ادامه مجموعه ساده

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و چهارم آذر ۱۴۰۰ | 21:35

تعریف رسمی [ ویرایش ]

اجازه دهید Δ نشانگر دسته سیمپلکس باشد. اشیاء Δ، مجموعه‌های مرتب شده خطی غیرخالی فرم هستند

[ n ] = {0، 1، ...، n }

با n ≥0. مورفیسم ها در Δ توابع (غیر دقیق) حفظ نظم بین این مجموعه ها هستند.

یک مجموعه ساده X یک تابع متضاد است

X : Δ → مجموعه

که در آن مجموعه ای است دسته از مجموعه . (به طور متناوب و معادل، ممکن است مجموعه های ساده را به عنوان تابع های کوواریانت از دسته مخالف Δ op به مجموعه تعریف کنیم .) با توجه به یک مجموعه ساده X، ما اغلب به جای X ([ n ]) X n می نویسیم .

مجموعه‌های ساده یک دسته را تشکیل می‌دهند که معمولاً به آن sSet گفته می‌شود ، که اشیاء آن مجموعه‌های ساده هستند و مورفیسم‌های آن تبدیل‌های طبیعی بین آن‌ها هستند. این چیزی نیست جز دسته‌بندی پیش‌شورها در Δ. به این ترتیب، آن یک توپوس است .

اگر تابع های کوواریانت X را در نظر بگیریم : Δ → مجموعه به جای تابع های متضاد ، به تعریف یک مجموعه مشترک می رسیم . دسته مربوطه را از مجموعه coسادک است نشان داده می شود cSet .

نقشه های وجهو انحطاط و هویت های ساده [ ویرایش ]

دسته سیمپلکس Δ توسط دو خانواده به خصوص مهم مورفیسم ها (نقشه ها) تولید می شود که تصاویر آنها تحت یک تابع مجموعه ساده، نقشه های وجهو نقشه های انحطاط آن مجموعه ساده نامیده می شوند .

نقشه صورت یک مجموعه های سادک X تصاویر در مجموعه ای که های سادک از ریختها هستند $\delta ^{n,0},\dotsc ,\delta ^{n,n}\colon [n-1]\to [n]$ ، جایی که $\delta ^{n,i}$ تنها تزریق (حفظ نظم) است $[n-1]\به[n]$ که "دلتنگ" $من$ . اجازه دهید این نقشه های وجهرا با علامت گذاری کنیم $d_{n,0},\dotsc ,d_{n,n}$ به ترتیب، به طوری که $d_{n,i}$ یک نقشه است $X_{n}\to X_{n-1}$ . اگر شاخص اول مشخص باشد، می نویسیم $d_{i}$ بجای $d_{n,i}$ .

نقشه انحطاط از مجموعه های سادک X تصاویر در مجموعه ای که های سادک از ریختها هستند{\displaystyle \sigma ^{n,0},\dotsc ,\sigma ^{n,n}\colon [n+1]\to [n]} $\sigma ^{n,0},\dotsc ,\sigma ^{n,n}\colon [n+1]\to [n]$ ، جایی که $\sigma ^{n,i}$ تنها سرکشی (حفظ نظم) است $[n+1]\به[n]$ که "می زند" $من$ دو برابر. اجازه دهید این نقشه‌های انحطاط را با علامت گذاری کنیم $s_{n,0},\dotsc,s_{n,n}$ به ترتیب، به طوری که $s_{n,i}$ یک نقشه است $X_{n}\to X_{n+1}$ . اگر شاخص اول مشخص باشد، می نویسیم $s_{i}$ بجای $s_{n,i}$ .

نقشه های تعریف شده هویت های ساده زیر را برآورده می کنند :

$d_{i}d_{j}=d_{j-1}d_{i}$ اگر i < j . (این مختصر است $d_{n-1,i}d_{n,j}=d_{n-1,j-1}d_{n,i}$ اگر 0 ≤ i < j ≤ n .)
$d_{i}s_{j}=s_{j-1}d_{i}$ اگر i < j .
$d_{i}s_{j}={\text{id}}$ اگر i = j یا i = j + 1.
$d_{i}s_{j}=s_{j}d_{i-1}$ اگر i > j + 1.
$s_{i}s_{j}=s_{j+1}s_{i}$ اگر i ≤ j .

برعکس، با توجه به دنباله ای از مجموعه ها X n همراه با نقشه ها $d_{n,i}:X_{n}\to X_{n-1}$ و $s_{n,i}:X_{n}\to X_{n+1}$ که هویت های ساده را برآورده می کند، یک مجموعه ساده iحصر به فرد X وجود دارد که این نقشه های وجهو انحطاط را دارد. بنابراین هویت ها یک راه جایگزین برای تعریف مجموعه های ساده ارائه می دهند.

مثالها [ ویرایش ]

با توجه به مجموعه ای پاره مرتب ( S ، ≤)، ما می توانیم مجموعه ای های سادک تعریف NS ، به عصب از S برای هر شیء [:، به شرح زیر N ] از Δ ما مجموعه ای NS ([ N ]) = HOM PO-مجموعه ([ n ] , S )، نقشه های حفظ نظم از [ n ] تا S . هر مورفیسم φ:[ n ]→[ m ] در Δ یک نقشه حفظ نظم است و از طریق ترکیب یک نقشه NS (φ) را القا می کند : NS ([ m ]) → NS ([ n]). بررسی اینکه NS یک تابع متناقض از Δ به مجموعه است ساده است: یک مجموعه ساده.

به طور مشخص، n- ساده عصب NS ، یعنی عناصر NS n = NS ([ n ]) را می توان به عنوان دنباله های مرتب شده طول-( n +1) عناصر از S : ( a 0 ≤ a 1) در نظر گرفت. ≤ ... ≤ a n ). نقشه وجهد i قطره i عنصر توریم از چنین لیستی، و نقشه انحطاط بازدید کنندگان i تکراری i عنصر توریم.

ساخت مشابهی را می توان برای هر دسته C انجام داد تا عصب NC از C را بدست آورد . در اینجا، NC ([ n ]) مجموعه ای از همه تابع ها از [ n ] تا C است ، جایی که [ n ] را به عنوان یک دسته با اشیاء 0،1،...، n و هر زمان که یک مورفیسم iفرد از i تا j در نظر می گیریم. i ≤ j .

به طور مشخص، n- ساده های عصب NC را می توان به عنوان دنباله ای از n مورفیسم قابل ترکیب در C در نظر گرفت : a 0 → a 1 → ... → a n . (به طور خاص، 0-سادکها اشیاء هستند C و 1-سادکها ریختها هستند C .) وجهنقشه د 0 قطره morphism اول از لیست یک چنین نقشه وجهد N قطره آخرین، و نقشه وجهد i برای 0 < i < N قطره iو مورفیسم های i و ( i + 1) را می سازد. نقشه های انحطاط ها i طولانی توالی با قرار دادن morphism هویت در موقعیت i .

ما می توانیم poset S را از عصب NS و دسته C را از عصب NC بازیابی کنیم . در این معنا مجموعه های ساده، مقولات و مقوله ها را تعمیم می دهند.

کلاس مهم دیگری از مثال‌های مجموعه‌های ساده توسط مجموعه مفرد SY یک فضای توپولوژیکی Y ارائه می‌شود . در اینجا SY n شامل تمام نقشه های پیوسته از n- سادک توپولوژیکی استاندارد تا Y است . مجموعه مفرد در زیر بیشتر توضیح داده شده است.

استاندارد n- سادک و دسته ساده‌ها [ ویرایش ]

استاندارد N -سادک ، مشخص Δ N ، مجموعه ای های سادک تعریف شده به عنوان عمل کننده HOM است Δ (-، [ N ]) که در آن [ N ] علامت گذاری مجموعه ای iظم {0، 1، ...، N } از اولین ( n + 1) اعداد صحیح غیر iفی. (در بسیاری از متون، به جای آن به عنوان hom([ n ],-) نوشته شده است که در آن هومست در دسته مخالف Δ op . [2] )

توسط یونیدا لم از N -سادکها از یک مجموعه های سادک X ایستاده در 1-1 مکاتبه با تحولات طبیعی از Δ N به X، یعنی $X_{n}=X([n])\cong \operatorname {Nat} (\operatorname {hom} _{\Delta }(-,[n]),X)=\operatorname {hom} _{ \textbf {sSet}}(\Delta ^{n}،X)$ .

