مجتمع ساده انتزاعی

توسط علی رضا نقش نیلچی | چهارشنبه بیست و چهارم آذر ۱۴۰۰ | 21:30

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

یک نمایش هندسی از یک مجتمع ساده انتزاعی که یک مختلط ساده معتبر نیست .

در ترکیب شناسی ، یک کمپلکس ساده انتزاعی (ASC) خانواده ای از مجموعه ها است که تحت گرفتن زیرمجموعه ها بسته می شوند ، یعنی هر زیر مجموعه ای از یک مجموعه در خانواده نیز در خانواده است. این یک توصیف کاملاً ترکیبی از مفهوم هندسی یک مجتمع ساده است . [1] به عنوان مثال، در یک مجتمع ساده دو بعدی، مجموعه‌های خانواده مثلث‌ها (مجموعه‌های اندازه 3)، لبه‌های آنها (مجموعه‌های اندازه 2)، و رئوس آنها (مجموعه‌های اندازه 1) هستند.

در زمینه matroids و greedoids ، مجتمع های simplicial انتزاعی نیز نامیده می شود سیستم های استقلال . [2]

یک سیمپلکس انتزاعی را می توان با تشکیل حلقه استانلی-ریزنر آن به صورت جبری مطالعه کرد . این یک رابطه قوی بین ترکیبیات و جبر جابجایی ایجاد می کند .

فهرست

تعاریف [ ویرایش ]

مجموعه Δ از زیرمجموعه های متناهی غیر خالی مجموعه S را مجموعه خانواده می نامند.

اگر برای هر مجموعه X در Δ ، و هر زیرمجموعه غیر خالی Y ⊆ X ، مجموعه Y نیز متعلق به Δ باشد ، یک مجموعه خانواده Δ را یک مجتمع ساده انتزاعی می نامند .

مجموعه‌های متناهی که به Δ تعلق دارند وجه‌های مختلط نامیده می‌شوند ، و یک وجه Y به صورت X متعلق به دیگری است اگر Y ⊆ X باشد ، بنابراین تعریف یک مختلط ساده انتزاعی را می‌توان به این صورت بیان کرد که هر صورت یک صورت یک Δ مختلط خودش یک وجه Δ است . مجموعه راس از Δ است تعریف می شود V (Δ) = ∪Δ ، اتحادیه تمام چهره از Δ . عناصر مجموعه راس را رئوس مختلط می نامند . برای هر رأس v از Δمجموعه { v } وجهی از مختلط است و هر وجهی از مختلط یک زیرمجموعه متناهی از مجموعه راس است.

حداکثر وجوه Δ (یعنی وجوهی که زیرمجموعه هیچ وجه دیگری نیستند) وجوه مختلط نامیده می شوند . بعد از یک چهره X در Δ است تعریف می شود کم ( X ) = | X | - 1 : چهره متشکل از یک عنصر صفر بعدی هستند، مواجه متشکل از دو عنصر یک بعدی، و غیره بعد از این مجموعه کم (Δ) به عنوان بزرگترین بعد از هر یک از چهره خود، و یا بی نهایت اگر تعریف هیچ محدودیت محدودی در ابعاد چهره ها وجود ندارد.

این مجموعه Δ است گفته می شود محدود اگر آن را تا بسیاری از finitely چهره، یا به طور معادل اگر مجموعه رئوس آن محدود است. همچنین، Δ است گفته می شود خالص آن است که اگر محدود بعدی (اما نه لزوما محدود) و هر جنبه است همان ابعاد. به عبارت دیگر، Δ خالص است اگر dim(Δ) متناهی باشد و هر صورت در یک وجه بعد dim(Δ) باشد.

