4- معادلات ماکسول

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه هجدهم آذر ۱۴۰۰ | 21:46

حفظ شارژ [ ویرایش ]

تغییر ناپذیری بار را می توان به عنوان نتیجه ای از معادلات ماکسول به دست آورد. سمت چپ قانون آمپر اصلاح شده دارای واگرایی صفر با هویت div-curl است . گسترش واگرایی سمت راست، مبادله مشتقات و اعمال قانون گاوس به دست می دهد:

$0=\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\nabla \cdot \left(\mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{ \frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\right)\right)=\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} +\varepsilon _{0}{ \frac {\partial }{\partial t}}\nabla \cdot \mathbf {E} \right)=\mu _{0}\left(\nabla \cdot \mathbf {J} +{\frac {\partial \rho }{\t partial t}}\right)$

یعنی

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {J} =0$ .

با قضیه واگرایی گاوس، این بدان معناست که نرخ تغییر بار در یک حجم ثابت برابر با جریان خالصی است که از مرز عبور می کند:

${\frac {d}{dt}}Q_{\Omega }={\frac {d}{dt}}\iiint _{\Omega }\rho \mathrm {d} V=-$ $\اینت$ ${\scriptstyle \partial \Omega }$ $\mathbf {J} \cdot {\rm {d}}\mathbf {S} =-I_{\partial \Omega }.$

به طور خاص، در یک سیستم ایزوله بار کل حفظ می شود.

معادلات خلاء، امواج الکترومغناطیسی و سرعت نور [ ویرایش ]

اطلاعات بیشتر: معادله موج الکترومغناطیسی ، معادله موج الکترومغناطیسی ناهمگن ، سینوسی راه حل هواپیما موج معادله موج الکترومغناطیسی ، و معادله هلمهولتز

این نمودار سه بعدی یک موج پلاریزه خطی صفحه ای را نشان می دهد که از چپ به راست منتشر می شود، که با E = E 0 sin(-ω t + k ⋅ r ) و B = B 0 sin(-ω t + k ⋅ r تعریف شده است ) میدان های نوسانی عبارتند از در نقطه چشمک زن شناسایی می شود. طول موج افقی λ است . E 0 ⋅ B 0 = 0 = E 0 ⋅ k = B 0 ⋅ k

در منطقه ای بدون بار ( ρ = 0 ) و بدون جریان ( J = 0 )، مانند خلاء، معادلات ماکسول به:

${\begin{aligned}\nabla \cdot \mathbf {E} &=0\quad &\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\ جزئی t}}،\\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\quad &\nabla \times \mathbf {B} &=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\ جزئی \mathbf {E} }{\ t جزئی}}.\end{تراز شده}}$

با گرفتن کرل (∇×) معادلات کرل، و با استفاده از حلقه هویت کرل به دست می‌آییم.

${\begin{aligned}\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {E} =0\\\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}} }-\nabla ^{2}\mathbf {B} =0\end{تراز شده}}$

کمیت $\mu _{0}\varepsilon _{0}$ دارای ابعاد (زمان/طول) 2 است . تعریف کردن $c=(\mu _{0}\varepsilon _{0})^{-1/2}$ ، معادلات بالا شکل معادلات موج استاندارد را دارند

${\begin{aligned}{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}- \nabla ^{2}\mathbf {E} =0\\{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^ {2}}}-\nabla ^{2}\mathbf {B} =0\end{تراز شده}}$

قبلاً در طول زندگی ماکسول، مشخص شد که مقادیر شناخته شده برای $\varepsilon _{0}$ و $\mu _{0}$ دادن $c\approx 2.998\times 10^{8}\,{\text{m/s}}$ ، از قبل به عنوان سرعت نور در فضای آزاد شناخته شده است. این باعث شد که او پیشنهاد کند که نور و امواج رادیویی امواج الکترومغناطیسی را منتشر می کنند، زیرا کاملاً تأیید شده است. در سیستم قدیمی SI از واحدها، مقادیر $\mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}$ و $c=299792458\,{\text{m/s}}$ ثابت های تعریف شده هستند، (به این معنی که طبق تعریف $\varepsilon _{0}=8.854...\times 10^{-12}\,{\text{F/m}}$ ) که آمپر و متر را تعریف می کنند. در سیستم جدید SI ، فقط c مقدار تعریف شده خود را حفظ می کند و بار الکترون مقدار مشخصی دریافت می کند.

در مواد با گذردهی ، ε R ، و نفوذ پذیری نسبی ، μ R از سرعت فاز نور می شود

$v_{\text{p}}={\frac {1}{\sqrt {\mu _{0}\mu _{\text{r}}\varepsilon _{0}\varepsilon _{\text{r} }}}}$

که معمولاً [یادداشت 5] کمتر از c است .

علاوه بر این E و B بر یکدیگر و جهت انتشار موج عمود هستند و با یکدیگر هم فاز هستند. سینوسی موج تخت یک راه حل خاص از این معادلات است. معادلات ماکسول توضیح می دهد که چگونه این امواج می توانند از نظر فیزیکی در فضا منتشر شوند. میدان مغناطیسی در حال تغییر یک میدان الکتریکی متغیر از طریق قانون فارادی ایجاد می کند . به نوبه خود، آن میدان الکتریکی با افزودن ماکسول به قانون آمپر ، یک میدان مغناطیسی متغیر ایجاد می کند . این چرخه دائمی به این امواج، که امروزه به عنوان تابش الکترومغناطیسی شناخته می شود ، اجازه می دهد تا با سرعت c در فضا حرکت کنند .

فرمول ماکروسکوپی [ ویرایش ]

معادلات فوق نسخه میکروسکوپی معادلات ماکسول هستند که میدان های الکتریکی و مغناطیسی را بر حسب بارها و جریان های موجود (احتمالاً در سطح اتمی) بیان می کنند. گاهی اوقات این فرم "عمومی" نامیده می شود، اما نسخه ماکروسکوپی زیر به همان اندازه کلی است، تفاوت در حسابداری است.

نسخه میکروسکوپی گاهی اوقات "معادلات ماکسول در خلاء" نامیده می شود: این به این واقعیت اشاره دارد که محیط مادی در ساختار معادلات ساخته نشده است، بلکه فقط در بار و شرایط فعلی ظاهر می شود. نسخه میکروسکوپی توسط لورنتز معرفی شد، که سعی کرد از آن برای استخراج خواص ماکروسکوپی ماده حجیم از اجزای میکروسکوپی آن استفاده کند. [10] : 5

معادلات ماکروسکوپی ماکسول، که به معادلات ماکسول در ماده نیز معروف است ، بیشتر شبیه معادلاتی است که ماکسول خود را معرفی کرد.

نام	معادلات انتگرال (کنوانسیون SI)	دیفرانسیل معادلات (یکاهای SI)	معادلات دیفرانسیل (کنوانسیون گاوسی)
قانون گاوس	$\اینت$ ${\scriptstyle \partial \Omega }$ $\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iiint _{\Omega }\rho _{\text{f}}\,\mathrm {d} V$	$\nabla \cdot \mathbf {D} =\rho _{\text{f}}$	$\nabla \cdot \mathbf {D} =4\pi \rho _{\text{f}}$
قانون گاوس برای مغناطیس	$\اینت$ ${\scriptstyle \partial \Omega }$ $\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$	$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$
معادله ماکسول-فارادی (قانون القاء فارادی)	$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=-{\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S}$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$
قانون مداری آمپر (با اضافه کردن ماکسول)	${\begin{aligned}\oint _{\partial \Sigma }&\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} {\boldsymbol {\ell }}=\\&\iint _{\Sigma } \mathbf {J} _{\text{f}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} +{\frac {d}{dt}}\iint _{\Sigma }\mathbf {D} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \\\end{تراز شده}}$	$\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} _{\text{f}}+{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}$	$\nabla \times \mathbf {H} ={\frac {1}{c}}\left(4\pi \mathbf {J} _{\text{f}}+{\frac {\partial \mathbf {D } }{\ t جزئی}}\right)$

در معادلات ماکروسکوپی، نفوذ محدود شارژ Q ب و در حال حاضر محدود من ب را به ثبت میدان جابجایی D و درست مغناطیسی H ، در حالی که معادلات تنها به اتهام رایگان بستگی دارد Q F و جریان های رایگان من F . این منعکس کننده تقسیم بار الکتریکی کل Q و جریان I (و چگالی آنها ρ و J ) به بخش های آزاد و محدود است:

${\begin{aligned}Q&=Q_{\text{f}}+Q_{\text{b}}=\iiint _{\Omega }\left(\rho _{\text{f}}+ \rho _{\text{b}}\right)\,\mathrm {d} V=\iiint _{\Omega }\rho \,\mathrm {d} V\\I&=I_{\text{f} }+I_{\text{b}}=\iint _{\Sigma }\left(\mathbf {J} _{\text{f}}+\mathbf {J} _{\text{b}}\راست )\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =\iint _{\Sigma }\mathbf {J} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} \end{تراز شده}}$

هزینه این تقسیم این است که میدان‌های اضافی D و H باید از طریق معادلات تشکیل‌دهنده پدیدارشناسی که این میدان‌ها را به میدان الکتریکی E و میدان مغناطیسی B ، همراه با بار محدود و جریان مرتبط می‌کند، تعیین شوند.

برای توضیح دقیق تفاوت‌های بین معادلات میکروسکوپی، مربوط به بار کل و جریان از جمله سهم مواد، مفید در هوا/خلاء، به زیر مراجعه کنید. [توجه داشته باشید 6] و معادلات ماکروسکوپی، با رایگان شارژ و فعلی، عملی برای استفاده در مواد.

شارژ محدود و جاری [ ویرایش ]

مقالات اصلی: چگالی جریان ، شارژ محدود ، و جریان محدود

سمت چپ: نمای شماتیکی از اینکه چگونه مجموعه ای از دوقطبی های میکروسکوپی، بارهای سطحی مخالف ایجاد می کند، همانطور که در بالا و پایین نشان داده شده است. راست: چگونه مجموعه ای از حلقه های جریان میکروسکوپی با هم جمع می شوند تا یک حلقه جریان در حال گردش ماکروسکوپی تولید کنند. در داخل مرزها، مشارکت های فردی تمایل به لغو دارند، اما در مرزها هیچ لغوی رخ نمی دهد.

هنگامی که یک میدان الکتریکی به یک ماده دی الکتریک اعمال می شود ، مولکول های آن با تشکیل دوقطبی های الکتریکی میکروسکوپی پاسخ می دهند - هسته های اتمی آنها فاصله بسیار کمی را در جهت میدان حرکت می کنند، در حالی که الکترون های آنها فاصله کمی را در جهت مخالف حرکت می کنند. این یک بار محدود ماکروسکوپی در ماده ایجاد می کند، حتی اگر همه بارهای درگیر به مولکول های جداگانه متصل شوند. به عنوان مثال، اگر هر مولکول یکسان پاسخ دهد، مشابه آنچه در شکل نشان داده شده است، این حرکات کوچک بار با هم ترکیب می شوند و لایه ای از بار مثبت محدود می کنند.در یک طرف ماده و یک لایه بار منفی در طرف دیگر. بار مقید به راحتی بر حسب پلاریزاسیون P ماده، گشتاور دوقطبی آن در واحد حجم توصیف می‌شود. اگر P یکنواخت باشد، جداسازی ماکروسکوپیک بار فقط در سطوحی که P وارد مواد شده و از آن خارج می‌شود، ایجاد می‌شود. برای P غیر یکنواخت ، شارژ نیز به صورت عمده تولید می شود. [11]

تقریباً به طور مشابه، در همه مواد، اتم‌های تشکیل‌دهنده گشتاورهای مغناطیسی از خود نشان می‌دهند که ذاتاً با تکانه زاویه‌ای اجزای اتم‌ها، به ویژه الکترون‌های آن‌ها، مرتبط هستند . اتصال به حرکت زاویه ای نشان می دهد تصویری از یک مونتاژ حلقه های جریان میکروسکوپی است. در خارج از ماده، مجموعه ای از چنین حلقه های جریان میکروسکوپی با جریان ماکروسکوپی که در اطراف سطح ماده در گردش است، تفاوتی ندارد، علیرغم این واقعیت که هیچ بار فردی مسافت زیادی را طی نمی کند. این جریان های محدود را می توان با استفاده از مغناطش M توصیف کرد . [12]

بنابراین، بارها و جریان‌های محدود بسیار پیچیده و دانه‌ای را می‌توان در مقیاس ماکروسکوپی بر حسب P و M نشان داد ، که میانگین این بارها و جریان‌ها را در مقیاس به اندازه کافی بزرگ می‌کند تا دانه‌ریزی اتم‌های منفرد را مشاهده نکنیم. همچنین به اندازه کافی کوچک هستند که با مکان در مواد متفاوت هستند. به این ترتیب، معادلات ماکروسکوپی ماکسول بسیاری از جزئیات را در مقیاس ظریف نادیده می‌گیرند که می‌تواند برای درک مسائل در مقیاس ناخالص با محاسبه فیلدهایی که میانگین آن‌ها بر روی مقداری حجم مناسب محاسبه می‌شوند، بی‌اهمیت باشد.

میدان های کمکی، قطبش و مغناطیسی [ ویرایش ]

تعاریف از زمینه های کمکی:

${\begin{تراز شده}\mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)&=\varepsilon _{0}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)+\mathbf {P} (\ mathbf {r} ,t)\\\mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)&={\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} (\mathbf {r } ,t)-\mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)\end{تراز شده}}$

که در آن P است قطبش میدان و M است مغناطش زمینه، که از نظر اتهام محدود میکروسکوپی و جریان محدود به ترتیب تعریف شده است. ماکروسکوپی محدود چگالی بار ρ ب و محدود چگالی جریان J ب از نظر قطبش P و مغناطش M سپس به عنوان تعریف

${\begin{تراز شده}\rho _{\text{b}}&=-\nabla \cdot \mathbf {P} \\\mathbf {J} _{\text{b}}&=\nabla \times \ mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}\end{aligned}}$

اگر بار کل، محدود و آزاد و چگالی جریان را بر اساس تعریف کنیم

${\begin{تراز شده}\rho &=\rho _{\text{b}}+\rho _{\text{f}},\\\mathbf {J} &=\mathbf {J} _{\text {b}}+\mathbf {J} _{\text{f}}،\end{تراز شده}}$

و از روابط تعریف کننده بالا برای حذف D و H استفاده کنید ، معادلات "ماکروسکوپی" ماکسول معادلات "میکروسکوپی" را بازتولید می کنند.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Maxwell%27s_equations

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی