مثلث سازی (توپولوژی)

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

منابع برای دیگر کاربردهای مثلث‌سازی در ریاضیات، مثلث‌سازی (ابهام‌زدایی) را ببینید .

چنبره مثلثی

مثلثی دیگر از چنبره

یک دلفین مثلثی شکل

در ریاضیات ، توپولوژی مفهوم مثلث را به صورت طبیعی به صورت زیر تعمیم می دهد :

مثلث از یک فضای توپولوژیک X است پیچیده های ساده K ، همانریختی به X ، همراه با همسانریختی ساعت :  K → X .

مثلث بندی در تعیین ویژگی های یک فضای توپولوژیکی مفید است. به عنوان مثال، می توان محاسبه همسانی و های کوهمولوژی گروه از یک فضای مثلثی با استفاده از های ساده برابری و کوهمولوژی نظریه به جای همسانی پیچیده تر و نظریه های کوهمولوژی.

فهرست

• 1سازه های خطی تکه ای
• 2روشهای صریح مثلث بندی
• 3نمودارها روی سطوح
• 4منابع
• 5خواندن بیشتر

ساختارهای خطی تکه تکه [ ویرایش ]

مقاله اصلی: منیفولد خطی تکه ای

برای منیفولدهای توپولوژیکی ، مفهوم کمی قوی‌تر از مثلث‌سازی وجود دارد: مثلث‌سازی تکه‌ای خطی (گاهی اوقات فقط مثلث‌سازی نامیده می‌شود) مثلثی است با ویژگی اضافی تعریف شده برای ابعاد 0، 1، 2، . . . به صورت استقرایی - که پیوند هر سیمپلکس یک کره تکه‌ای خطی است. لینک از یک سیمپلکس بازدید کنندگان در یک های ساده پیچیده K زیرکمپلکساست K متشکل از سادکها تی که مجزا از بازدید کنندگان و به طوری که هر دو بازدید کنندگان و تی صورت برخی سیمپلکس بالاتر بعدی در می K. برای مثال، در یک منیفولد تکه‌ای خطی دوبعدی که توسط مجموعه‌ای از رئوس، یال‌ها و مثلث‌ها تشکیل شده است ، پیوند یک راس s متشکل از چرخه رئوس و یال‌های اطراف s است : اگر t یک راس در این چرخه باشد، t و s هر دو نقطه انتهایی یک یال K هستند ، و اگر t یک یال در این چرخه باشد، آن و s هر دو وجهی مثلث K هستند . این چرخه همومورفیک دایره ای است که یک کره یک بعدی است. اما در این مقاله کلمه "مثلثی" فقط به معنای همومورفیک به یک کمپلکس ساده استفاده شده است.

برای منیفولدهایی با ابعاد حداکثر 4، هر مثلث یک منیفولد یک مثلث خطی تکه تکه است: در هر همومورف پیچیده ساده به منیفولد، پیوند هر سیمپلکس فقط می تواند به یک کره همومورف باشد. اما در بعد N  ≥ 5 ( N  - 3) برابر تعلیق از حوزه پوانکاره یک منیفولد توپولوژیک (همانریختی به است N -sphere) با یک مثلث است که تکهای خطی نیست: آن را به یک سیمپلکس که پیوند است پوانکاره کره ، یک منیفولد سه بعدی که همومورفیک کره نیست. این قضیه تعلیق دوگانه است که به خاطر جیمز دبلیو کانن و آر.دی.ادواردز در دهه 1970 است. [1][2] [3] [4] [5]

این سوال که کدام منیفولدها دارای مثلث های خطی تکه ای هستند منجر به تحقیقات زیادی در زمینه توپولوژی شده است. منیفولدهای قابل تمایز (Stewart Cairns، JHC Whitehead ، LEJ Brouwer ، Hans Freudenthal ، James Munkres )، [6] [7] و مجموعه‌های زیر تحلیلی ( Heisuke Hironaka و Robert Hardt) یک مثلث‌سازی تکه‌ای خطی را می‌پذیرند، از نظر فنی با عبور از دسته PDIFF . منیفولدهای توپولوژیکی ابعاد 2 و 3 همیشه با یک مثلث منحصر به فرد (تا معادل خطی تکه ای) قابل مثلث هستند. این برای اثبات شدسطوح توسط Tibor Radó در دهه 1920 و برای سه منیفولد توسط Edwin E. Moise و RH Bing در دهه 1950، با ساده‌سازی‌های بعدی توسط پیتر شالن . [8] [9] همانطور که به طور مستقل توسط جیمز مونکرز ، استیو اسمیل و جی اچ سی وایتهد نشان داده شده است ، [10] [11] هر یک از این منیفولدها ساختار صاف ، منحصر به فرد تا دیفئومورفیسم را می پذیرند . [9] [12] اما در بعد 4، منیفولد E8مثلث بندی را نمی پذیرد و برخی از 4 منیفولدهای فشرده دارای تعداد بی نهایت مثلث هستند که همگی نامتعادل تکه ای خطی هستند. در ابعاد بزرگتر از 4، راب کربی و لری زیبنمن منیفولدهایی ساختند که دارای مثلث های خطی تکه ای نیستند (به Hauptvermutung مراجعه کنید ). علاوه بر این، سیپریان مانولسکو ثابت کرد که منیفولدهای فشرده با بعد 5 (و در نتیجه هر بعد بزرگتر از 5) وجود دارد که با یک کمپلکس ساده همومورف نیستند، یعنی مثلث بندی را نمی پذیرند. [13]

روشهای صریح مثلث بندی [ ویرایش ]

یک مورد خاص مهم از مثلث بندی توپولوژیکی، سطوح دو بعدی یا منیفولدهای 2 بسته است . یک مدرک استاندارد وجود دارد که سطوح فشرده صاف را می توان مثلثی کرد. [14] در واقع، اگر به سطح یک متریک ریمانی داده شود ، هر نقطه x در داخل یک مثلث ژئودزیکی محدب کوچک قرار می گیرد که درون یک توپ معمولی با مرکز x قرار دارد . فضای داخلی بسیاری از مثلث ها سطح را می پوشاند. از آنجایی که لبه‌های مثلث‌های مختلف یا بر هم منطبق هستند یا به صورت عرضی متقاطع می‌شوند، این مجموعه محدود از مثلث‌ها را می‌توان به طور مکرر برای ساختن یک مثلث استفاده کرد.

روش ساده دیگری برای مثلث بندی منیفولدهای متمایز توسط هاسلر ویتنی در سال 1957، [15] بر اساس قضیه تعبیه او ارائه شد . در واقع، اگر X بسته است N - زیر منیفیلد از R متر ، تقسیم بندی مکعب شبکه در R متر به سادکها به یک مثلث R متر . با در نظر گرفتن مش از به اندازه کافی کوچک شبکه و کمی در حال حرکت finitely بسیاری از رئوس، مثلث در می شود به طور کلی موقعیت با توجه به X : در نتیجه هیچ سادکها از ابعاد <  بازدید کنندگان  = متر  -  N تقاطع X و هر بازدید کنندگان -سادک متقاطع  X

• این کار را دقیقاً در یک نقطه داخلی انجام می دهد.
• یک زاویه کاملاً مثبت با صفحه مماس ایجاد می کند.
• دروغ کاملا در داخل برخی از محله لوله از X .

این نقاط تقاطع و barycentres خود (مربوط به سادکها بالاتر بعدی متقاطع X ) تولید N بعدی های ساده زیرکمپلکسدر R متر ، دروغ گفتن به طور کامل در داخل محله لوله. مثلث با طرح ریزی این کمپلکس ساده بر روی X به دست می آید .

نمودارها روی سطوح [ ویرایش ]

مثلث ویتنی یا مثلث تمیز از یک سطح یک IS تعبیه یک نمودار بر روی سطح در چنین راه که چهره تعبیه دقیقا دسته از نمودار. [16] [17] [18] به طور معادل، هر صورت یک مثلث است، هر مثلث یک صورت است، و نمودار خود یک دسته نیست. سپس کمپلکس دسته گراف به سطح همومورف می شود. 1- اسکلت از مثلث بندیویتنی دقیقا نمودار به صورت محلی حلقوی غیر از K 4 .

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Triangulation_(topology)