مجتمع‌های ساده انتزاعی یک بعدی از نظر ریاضی معادل گراف‌های ساده بدون جهت هستند : مجموعه راس پیچیده را می‌توان به عنوان مجموعه راس یک نمودار مشاهده کرد و وجوه دو عنصری پیچیده مربوط به یال‌های بدون جهت یک گراف است. در این دیدگاه، وجوه تک عنصری یک کمپلکس با رئوس جدا شده ای مطابقت دارد که هیچ لبه برخوردی ندارند.

subcomplex از Δ چکیده های simplicial پیچیده است L به طوری که هر چهره L متعلق به Δ ؛ یعنی L ⊆ Δ و L یک مجتمع ساده انتزاعی است. subcomplex است که شامل همه از زیر مجموعه های یک چهره از Δ است که اغلب به نام سیمپلکس از Δ . (با این حال، برخی از نویسندگان اصطلاح "ساده" را برای یک صورت یا، به طور مبهم، هم برای یک صورت و هم برای زیرمجموعه مرتبط با یک صورت، به قیاس با مجتمع ساده غیرانتزاعی (هندسی) استفاده می کنند.واژه شناسی. برای جلوگیری از ابهام، ما در این مقاله از اصطلاح "سیپلکس" برای چهره در زمینه عقده های انتزاعی استفاده نمی کنیم).

د -skeleton از Δ subcomplex است Δ متشکل از تمام از چهره Δ که بعد در اکثر د . به طور خاص، 1-اسکلت نامیده می شود گراف زمینه از Δ . اسکلت 0 از Δ را می توان با مجموعه رئوس آن شناسایی کرد، اگرچه از نظر رسمی کاملاً یکسان نیست (مجموعه راس مجموعه ای منفرد از همه رئوس است، در حالی که اسکلت 0 خانواده ای از مجموعه های تک عنصری است. ).

لینک از چهره Y در Δ ، اغلب نشان داده Δ / Y یا LK Δ ( Y ) ، به subcomplex است Δ تعریف شده توسط

$\Delta /Y:=\{X\in \Delta \mid X\cap Y=\varnothing ,\,X\cup Y\in \Delta \}.$

توجه داشته باشید که پیوند مجموعه خالی خود Δ است.

با توجه به دو مجتمع های simplicial انتزاعی، Δ و Γ ، یک نقشه های simplicial است تابع f را که نقشه های راس از Δ به رئوس Γ و دارای خاصیت است که برای هر چهره X از Δ ، به تصویر F ( X ) یک چهره است از Γ . یک دسته SCpx با کمپلکس های ساده انتزاعی به عنوان اشیا و نقشه های ساده به عنوان مورفیسم وجود دارد . این معادل یک دسته بندی مناسب است که با استفاده از مجتمع های ساده غیرانتزاعی تعریف شده است .

علاوه بر این، دیدگاه مقوله‌ای به ما اجازه می‌دهد تا رابطه بین مجموعه زیرین S یک مختلط ساده انتزاعی Δ و مجموعه راس V (Δ) ⊆ S از Δ را محکم‌تر کنیم : برای اهداف تعریف یک دسته از مجتمع‌های ساده انتزاعی، عناصر S که در V (Δ) قرار ندارند بی ربط هستند. به طور دقیق تر، SCpx معادل دسته ای است که در آن:

یک شی مجموعه ای است S مجهز به مجموعه ای از زیرمجموعه های متناهی غیر خالی Δ است که شامل همه تک تون ها است و به گونه ای که اگر X در Δ و Y ⊆ X غیر خالی باشد، Y نیز متعلق به Δ است .
یک مورفیسم از ( S , Δ) به ( T , Γ) تابع f است : S → T به طوری که تصویر هر عنصر Δ عنصری از Γ باشد .

تحقق هندسی [ ویرایش ]

می‌توانیم فضای توپولوژیکی را به یک K مختلط ساده انتزاعی مرتبط کنیم $|K|$ به نام تحقق هندسی آن که حامل یک مجتمع ساده است . ساخت و ساز به شرح زیر است.

ابتدا تعریف کنید $|K|$ به عنوان زیر مجموعه ای از $[0,1]^{S}$ متشکل از توابع $t\colon S\to [0,1]$ ارضای دو شرط:

$\{s\in S:t_{s}>0\}\in K$

$\sum _{{s\in S}}t_{s}=1$

حال به مجموعه عناصر فکر کنید $[0,1]^{S}$ با پشتیبانی محدود به عنوان حد مستقیم از $[0,1]^{A}$ که در آن A در زیر مجموعه های محدود S قرار دارد و آن حد مستقیم توپولوژی القایی را می دهد . حالا بده $|K|$ توپولوژی فضا .

متناوبا، اجازه دهید ${\mathcal {K}}$ مقوله‌ای را مشخص کنید که اشیاء آن وجه‌های K و شکل‌های آن شمول‌ها هستند. بعد یک را انتخاب کل سفارش در مجموعه رئوس K و تعریف یک عمل کننده F از ${\mathcal {K}}$ به رده فضاهای توپولوژیکی به شرح زیر است. برای هر چهره X در K از ابعاد N ، اجازه دهید F ( X ) = Δ N به استاندارد N -simplex. سفارش در مجموعه راس سپس منحصر به فرد را مشخص می پوشا و یکبهیک بین عناصر X و رئوس Δ N ، دستور داد به روش معمول الکترونیکی 0 < الکترونیکی 1 <... < الکترونیکی N . اگر Y ⊆ X وجهی از بعد m < n باشد، سپس این تقسیم یک وجه m بعدی منحصر به فرد Δ n را مشخص می کند . تعریف F ( Y ) → F ( X ) می شود منحصر به فرد و affine خطی تعبیه از Δ متر که چهره برجسته Δ N ، به طوری که نقشه در راس سفارش، حفظ است.

سپس می توانیم تحقق هندسی را تعریف کنیم $|K|$ به عنوان colimit از عمل کننده F . به طور خاص $|K|$ است فضای خارج قسمت از مجزای

$\coprod _{{X\in K}}{F(X)}$

توسط رابطه هم ارزی که برای شناسایی یک نقطه Y ∈ F ( Y ) با تصویر خود را در زیر نقشه F ( Y ) → F ( X ) ، برای هر گنجاندن Y ⊆ X .

حروف محدود [ ویرایش ]

اگر K متناهی باشد، می توانیم توصیف کنیم $|K|$ ساده تر جاسازی مجموعه راس K را به عنوان زیرمجموعه مستقل وابسته به فضای اقلیدسی انتخاب کنید. {\displaystyle \mathbb {R} ^{N}} $\mathbb{R} ^{N}$ از ابعاد به اندازه کافی بالا N . سپس هر چهره X در K را می توان با سیمپلکس هندسی در شناسایی کرد{\displaystyle \mathbb {R} ^{N}} $\mathbb{R} ^{N}$ که توسط رئوس تعبیه شده مربوطه پوشانده شده است. بگیرید $|K|$ تا اتحاد همه این سادگی ها باشد.

اگر K n -ساده ترکیبی استاندارد باشد ، پس $|K|$ را می توان به طور طبیعی با Δ n شناسایی کرد .

مثالها [ ویرایش ]

1. فرض کنید V یک مجموعه متناهی از کاردینالیته n + 1 باشد. ترکیبی N -simplex با راس مجموعه V صعودی که چهره تمام زیر مجموعه های می باشد V (یعنی آن است مجموعه توانی از V ). اگر V = S = {0، 1، ...، n }، آنگاه این ASC n- simplex ترکیبی استاندارد نامیده می شود .

2. فرض کنید G یک گراف بدون جهت باشد. پیچیده دسته از G صعودی که چهره همه است دار و دسته (زیرگرافهای کامل) از G . پیچیده استقلال G صعودی که چهره همه می باشد مجموعه مستقل از G (آن باند پیچیده ای از است نمودار مکمل از G). مجتمع های دسته نمونه اولیه مجتمع های پرچم هستند . پیچیده پرچم پیچیده است K با ملکی که هر مجموعه ای از عناصر که دو به دو متعلق به چهره K به خودی خود یک چهره است K .

3. فرض کنید H یک هایپرگراف باشد. تطبیق در H مجموعه ای از لبه های است H ، که در آن هر دو لبه هستند متلاشی شدن . پیچیده تطبیق H صعودی که چهره همه است تطابق در H . این است پیچیده استقلال از نمودار خط از H .

4. فرض کنید P یک مجموعه جزئی مرتب شده (poset) باشد. پیچیده سفارش از P صعودی که چهره همه محدود است زنجیره ای در P . گروه های همسانی آن و سایر متغیرهای توپولوژیکی حاوی اطلاعات مهمی در مورد P .

5. فرض کنید M یک فضای متریک و δ یک عدد واقعی باشد. Vietoris-ریپ پیچیده صعودی که چهره زیر مجموعه های محدود می باشد M با قطر حداکثر δ . این برنامه در تئوری همسانی , گروه های هذلولی , پردازش تصویر و شبکه های تکی موبایل کاربرد دارد . نمونه دیگری از مجتمع پرچم است.

6. اجازه دهید $من$ یک تک جمله ایده آل بدون مربع در یک حلقه چند جمله ای باشد $S=K[x_{1}،\dots،x_{n}$ (یعنی ایده آلی که توسط محصولات زیر مجموعه متغیرها ایجاد می شود). سپس بردارهای توان آن تک‌جملات آزاد مربع از $اس$ که داخل نیستند $من$ یک مجموعه ساده انتزاعی را از طریق نقشه تعیین کنید $\mathbf {a} \in \{0,1\}^{n}\mapsto \{i\in [n]:a_{i}=1\}$ . در واقع، بین کمپلکس‌های ساده انتزاعی (غیر خالی) روی n راس و ایده‌آل‌های تک‌جمعی بدون مربع در S وجود دارد . اگر $I_{\Delta }$ ایده آل بدون مربع مربوط به مجتمع ساده است $\ دلتا$ سپس ضریب $S/I_{\Delta }$ به عنوان شناخته شده حلقه استنلی Reisner از ${\Delta }$ .

7. برای هر گونه پوشش باز C از یک فضای توپولوژیک، به پیچیده عصبی از C های simplicial پیچیده انتزاعی حاوی زیر خانواده است C با یک غیر خالی تقاطع .

شمارش [ ویرایش ]

تعداد کمپلکس‌های ساده انتزاعی روی حداکثر n عنصر برچسب‌گذاری شده (که در مجموعه S با اندازه n وجود دارد ) یک کمتر از n امین عدد ددکیند است . این اعداد بسیار سریع رشد می کنند و فقط برای n ≤ 8 شناخته می شوند . اعداد Dedekind عبارتند از (شروع با n = 0):

1، 2، 5، 19، 167، 7580، 7828353، 2414682040997، 56130437228687557907787 (توالی A014466 در OEIS ). این مربوط به تعداد آنتی زنجیره های غیر خالی از زیر مجموعه های یک n است .

تعداد مجتمع های simplicial انتزاعی است که راس دقیقا N عناصر برچسب توسط دنباله "1، 2، 9، 114، 6894، 7785062، 2414627396434، 56130437209370320359966" (دنباله داده شده A006126 در OEIS )، با شروع در N = 1. این مربوط به تعداد پوشش های ضد زنجیر یک مجموعه n برچسب شده است . است پوشا و یکبهیک روشن بین را پوشش می دهد antichain از وجود دارد N -set و مجتمع های simplicial در N توصیف از نظر چهره حداکثر خود عناصر.

تعداد کمپلکس‌های ساده انتزاعی دقیقاً روی n عنصر بدون برچسب با دنباله «1، 2، 5، 20، 180، 16143» (توالی A006602 در OEIS )، که از n = 1 شروع می‌شود، داده می‌شود .

ارتباط با مفاهیم دیگر [ ویرایش ]

یک کمپلکس ساده انتزاعی با یک ویژگی اضافی به نام ویژگی افزایش یا ویژگی مبادله یک ماتروئید را به دست می دهد . عبارت زیر روابط بین اصطلاحات را نشان می دهد:

هایپرگراف = مجموعه-خانواده ها ⊃ سیستم های مستقل = مجتمع های انتزاعی-ساده ⊃ ماتروئیدها.

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Abstract_simplicial_complex

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی