ریاضیات

چندوجهی یکنواخت و دوتایی آنها [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: چند وجهی یکنواخت

چند وجهی یکنواخت رئوس گذرا هستند و هر صورت یک چندضلعی منظم است . آنها ممکن است به منظم ، شبه منظم ، یا نیمه منظم تقسیم شوند و ممکن است محدب یا ستاره ای باشند.

دوتایی های چندوجهی یکنواخت دارای وجوه نامنظم هستند اما به صورت متعدی هستند و هر شکل رأسی یک چندضلعی منتظم است. یک چندوجهی یکنواخت دارای مدارهای تقارنی مشابه مدارهای دوگانه اش است، و صورت ها و رئوس آن به سادگی روی هم عوض شده اند. دوتایی چندوجهی محدب ارشمیدسی را گاهی اوقات جامدات کاتالان می نامند .

چند وجهی یکنواخت و دوتایی آنها به طور سنتی بر اساس میزان تقارن آنها و محدب بودن یا نبودن آنها طبقه بندی می شوند .

ایزوهدرا [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: ایزوهدرون

isohedron یک جسم چند وجهی با تقارن اقدام transitively در چهره آن است. توپولوژی آنها را می توان با یک پیکربندی چهره نشان داد . همه 5 جامد افلاطونی و 13 جامد کاتالان ایزوهدر هستند، و همچنین خانواده های بی نهایت ذوزنقه و دو هرم هستند . برخی از ایزوهدرها تغییرات هندسی از جمله اشکال مقعر و خود متقاطع را امکان پذیر می کنند.

گروه های تقارن [ ویرایش ]

تقارن کامل ایکوسادرال کره را به 120 حوزه مثلثی تقسیم می کند.

بسیاری از تقارن‌ها یا گروه‌های نقطه‌ای در سه بعد به نام چندوجهی که دارای تقارن مرتبط هستند نامگذاری شده‌اند. این شامل:

• T - تقارن چهار وجهی کایرال . گروه چرخش برای یک چهار وجهی منظم . سفارش 12.
• T d – تقارن چهار وجهی کامل . گروه تقارن برای یک چهار وجهی منظم . سفارش 24.
• T h - تقارن پیریتهدرال ; تقارن یک پیروتهدرون ؛ سفارش 24.
• O – تقارن هشت وجهی کایرال ؛ گروه چرخشی مکعب و هشت وجهی . سفارش 24.
• O h – تقارن کامل هشت وجهی ؛ گروه تقارن مکعب و هشت وجهی . سفارش 48.
• I – تقارن ایکوسادرال کایرال ; گروه چرخش ایکوس وجهی و دوازده وجهی . سفارش 60.
• I h – تقارن کامل ایکوسادرال ; گروه تقارن ایکوس وجهی و دوازده وجهی . سفارش 120
• C nv – تقارن هرمی n برابر
• تقارن منشوری D nh – n برابر
• تقارن ضد منشوری D nv – n برابر .

آنهایی که دارای تقارن کایرال هستند، تقارن بازتابی ندارند و از این رو دارای دو شکل انانتیومورف هستند که بازتابی از یکدیگر هستند. به عنوان مثال می توان به cuboctahedron snub و icosidodecahedron snub اشاره کرد .

سایر خانواده های مهم چند وجهی [ ویرایش ]

چند وجهی با صورتهای منظم [ ویرایش ]

علاوه بر چندوجهی منظم و یکنواخت، کلاس‌های دیگری نیز وجود دارند که دارای صورت‌های منظم هستند اما تقارن کلی کمتری دارند.

چهره های منظم برابر [ ویرایش ]

چند وجهی محدب که در آن هر صورت یک نوع چند ضلعی منظم است را می توان در بین سه خانواده یافت:

• مثلث: این polyhedra به نام deltahedra . هشت دلتاهدر محدب وجود دارد: سه مورد از جامدات افلاطونی و پنج نمونه غیر یکنواخت.
• مربع ها: مکعب تنها مثال محدب است. نمونه‌های دیگر ( پلی مکعب‌ها ) را می‌توان با اتصال مکعب‌ها به یکدیگر به‌دست آورد، اگرچه اگر قرار است از صورت‌های همسطح اجتناب شود ، باید مراقب بود.
• پنج ضلعی: دوازده وجهی منظم تنها مثال محدب است.

چندوجهی با وجوه منظم متجانس از شش ضلع یا بیشتر، همگی غیر محدب هستند.

بنابراین تعداد کل چند وجهی محدب با وجوه منظم برابر ده است: پنج جامد افلاطونی و پنج دلتاهدر غیر یکنواخت. [27] بی نهایت مثال های غیر محدب وجود دارد. نمونه‌های اسفنج‌مانند نامتناهی به نام چندوجهی چوله بی‌نهایت در برخی از این خانواده‌ها وجود دارد.

جامد جانسون [ ویرایش ]

مقاله اصلی: جانسون جامد

نورمن جانسون به دنبال این بود که کدام چندوجهی غیریکنواخت محدب دارای صورت های منظم باشد، البته نه لزوماً همه یکسان. در سال 1966، او فهرستی از 92 جامد را منتشر کرد، نام و اعداد را به آنها داد و حدس زد که دیگر وجود ندارد. ویکتور زالگالر در سال 1969 ثابت کرد که لیست این جامدات جانسون کامل است.