علاوه بر این، X باعث ایجاد یک دسته ساده‌ها می‌شود که با نشان داده می‌شوند $\Delta\downnarrow{X}$ ، که اشیاء نقشه (هستند یعنی تحولات طبیعی) Δ N → X و که ریختها تحولات طبیعی Δ هستند N → Δ متر بیش از X ناشی از نقشه ها [ N ] → [ متر ] در Δ. به این معنا که، $\Delta\downnarrow{X}$ یک دسته برشی از Δ بر X است . ریخت زیر نشان می دهد که مجموعه ای های سادک X است همحد از سادکها آن: [3]

$X \cong \varinjlim_{\Delta^n \to X} \Delta^n$

که در آن همحد بر دسته ساده های X گرفته می شود .

تحقق هندسی [ ویرایش ]

یک تابع وجود دارد |•|: sSet → CGHaus به نام تحقق هندسی که یک مجموعه ساده X را به تحقق متناظر آن در رده فضاهای توپولوژیکی هاسدورف به صورت فشرده تولید می کند . به طور مستقیم، تحقق X فضای توپولوژیک (در واقع است CW پیچیده ) به دست آمده اگر هر N- سیمپلکس از X است که توسط یک توپولوژیکی جایگزین N- سیمپلکس (برخی N- زیر مجموعه بعدی از ( N + 1) فضای اقلیدسی بعدی در زیر تعریف شده است) و این سادگی های توپولوژیکی به روش ساده سازی به هم چسبیده اندX با هم آویزان شوید. در این فرآیند جهت گیری ساده های X از بین می رود.

برای تعریف تابع تحقق، ابتدا آن را روی n ساده‌سازی استاندارد Δ n به صورت زیر تعریف می‌کنیم: تحقق هندسی |Δ n | n - سیمپلکس استاندارد توپولوژیکی در موقعیت کلی است که توسط

$|\Delta^n| = \{(x_0، \dots، x_n) \in \mathbb{R}^{n+1}: 0\leq x_i \leq 1، \مجموع x_i = 1 \}.$

سپس این تعریف به طور طبیعی به هر مجموعه ساده X با تنظیم گسترش می یابد

|X| = lim Δ n → X | Δ n |

جایی که همحد بر دسته n-سادک X گرفته می شود . تحقق هندسی در sSet تابعی است .

قابل توجه است که ما با استفاده از دسته CGHaus فضاهای هاسدورف فشرده تولید شده، به جای دسته بالا از فضاهای توپولوژیک، به عنوان گروه هدف تحقق هندسی: مانند sSet و بر خلاف بالا ، دسته بندی CGHaus است دکارتی بسته ؛ کالا طبقه متفاوت در دسته بندی های تعریف بالا و CGHaus ، و یکی در CGHaus مربوط به یک در sSet از طریق تحقق هندسی.

مجموعه مفرد برای یک فاصله [ ویرایش ]

مجموعه ای iحصر به فرد از فضای توپولوژیک Y مجموعه های سادک است SY تعریف شده توسط

( SY )([ n ]) = hom T op (|Δ n |, Y ) برای هر شی [ n ] ∈ Δ.

هر نقشه با حفظ نظم φ:[ n ]→[ m ] یک نقشه پیوسته را القا می کند |Δ n |→|Δ m | به روشی طبیعی که با ترکیب SY ( φ ) : SY ([ m ]) → SY ([ n ]) به دست می آید. این تعریف مشابه یک ایده استاندارد در همسانی iفرد " کاوشگر " یک فضای توپولوژیکی هدف با n -ساده های توپولوژیکی استاندارد است . علاوه بر این، عمل کننده iحصر به فرد S است الحاقی حق به عمل کننده تحقق هندسی در بالا شرح داده، یعنی:

Hom Top (| X |, Y ) ≅ hom sSet ( X , SY )

برای هر مجموعه ای های سادک X و هر فضای توپولوژیک Y . به طور شهودی، این الحاق را می توان به صورت زیر درک کرد: یک نقشه پیوسته از تحقق هندسی X به فضای Y به طور iحصر به فردی مشخص می شود اگر به هر سیمپلکس X یک نقشه پیوسته از سیمپلکس توپولوژیکی استاندارد مربوطه را به Y مرتبط کنیم، به این شکل. که این نقشه‌ها با نحوه اتصال ساده‌های X به هم سازگار هستند .

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی