4,71,4,7 or 2828 Sylow 3-subgroups.n7|23⋅3n7|23⋅3 and n7≡1(mod7)n7≡1(mod7) so there are 11 or 23=823=8 of these.
I proved a lemma that says if a Sylow subgroup is normal iff it's unique, that proves there cannot be only 11 2-Sylow subgroup.
edit: So I think I got another useful lemma from the comments and here:
Lemma Let GG be a simple group of order NN with p|Np|N, then either |G|≤np!|G|≤np!.proof: Let GG act by conjugation on its npnp pp-Sylow subgroups, because they are all conjugate this gives a surjective map G→SnpG→Snp, if npnp is not 1 and |G|>|Snp||G|>|Snp| the kernel of this map would be a normal subgroup 1≠N⊴G1≠N⊴G.
this leaves us with the possibilities:77 or 2121 2-Sylow subgroups.77 or 2828 3-Sylow subgroupsexactly 2828 77-Sylow-subgroups.
Relevant questions:Prove there is no element of order 6 in a simple group of order 168 - This question starts off with more knowledge about the Sylow subgroups than I am able to deduce.Sylow 7-subgroups in a group of order 168 - Shows that 7-Sylow subgroups are normal or have maximal normalizers (I don't understand this)Why PSL3(F2)≅PSL2(F7)PSL3(F2)≅PSL2(F7)? - Direct proofs of the special isomorphism.
finite-groupssimple-groups
Share
Cite
Follow
edited Apr 13 '17 at 12:21

CommunityBot
1
asked Mar 7 '13 at 12:51
user58512
1I vaguely recall having done this once. Looks like 77-Sylows might be a good starting point. There are eight of them (as you pointed out). These should probably be in bijective correspondence with the 8 lines the group PSL2(7)PSL2(7) is acting on. 
– Jyrki Lahtonen Mar 7 '13 at 13:04
3And yes, I recommend doing it for 60 first. Much easier IIRC :-) 
– Jyrki Lahtonen Mar 7 '13 at 13:05
1A hint for 60: If GG has a subgroup HH of index – Jyrki Lahtonen Mar 7 '13 at 13:11
1Similarly you can exclude the possibilities n3=4n3=4, n2=3n2=3 in the 168 case. The group conjugates the Sylows transitively, so if n3=4n3=4 we have a non-trivial homomorphism from GG to S4S4, which is a no-no. 
– Jyrki Lahtonen Mar 7 '13 at 13:16
3If you want to see this problem worked out, check Dummit and Foote's Abstract Algebra, 3rd Ed. pages 207-212. 
– Josh B. Mar 7 '13 at 14:20
Show 7 more comments
 1 Answer
ActiveOldestVotes
 
4
 
To get you started some rather basic (or even trivial, depends) observations, putting np=np= number of Sylow p−p−subgroups , G:=G:= simple group of order 168168:
 
168=23⋅3⋅7⟹n7=8,n3=7,28168=23⋅3⋅7⟹n7=8,n3=7,28
It can't be n3=4n3=4 as then GG has a subgroup of index 4, which is impossible since this would mean GG is isomorphic with a subgroup of S4S4 . For the same reason, it must be n2=7,21n2=7,21...
Perhaps reading here you'll have have the whole view. Don't worry about the number of pages as the first ones are basic results listed.
https://math.stackexchange.com/questions/323561/simple-groups-of-order-168