ادامه تانسور دکارتی(مشتقات و عناصر ماتریس ژاکوبین)

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه دوم آذر ۱۴۰۰ | 5:36

مشتقات و عناصر ماتریس ژاکوبین [ ویرایش ]

این نوشته را از L هستند مشتقات جزئی از مختصات جدید یا قدیمی با توجه به مختصات قدیمی یا جدید، به ترتیب.

افتراق x i نسبت به x k :

${\frac {\partial {\bar {x}}_{i}}{\partial x_{k}}}={\frac {\partial }{\partial x_{k}}}(x_{j}{ \mathsf {L}}_{{ji}})={\mathsf {L}}_{{ji}}{\frac {\partial x_{j}}{\partial x_{k}}}=\delta _{{kj}}{\mathsf {L}}_{{ji}}={\mathsf {L}}_{{ki}}$

بنابراین

${\mathsf {L}}_{i}{}^{j}\equiv {\mathsf {L}}_{{ij}}={\frac {\partial {\bar {x}}_{j} }{\ x_{i}}} جزئی$

عنصری از ماتریس ژاکوبین است . بین موقعیت‌های شاخص متصل به L و در مشتق جزئی یک مطابقت (تا حدی یادمانی) وجود دارد : i در بالا و j در پایین، در هر مورد، اگرچه برای تانسورهای دکارتی، شاخص‌ها را می‌توان کاهش داد.

برعکس، افتراق x j نسبت به x i :

${\frac {\partial x_{j}}{\partial {\bar {x}}_{k}}}={\frac {\partial }{\partial {\bar {x}}_{k}} }({\bar {x}}_{i}({\boldsymbol {{\mathsf {L}}}}^{{{-1}})_{{ij}})={\frac {\partial { \bar {x}}_{i}}{\partial {\bar {x}}_{k}}}({\boldsymbol {{\mathsf {L}}}}^{{-1}})_ {{ij}}=\delta _{{ki}}({\boldsymbol {{\mathsf {L}}}}^{{{-1}})_{{ij}}=({\boldsymbol {{\ mathsf {L}}}}^{{-1}})_{{kj}}$

بنابراین

$({\boldsymbol {{\mathsf {L}}}}^{{{-1}})_{i}{}^{j}\equiv ({\boldsymbol {{\mathsf {L}}}}}^{ {-1}})_{{ij}}={\frac {\partial x_{j}}{\partial {\bar {x}}_{i}}}$

عنصری از ماتریس ژاکوبین معکوس، با تناظر شاخص مشابه است.

بسیاری از iابع تغییرات را بر حسب مشتقات جزئی بیان می کنند:

${\begin{array}{c}{\bar {x}}_{j}=x_{i}{\frac {\partial {\bar {x}}_{j}}{\partial x_{i} }}\\\ upharpoonleft \downharpoonright \\x_{j}={\bar {x}}_{i}{\frac {\partial x_{j}}{\partial {\bar {x}}_{i }}}\پایان{آرایه}}$

و معادلات ماتریسی صریح در 3d عبارتند از:

${\bar {{\mathbf {x}}}}={\boldsymbol {{\mathsf {L}}}}{\mathbf {x}}$

${\begin{pmatrix}{\bar {x}}_{1}\\{\bar {x}}_{2}\\{\bar {x}}_{3}\end{pmatrix}}= {\begin{pmatrix}{\frac {\partial {\bar {x}}_{1}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{1 }}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{1}}{\partial x_{3}}}\\{\frac {\partial {\bar {x}}_{2}}{\partial x_{1}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{2}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{2}}{\partial x_{3}}}\\{\frac {\partial {\bar {x}}_{3}}{\partial x_{1 }}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{3}}{\partial x_{2}}}&{\frac {\partial {\bar {x}}_{3}} {\ x_ جزئی{3}}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}$

به طور مشابه برای

${\mathbf {x}}={\boldsymbol {{\mathsf {L}}}}^{{-1}}{\bar {{\mathbf {x}}}}={\boldsymbol {{\mathsf { L}}}}^{{{\mathrm {T}}}}{\bar {{\mathbf {x}}}}$

پیش بینی ها در امتداد محورهای مختصات [ ویرایش ]

بالا: زوایای از محورهای x i تا محورهای x i . پایین: برعکس.

مانند تمام تبدیل های خطی، L به مبنای انتخاب شده بستگی دارد. برای دو پایه متعارف

${\bar {{\mathbf {e}}}}_{i}\cdot {\bar {{\mathbf {e}}}}_{j}={\mathbf {e}}_{i}\cdot {\mathbf {e}}_{j}=\delta _{{ij}}\,,\quad \left|{\mathbf {e}}_{i}\right|=\چپ|{\bar { {\mathbf {e}}}}_{i}\right|=1\,,$

${\bar {x}}_{i}={\bar {{\mathbf {e}}}}_{i}\cdot {\mathbf {x}}={\bar {{\mathbf {e}} }}_{i}\cdot x_{j}{\mathbf {e}}_{j}=x_{i}{\mathsf {L}}_{{ij}}\,,$
نمایش x به محور $x_{i}={\mathbf {e}}_{i}\cdot {\mathbf {x}}={\mathbf {e}}_{i}\cdot {\bar {x}}_{j} {\bar {{\mathbf {e}}}}_{j}={\bar {x}}_{j}({\boldsymbol {{\mathsf {L}}}}^{{-1}} )_{{ji}}\،.$

بنابراین مولفه ها به کسینوس جهت بین محورهای x i و x j کاهش می یابند:

${\mathsf {L}}_{{ij}}={\bar {{\mathbf {e}}}}_{i}\cdot {\mathbf {e}}_{j}=\cos \theta _ {{ij}}$

$({\boldsymbol {{\mathsf {L}}}}^{{{-1}})_{{ij}}={\mathbf {e}}_{i}\cdot {\bar {{\mathbf { e}}}_{j}=\cos \theta _{{ji}}$

که در آن θ ij و θ ji زوایای بین محورهای x i و x j هستند . به طور کلی، θ ij برابر با θ ji نیست ، زیرا برای مثال θ 12 و θ 21 دو زاویه متفاوت هستند.

تبدیل مختصات را می توان نوشت:

${\begin{array}{c}{\bar {x}}_{j}=x_{i}\left({\bar {{\mathbf {e}}}}_{i}\cdot {\mathbf {e}}_{j}\right)=x_{i}\cos \theta _{{ij}}\\\upharpoonleft \downharpoonright \\x_{j}={\bar {x}}_{i} \left({\mathbf {e}}_{i}\cdot {\bar {{\mathbf {e}}}}_{j}\right)={\bar {x}}_{i}\cos \theta _{{ji}}\end{آرایه}}$

و معادلات ماتریسی صریح در 3d عبارتند از:

${\bar {{\mathbf {x}}}}={\boldsymbol {{\mathsf {L}}}}{\mathbf {x}}$

${\begin{pmatrix}{\bar {x}}_{1}\\{\bar {x}}_{2}\\{\bar {x}}_{3}\end{pmatrix}}= {\begin{pmatrix}{\bar {{\mathbf {e}}}}_{1}\cdot {\mathbf {e}}_{1}&{\bar {{\mathbf {e}}}} _{1}\cdot {\mathbf {e}}_{2}&{\bar {{\mathbf {e}}}}_{1}\cdot {\mathbf {e}}_{3}\\ {\bar {{\mathbf {e}}}}_{2}\cdot {\mathbf {e}}_{1}&{\bar {{\mathbf {e}}}}_{2}\cdot {\mathbf {e}}_{2}&{\bar {{\mathbf {e}}}}_{2}\cdot {\mathbf {e}}_{3}\\{\bar {{\ mathbf {e}}}}_{3}\cdot {\mathbf {e}}_{1}&{\bar {{\mathbf {e}}}}_{3}\cdot {\mathbf {e} }_{2}&{\bar {{\mathbf {e}}}}_{3}\cdot {\mathbf {e}}_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{ 1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta _{{11}}&\cos \theta _{{12}}&\ cos \theta _{{13}}\\\cos \theta _{{21}}&\cos \theta _{{22}}&\cos \theta _{{23}}\\\cos \theta _ {{31}}&\cos \theta _{{32}}&\cos \theta _{{33}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\ پایان{pmatrix}}$

به طور مشابه برای

${\mathbf {x}}={\boldsymbol {{\mathsf {L}}}}^{{-1}}{\bar {{\mathbf {x}}}}={\boldsymbol {{\mathsf { L}}}}^{{{\mathrm {T}}}}{\bar {{\mathbf {x}}}}$

تفسیر هندسی عبارت است از مولفه های x i برابر با مجموع نمایش اجزای x j بر روی محورهای x j .

اعداد e i ⋅ e j که در یک ماتریس مرتب شده اند به دلیل تقارن در حاصلضرب های نقطه ای، یک ماتریس متقارن (ماتریسی برابر با جابجایی خود) تشکیل می دهند ، در واقع این تانسور متریک g است . در مقابل e i ⋅ e J و یا e i ⋅ e J انجام نمی ماتریس متقارن در کل تشکیل می دهند، همانطور که در بالا نمایش داده شود. بنابراین، در حالی که ماتریس های L هنوز متعامد هستند، متقارن نیستند.

جدای از چرخش حول یک محور، که در آن x i و x i برای برخی i iطبق می‌شوند، زاویه‌ها با زوایای اویلر یکسان نیستند و بنابراین ماتریس‌های L با ماتریس‌های چرخش یکسان نیستند .

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی