6- معادلات ماکسول

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه هجدهم آذر ۱۴۰۰ | 21:55

فرمول های نسبیتی [ ویرایش ]

برای معادلات در نسبیت خاص ، به الکترومغناطیس کلاسیک و نسبیت خاص و فرمول کوواریانت الکترومغناطیس کلاسیک مراجعه کنید .

برای معادلات نسبیت عام ، معادلات ماکسول را در فضازمان منحنی ببینید .

معادلات ماکسول همچنین می‌تواند در فضای مینکوفسکی مانند فضازمان فرموله شود که در آن فضا و زمان به طور مساوی در نظر گرفته می‌شوند. فرمول‌های مستقیم فضازمان نشان می‌دهند که معادلات ماکسول از نظر نسبیتی ثابت هستند . به دلیل این تقارن، میدان های الکتریکی و مغناطیسی به طور مساوی رفتار می شوند و به عنوان اجزای تانسور فارادی شناخته می شوند . این چهار معادله ماکسول را به دو کاهش می دهد، که معادلات را ساده می کند، اگرچه دیگر نمی توانیم از فرمول برداری آشنا استفاده کنیم. در واقع معادلات ماکسول در فرمول فضا + زمان، گالیله ثابت نیستندو عدم تغییر لورنتس را به عنوان یک تقارن پنهان دارند. این منبع اصلی الهام برای توسعه نظریه نسبیت بود. در واقع، حتی فرمولی که مکان و زمان را به طور جداگانه بررسی می کند، یک تقریب غیر نسبیتی نیست و فیزیک یکسان را با تغییر نام متغیرها به سادگی توصیف می کند. به همین دلیل معمولاً معادلات ثابت نسبیتی را معادلات ماکسول نیز می نامند.

هر جدول یک فرمالیسم را توصیف می کند.

حساب تانسور
فرمولاسیون	معادلات همگن	معادلات ناهمگن
زمینه های فضای مینکوفسکی	$\جزئی _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}=0$	$\جزئی _{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu _{0}J^{\beta }$
پتانسیل ها (هر سنج) فضای مینکوفسکی	$F_{\alpha \beta }=2\partial _{[\alpha }A_{\beta ]}$	$2\partial _{\alpha }\partial ^{[\alpha }A^{\beta ]}=\mu _{0}J^{\beta }$
پتانسیل ها (گیج لورنز) فضای مینکوفسکی	${\begin{aligned}F_{\alpha \beta }&=2\partial _{[\alpha }A_{\beta ]}\\\partial _{\alpha }A^{\alpha }&= 0\end{تراز شده}}$	$\جزئی _{\alpha }\partial ^{\alpha }A^{\beta }=\mu _{0}J^{\beta }$
زمینه های هر فضازمانی	${\begin{aligned}\partial _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}&=\\\nabla _{[\alpha }F_{\beta \gamma ]}&=0\end{aligned} }$	${\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {-g}}}\partial _{\alpha }({\sqrt {-g}}F^{\alpha \beta })& =\\\nabla _{\alpha }F^{\alpha \beta }&=\mu _{0}J^{\beta }\end{تراز شده}}$
پتانسیل ها (هر سنج) هر فضازمان (با محدودیت های توپولوژیکی)	${\begin{aligned}F_{\alpha \beta }&=2\partial _{[\alpha }A_{\beta ]}\\&=2\nabla _{[\alpha }A_{\beta ]}\end{تراز شده}}$	${\begin{aligned}{\frac {2}{\sqrt {-g}}}\partial _{\alpha }({\sqrt {-g}}g^{\alpha \mu }g^ {\beta \nu }\جزئی _{[\mu }A_{\nu ]})&=\\2\nabla _{\alpha }(\nabla ^{[\alpha }A^{\beta ]}) &=\mu _{0}J^{\beta }\end{تراز شده}}$
پتانسیل ها (گیج لورنز) هر فضازمان (با محدودیت های توپولوژیکی)	${\begin{aligned}F_{\alpha \beta }&=2\partial _{[\alpha }A_{\beta ]}\\&=2\nabla _{[\alpha }A_{\beta ]}\\\nabla _{\alpha }A^{\alpha }&=0\end{تراز شده}}$	$\nabla _{\alpha }\nabla ^{\alpha }A^{\beta }-R^{\beta }{}_{\alpha }A^{\alpha }=\mu _{0} J^{\بتا }$

فرم های دیفرانسیل
فرمولاسیون	معادلات همگن	معادلات ناهمگن
زمینه های هر فضازمانی	$\mathrm {d} F=0$	$\mathrm {d} {\star }F=\mu _{0}J$
پتانسیل ها (هر سنج) هر فضازمان (با محدودیت های توپولوژیکی)	$F=\mathrm {d} A$	$\mathrm {d} {\star }\mathrm {d} A=\mu _{0}J$
پتانسیل ها (گیج لورنز) هر فضازمان (با محدودیت های توپولوژیکی)	${\begin{aligned}F&=\mathrm {d} A\\\mathrm {d} {\star }A&=0\end{aligned}}$	${\star }\Box A=\mu _{0}J$

در فرمول حساب تانسور، تانسور الکترومغناطیسی F αβ یک تانسور درجه دوم کوواریانس ضد متقارن است. چهار بالقوه ، α ، یک بردار هموردا است. جریان، J α ، یک بردار است. براکت های مربع، [ ] نشان دهنده ضد تقارن شاخص ها هستند . ∂ α مشتق با توجه به مختصات، x α است . در فضای Minkowski مختصات با توجه به یک قاب اینرسی انتخاب می شوند . ( x α ) = ( ct ، x ، y ،z ) ، به طوری که تانسور متریک مورد استفاده برای افزایش و کاهش شاخص ها η αβ = diag(1,-1,-1,-1) است . عملگر d'Alembert در فضای Minkowskiمانند فرمول برداری ◻ = ∂ α ∂ α است . در فضا-زمان های کلی، سیستم مختصات x α دلخواه است، مشتق کوواریانت ∇ α ، تانسور ریچی، R αβ و افزایش و کاهش شاخص ها توسط متریک لورنزی ، g αβ و عملگر d'Alembert به صورت ◻ = تعریف می شود. ∇ α ∇ α. محدودیت توپولوژیکی این است که دومین گروه همومولوژی واقعی فضا ناپدید می شود (برای توضیح به فرمول فرم دیفرانسیل مراجعه کنید). این برای فضای Minkowski با حذف یک خط نقض می‌شود، که می‌تواند یک فضازمان (مسطح) با یک تک قطبی نقطه‌مانند روی مکمل خط مدل‌سازی کند.
در فرمول دیفرانسیل در زمان های فضای دلخواه، F =1/2F αβ d x α ∧ d x β تانسور الکترومغناطیسی است که به صورت 2 شکل در نظر گرفته می شود، A = A α d x α پتانسیل 1 شکل است، $J=-J_{\alpha }{\star }\mathrm {d} x^{\alpha }$ در حال حاضر 3-فرم است، د است مشتق بیرونی ، و ${\star }$ است ستاره هاج در فرم های تعریف شده (تا جهت گیری آن، یعنی علامت آن) توسط متریک فضازمان لورنتزی. در مورد خاص 2-شکل مانند F ، ستاره هاج ${\star }$ فقط برای مقیاس محلی آن به تانسور متریک بستگی دارد. این بدان معنی است که، همانطور که فرموله شد، معادلات میدان فرم دیفرانسیل به طور همسانی ثابت هستند ، اما شرط گیج لورنز، ناواریایی همسو را می شکند. اپراتور $\Box =(-{\star }\mathrm {d} {\star }\mathrm {d} -\mathrm {d} {\star }\mathrm {d} {\star })$ است دالامبر-لاپلاس-بلترامی اپراتور به 1-اشکال در خودسرانه فضازمان لورنتزی . شرط توپولوژیک دوباره این است که دومین گروه هم‌شناسی واقعی «بی‌اهمیت» باشد (به این معنی که شکل آن از یک تعریف ناشی می‌شود). با ایزومورفیسم با همومولوژی د رام دوم، این شرط به این معنی است که هر 2 شکل بسته دقیق است.

فرمالیسم های دیگر عبارتند از فرمول بندی جبر هندسی و نمایش ماتریسی معادلات ماکسول . از نظر تاریخی، از فرمول کواترنیونی [15] [16] استفاده می شد.

راه حل ها [ ویرایش ]

معادلات ماکسول معادلات دیفرانسیل جزئی هستند که میدان های الکتریکی و مغناطیسی را به یکدیگر و بارها و جریان های الکتریکی مرتبط می کنند. اغلب، بارها و جریان‌ها خود به میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی از طریق معادله نیروی لورنتس و روابط سازنده وابسته هستند . همه اینها مجموعه ای از معادلات دیفرانسیل جزئی جفت شده را تشکیل می دهند که حل آنها اغلب بسیار دشوار است: راه حل ها همه پدیده های متنوع الکترومغناطیس کلاسیک را در بر می گیرند . چند نکته کلی در پی می آید.

همانطور که برای هر معادله دیفرانسیل، شرایط مرزی [17] [18] [19] و شرایط اولیه [20] برای یک راه حل منحصر به فرد ضروری هستند . برای مثال، حتی بدون بار و جریان در هیچ نقطه ای از فضازمان، راه حل های واضحی وجود دارد که E و B برای آنها صفر یا ثابت هستند، اما راه حل های غیر پیش پا افتاده ای نیز وجود دارند که مربوط به امواج الکترومغناطیسی هستند. در برخی موارد، معادلات ماکسول در کل فضا حل می‌شوند و شرایط مرزی به صورت حد مجانبی در بی‌نهایت ارائه می‌شوند. [21]در موارد دیگر، معادلات ماکسول در یک منطقه محدود از فضا، با شرایط مناسب در مرز آن منطقه، برای مثال یک مرز جذب مصنوعی که نشان دهنده بقیه جهان است، حل می شود، [22] [23] یا شرایط مرزی تناوبی ، یا دیوارهایی که یک منطقه کوچک را از دنیای بیرون جدا می کنند (مانند یک موجبر یا تشدید کننده حفره ). [24]

معادلات جفیمنکو (یا پتانسیل‌های Liénard-Wiechert نزدیک به هم ) راه‌حل صریح معادلات ماکسول برای میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی هستند که توسط هر توزیع مشخصی از بارها و جریان‌ها ایجاد می‌شوند. شرایط اولیه خاصی را برای به دست آوردن به اصطلاح "راه حل عقب افتاده" در نظر می گیرد، که در آن تنها زمینه های موجود، مواردی هستند که توسط بارها ایجاد می شوند. با این حال، معادلات جفیمنکو در شرایطی که بارها و جریان ها خود تحت تأثیر میدان هایی که ایجاد می کنند، مفید نیستند.

روش‌های عددی برای معادلات دیفرانسیل را می‌توان برای محاسبه راه‌حل‌های تقریبی معادلات ماکسول در زمانی که جواب‌های دقیق غیرممکن است، استفاده کرد. این خدمات عبارتند از روش المان محدود و روش حوزه زمان تفاضل محدود . [17] [19] [25] [26] [27] برای جزئیات بیشتر، به الکترومغناطیسی محاسباتی مراجعه کنید .

تعیین بیش از حد معادلات ماکسول [ ویرایش ]

معادلات ماکسول بیش از حد تعیین شده به نظر می رسد ، زیرا شامل شش مجهول (سه جزء E و B ) اما هشت معادله (یکی برای هر یک از دو قانون گاوس، سه مولفه برداری برای قوانین فارادی و آمپر) است. (جریان‌ها و بارها مجهول نیستند، و با توجه به حفظ بار ، آزادانه قابل تعیین هستند .) این به نوع خاصی از افزونگی محدود در معادلات ماکسول مربوط می‌شود: می‌توان ثابت کرد که هر سیستمی که قانون فارادی و قانون آمپر را برآورده کند، به طور خودکار این دو را نیز برآورده می‌کند. قوانین گاوس، تا زمانی که شرایط اولیه سیستم وجود داشته باشد، و با فرض پایستگی بار و عدم وجود تک قطبی های مغناطیسی. این توضیح برای اولین بار توسط جولیوس آدامز استراتن در سال 1941 ارائه شد. [30]

اگرچه می توان به سادگی دو قانون گاوس را در یک الگوریتم عددی نادیده گرفت (به غیر از شرایط اولیه)، دقت ناقص محاسبات می تواند منجر به نقض روزافزون این قوانین شود. با معرفی متغیرهای ساختگی که این تخلفات را مشخص می کند، چهار معادله در نهایت بیش از حد تعیین نمی شوند. فرمول به دست آمده می تواند به الگوریتم های دقیق تری منجر شود که هر چهار قانون را در نظر می گیرند. [31]

هر دو هویت $\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {B} \equiv 0,\nabla \cdot \nabla \times \mathbf {E} \equiv 0$ که هشت معادله را به شش معادله مستقل کاهش می‌دهند، دلیل واقعی تعین بیش از حد هستند. [32] [33] یا می توان به تعاریف وابستگی خطی برای PDE اشاره کرد.

به طور معادل، تعیین بیش از حد می تواند به عنوان دلالت بر پایستگی بار الکتریکی و مغناطیسی در نظر گرفته شود، زیرا آنها در اشتقاق شرح داده شده در بالا مورد نیاز هستند اما توسط دو قانون گاوس مستلزم آن هستند.

برای معادلات جبری خطی، می توان قوانین "خوب" برای بازنویسی معادلات و مجهولات ایجاد کرد. معادلات می توانند به صورت خطی وابسته باشند. اما در معادلات دیفرانسیل و به خصوص PDE ها، نیاز به شرایط مرزی مناسب است که به روش های نه چندان واضح به معادلات بستگی دارد. حتی بیشتر، اگر کسی آنها را از نظر بردار و پتانسیل اسکالر بازنویسی کند، به دلیل تثبیت گیج ، معادلات کمتر تعیین می شوند .

معادلات ماکسول به عنوان حد کلاسیک QED [ ویرایش ]

معادلات ماکسول و قانون نیروی لورنتس (همراه با بقیه الکترومغناطیس کلاسیک) در توضیح و پیش بینی انواع پدیده ها فوق العاده موفق هستند. با این حال آنها اثرات کوانتومی را در نظر نمی گیرند و بنابراین دامنه کاربرد آنها محدود است. معادلات ماکسول به عنوان حد کلاسیک الکترودینامیک کوانتومی (QED) در نظر گرفته می شود.

برخی از پدیده های الکترومغناطیسی مشاهده شده با معادلات ماکسول ناسازگار هستند. اینها شامل پراکندگی فوتون- فوتون و بسیاری از پدیده های دیگر مربوط به فوتون ها یا فوتون های مجازی ، " نور غیرکلاسیک " و درهم تنیدگی کوانتومی میدان های الکترومغناطیسی است (نگاه کنید به اپتیک کوانتومی ). به عنوان مثال رمزنگاری کوانتومی را نمی توان با نظریه ماکسول توصیف کرد، حتی تقریباً. ماهیت تقریبی معادلات ماکسول هنگام رفتن به رژیم میدانی بسیار قوی (نگاه کنید به اویلر-هایزنبرگ لاگرانژ ) یا در فواصل بسیار کوچک ، بیشتر و بیشتر آشکار می شود .

در نهایت، معادلات ماکسول می توانید هر پدیده که شامل فرد را توضیح نمی دهد فوتون تعامل با ماده کوانتومی، مانند اثر فوتوالکتریک ، قانون پلانک ، در قانون دوان-هانت ، و تک فوتون آشکارسازهای نور . با این حال، بسیاری از چنین پدیده‌هایی را می‌توان با استفاده از یک نظریه نیمه راه ماده کوانتومی جفت شده به یک میدان الکترومغناطیسی کلاسیک، چه به عنوان میدان خارجی یا با مقدار مورد انتظار جریان بار و چگالی در سمت راست معادلات ماکسول، تقریب زد.

تغییرات [ ویرایش ]

تغییرات رایج در معادلات ماکسول به عنوان یک نظریه کلاسیک میدان های الکترومغناطیسی نسبتا کمیاب است زیرا معادلات استاندارد آزمون زمان را به خوبی به خوبی پس داده اند.

تک قطبی مغناطیسی [ ویرایش ]

نوشتار اصلی: تک قطبی مغناطیسی

معادلات ماکسول فرض می کند که بار الکتریکی در جهان وجود دارد ، اما بار مغناطیسی (که تک قطبی مغناطیسی نیز نامیده می شود ) وجود ندارد. در واقع، با وجود جستجوهای گسترده، بار مغناطیسی هرگز مشاهده نشده است [یادداشت 7] و ممکن است وجود نداشته باشد. اگر آنها وجود داشتند، هم قانون گاوس برای مغناطیس و هم قانون فارادی باید اصلاح شوند و چهار معادله به دست آمده تحت تبادل میدان های الکتریکی و مغناطیسی کاملاً متقارن خواهند بود. [7] : 273-275

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%27s_equations

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی