5- معادلات ماکسول

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه هجدهم آذر ۱۴۰۰ | 21:50

روابط سازنده [ ویرایش ]

مقاله اصلی: معادله سازنده § الکترومغناطیس

به منظور اعمال "معادلات ماکروسکوپی ماکسول"، لازم است روابط بین میدان جابجایی D و میدان الکتریکی E و همچنین میدان مغناطیسی H و میدان مغناطیسی B مشخص شود . به طور معادل، ما باید وابستگی قطبش P (از این رو بار محدود) و مغناطش M (از این رو جریان محدود) را به میدان الکتریکی و مغناطیسی اعمال شده مشخص کنیم. معادلات مشخص کننده این پاسخ، روابط سازنده نامیده می شوند. برای مواد دنیای واقعی، روابط سازنده به ندرت ساده هستند، به جز تقریباً، و معمولاً با آزمایش تعیین می شوند. برای توضیح کاملتر به مقاله اصلی در مورد روابط سازنده مراجعه کنید. [13] : 44-45

برای مواد بدون قطبش و مغناطش، روابط سازنده (طبق تعریف) است [7] : 2

$\mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} ,\quad \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B}$

که در آن ε 0 است گذردهی فضای آزاد و μ 0 نفوذپذیری فضای آزاد. از آنجایی که شارژ محدودی وجود ندارد، مجموع و شارژ رایگان و جریان برابر هستند.

یک دیدگاه جایگزین در مورد معادلات میکروسکوپی این است که آنها معادلات ماکروسکوپی هستند همراه با این جمله که خلاء مانند یک "ماده" خطی کامل بدون قطبش و مغناطیسی اضافی رفتار می کند. به طور کلی، برای مواد خطی، روابط سازنده [13] : 44-45 است

$\mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} \,,\quad \mathbf {H} ={\frac {1}{\mu }}\mathbf {B}$

که در آن ε است گذردهی و میکرو نفوذپذیری از مواد. برای میدان جابجایی D ، تقریب خطی معمولاً عالی است، زیرا برای همه میدان‌های الکتریکی به جز شدیدترین یا دماهای قابل حصول در آزمایشگاه (لیزرهای پالسی با توان بالا) میدان‌های الکتریکی بین اتمی مواد از مرتبه 10 11 V/m بسیار بالاتر است. نسبت به میدان خارجی برای میدان مغناطیسی $\mathbf{H}$ با این حال، تقریب خطی می تواند در مواد معمولی مانند آهن شکسته شود و منجر به پدیده هایی مانند پسماند شود . با این حال، حتی مورد خطی نیز می تواند عوارض مختلفی داشته باشد.

برای مواد همگن، ε و μ در سرتاسر ماده ثابت هستند، در حالی که برای مواد ناهمگن به مکان درون ماده (و شاید زمان) بستگی دارند . [14] : 463
برای مواد همسانگرد، ε و μ اسکالر هستند، در حالی که برای مواد ناهمسانگرد (مثلاً به دلیل ساختار کریستالی) تانسور هستند . [13] : 421 [14] : 463
مواد به طور کلی پراکنده هستند ، بنابراین ε و μ به فرکانس هر امواج EM برخوردی بستگی دارند . [13] : 625 [14] : 397

حتی به طور کلی تر، در مورد مواد غیر خطی (به عنوان مثال اپتیک غیرخطی را ببینید )، D و P لزوماً متناسب با E نیستند ، به طور مشابه H یا M لزوماً متناسب با B نیستند . به طور کلی D و H به هر دو E و B ، به مکان و زمان، و احتمالاً دیگر کمیت های فیزیکی بستگی دارند.

در برنامه‌های کاربردی، باید نحوه رفتار جریان‌های آزاد و چگالی بار را بر حسب E و B که احتمالاً با مقادیر فیزیکی دیگر مانند فشار، جرم، چگالی عدد و سرعت ذرات حامل بار همراه می‌شوند، توصیف کرد. به عنوان مثال، معادلات اصلی ارائه شده توسط ماکسول (به تاریخچه معادلات ماکسول مراجعه کنید ) شامل قانون اهم به شکل

$\mathbf {J} _{\text{f}}=\sigma \mathbf {E} \,.$

فرمولاسیون های جایگزین [ ویرایش ]

برای یک نمای کلی، به توضیحات ریاضی میدان الکترومغناطیسی مراجعه کنید .

برای معادلات در نظریه میدان کوانتومی به الکترودینامیک کوانتومی مراجعه کنید .

در زیر خلاصه‌ای از برخی از فرمالیسم‌های ریاضی متعدد دیگر برای نوشتن معادلات میکروسکوپی ماکسول آورده شده است، با ستون‌هایی که دو معادله ماکسول همگن را از دو معادله ناهمگن شامل بار و جریان جدا می‌کنند. هر فرمول دارای نسخه هایی مستقیم از نظر میدان های الکتریکی و مغناطیسی و به طور غیرمستقیم از نظر پتانسیل الکتریکی φ و پتانسیل برداری A است.. پتانسیل ها به عنوان روشی مناسب برای حل معادلات همگن معرفی شدند، اما تصور می شد که تمام فیزیک قابل مشاهده در میدان های الکتریکی و مغناطیسی (یا از نظر نسبیتی، تانسور فارادی) وجود دارد. با این حال، پتانسیل‌ها نقش مرکزی را در مکانیک کوانتومی بازی می‌کنند و به صورت مکانیکی کوانتومی با پیامدهای قابل مشاهده حتی زمانی که میدان‌های الکتریکی و مغناطیسی ناپدید می‌شوند ( اثر آهارونوف-بوم ) عمل می‌کنند.

هر جدول یک فرمالیسم را توصیف می کند. برای جزئیات هر فرمول به مقاله اصلی مراجعه کنید . واحدهای SI در سراسر استفاده می شوند.

حساب برداری
فرمولاسیون	معادلات همگن	معادلات ناهمگن
زمینه های فضای اقلیدسی سه بعدی + زمان	${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {B} =0\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {E} +{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}=0\end{aligned}}$	${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\end{تراز شده}}$ ${\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t} }&=\mu _{0}\mathbf {J} \end{تراز شده}}$
پتانسیل ها (هر سنج ) فضای اقلیدسی سه بعدی + زمان	${\begin{aligned}\mathbf {B} &=\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} \end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\mathbf {\nabla } \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\end{aligned}}$	${\begin{aligned}-\nabla ^{2}\varphi -{\frac {\partial }{\partial t}}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} \right )&={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\end{تراز شده}}$ ${\begin{aligned}\left(-\nabla ^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^ {2}}}\right)\mathbf {A} +\mathbf {\nabla } \left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} +{\frac {1}{c^{2}} }{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)&=\mu _{0}\mathbf {J} \end{aligned}}$
پتانسیل ها ( گیج لورنز ) فضای اقلیدسی سه بعدی + زمان	${\begin{aligned}\mathbf {B} &=\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} \\\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\mathbf {\nabla } \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\\\end{تراز شده }}$ ${\begin{aligned}\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} &=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\ t جزئی}}\\\end{تراز شده}}$	${\begin{aligned}\left(-\nabla ^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^ {2}}}\right)\varphi &={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\left(-\nabla ^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^ {2}}}\right)\mathbf {A} &=\mu _{0}\mathbf {J} \end{تراز شده}}$

حساب تانسور
فرمولاسیون	معادلات همگن	معادلات ناهمگن
زمینه های فضا + زمان متریک فضایی مستقل از زمان	${\begin{aligned}\partial _{[i}B_{jk]}&=\\\nabla _{[i}B_{jk]}&=0\\\جزئی _{[i}E_ {j]}+{\frac {\partial B_{ij}}{\partial t}}&=\\\nabla _{[i}E_{j]}+{\frac {\partial B_{ij}} {\ t جزئی}}&=0\end{تراز شده}}$	${\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {h}}}\partial _{i}{\sqrt {h}}E^{i}&=\\\nabla _{i }E^{i}&={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {h}}}\partial _{i}{\sqrt {h}}B^{ij}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}E^{j}&=&\\-\nabla _{i}B^{ij}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial E^{j}}{\partial t}}&=\mu _{0} J^{j}\\\end{تراز شده}}$
پتانسیل ها فضا (با محدودیت های توپولوژیکی) + زمان متریک فضایی مستقل از زمان	${\begin{aligned}B_{ij}&=\partial _{[i}A_{j]}\\&=\nabla _{[i}A_{j]}\end{تراز شده}}$ ${\begin{aligned}E_{i}&=-{\frac {\partial A_{i}}{\partial t}}-\partial _{i}\varphi \\&=-{\frac {\partial A_{i}}{\partial t}}-\nabla _{i}\varphi \\\end{تراز شده}}$	${\begin{aligned}-{\frac {1}{\sqrt {h}}}\partial _{i}{\sqrt {h}}\left(\partial ^{i}\varphi +{ \frac {\partial A^{i}}{\partial t}}\right)&=\\-\nabla _{i}\nabla ^{i}\varphi -{\frac {\partial }{\partial t}}\nabla _{i}A^{i}&={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {h}}}\ جزئی _{i}\left({\sqrt {h}}h^{im}h^{jn}\partial _{[m}A_{n]}\right)+{\frac {1}{c^ {2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {\partial A^{j}}{\partial t}}+\partial ^{j}\varphi \right )&=\\-\nabla _{i}\nabla ^{i}A^{j}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A^ {j}}{\partial t^{2}}}+R_{i}^{j}A^{i}+\nabla ^{j}\left(\nabla _{i}A^{i}+ {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\right)&=\mu _{0}J^{j}\\\end{ هم راستا}}$
پتانسیل ها (گیج لورنز) فضا (با محدودیت های توپولوژیکی) + زمان متریک فضایی مستقل از زمان	${\begin{aligned}B_{ij}&=\partial _{[i}A_{j]}\\&=\nabla _{[i}A_{j]}\\E_{i}& =-{\frac {\partial A_{i}}{\partial t}}-\partial _{i}\varphi \\&=-{\frac {\partial A_{i}}{\partial t}} -\nabla _{i}\varphi \\\nabla _{i}A^{i}&=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\ t جزئی}}\\\end{تراز شده}}$	${\begin{aligned}-\nabla _{i}\nabla ^{i}\varphi +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\ varphi }{\partial t^{2}}}&={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\\-\nabla _{i}\nabla ^{i}A^{j} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A^{j}}{\partial t^{2}}}+R_{i}^{j} A^{i}&=\mu _{0}J^{j}\\\end{تراز شده}}$

فرم های دیفرانسیل
فرمولاسیون	معادلات همگن	معادلات ناهمگن
زمینه های هر مکان + زمان	${\begin{aligned}dB&=0\\dE+{\frac {\partial B}{\partial t}}&=0\\\end{aligned}}$	${\begin{aligned}d{\star }E={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\\d{\star }B-{\frac {1}{c^ {2}}}{\frac {\partial {\star }E}{\partial t}}={\mu _{0}}J\\\end{تراز شده}}$
پتانسیل ها (هر سنج) هر فضا (با محدودیت های توپولوژیکی) + زمان	${\begin{aligned}B&=dA\\E&=-d\varphi -{\frac {\partial A}{\partial t}}\\\end{aligned}}$	${\begin{aligned}-d{\star }\!\left(d\varphi +{\frac {\partial A}{\partial t}}\right)&={\frac {\rho } {\varepsilon _{0}}}\\d{\star }dA+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\star }\! \left(d\varphi +{\frac {\partial A}{\partial t}}\right)&=\mu _{0}J\\\end{تراز شده}}$
پتانسیل (Lorenz Gauge) هر فضا (با محدودیت های توپولوژیکی) + زمان متریک فضایی مستقل از زمان	${\begin{aligned}B&=dA\\E&=-d\varphi -{\frac {\partial A}{\partial t}}\\d{\star }A&=-{\star }{ \frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}\\\end{تراز شده}}$	${\begin{aligned}{\star }\!\left(-\Delta \varphi +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{ \partial t^{2}}}\varphi \right)&={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}\\{\star }\!\left(-\Delta A+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A}{\partial ^{2}t}}\right)&=\mu _{0}J\\\end{ هم راستا}}$

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%27s_equations

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی