ضرب تانسور

توسط علی رضا نقش نیلچی | دوشنبه یکم آذر ۱۴۰۰ | 2:30

در ریاضیات ، حاصل ضرب تانسور $V\times W$ از دو فضای برداری V و W (در یک میدان یکسان ) فضای برداری است که می توان آن را فضای تمام تانسورهایی در نظر گرفت که می توان از بردارهای فضاهای تشکیل دهنده آن با استفاده از یک عملیات اضافی که می تواند به عنوان یک تعمیم در نظر گرفته شود، در نظر گرفت. انتزاع ضرب بیرونی . به دلیل ارتباط با تانسورها، که عناصر یک ضرب تانسوری هستند، ضرب تانسوری در بسیاری از زمینه‌های کاربردی از جمله در فیزیک و مهندسی کاربرد دارند، اگرچه ممکن است مکانیک نظری کامل آنها که در زیر توضیح داده شده است معمولاً در آنجا ذکر نشود. به عنوان مثال، در نسبیت عام ، میدان گرانشی از طریق تانسور متریک توصیف می‌شود ، که میدانی (به مفهوم فیزیک) از تانسورها است، یکی در هر نقطه در منیفولد فضا-زمان ، و هر کدام در خود حاصلضرب تانسور فضاهای مماس زندگی می‌کنند. $T_{x}M$ در نقطه سکونت آن بر روی منیفولد (چنین مجموعه ای از ضرب تانسور متصل به فضای دیگر، بسته تانسور نامیده می شود ).

فهرست

تانسورها در ابعاد محدود و ضرب بیرونی [ ویرایش ]

برای آشنایی با خود تانسورها، تانسور را ببینید .

حاصل ضرب تانسور دو چند جمله ای برنشتاین را نشان می دهد

مفهوم حاصلضرب تانسور، ایده تشکیل تانسورها از بردارها را با استفاده از حاصلضرب بیرونی تعمیم می‌دهد، که عملیاتی است که می‌توان آن را در فضاهای برداری با ابعاد محدود با استفاده از ماتریس‌ها تعریف کرد : با توجه به دو بردار. $\mathbf {v} \in V$ و $\mathbf {w} \in W$ نوشته شده از نظر اجزاء، یعنی

$\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\cdots \\v_{n}\end{bmatrix}}$

$\mathbf {w} ={\begin{bmatrix}w_{1}\\w_{2}\\\cdots \\w_{m}\end{bmatrix}}$

ضرب بیرونی آنها یا ضرب کرونکر توسط شرکت داده می شود $n\ برابر m$ ماتریس

$\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} ={\begin{bmatrix}v_{1}w_{1}&&v_{1}w_{2}&&\cdots &&v_{1}w_{m}\ \v_{2}w_{1}&&v_{2}w_{2}&&\cdots &&v_{2}w_{m}\\\cdots \\v_{n}w_{1}&&v_{n}w_{2} &&\cdots &&v_{n}w_{m}\end{bmatrix}}$

یا از نظر عناصر، $ij$ -ام جزء است

$(\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} )_{ij}=v_{i}w_{j}.$

ماتریس تشکیل شده از این طریق به طور طبیعی با یک تانسور مطابقت دارد $تی$ ، جایی که چنین به عنوان یک تابع چند خطی در درک می شود $V^{*}\times W^{*}،$ با ساندویچ کردن آن با ضرب ماتریس بین یک بردار و دوگانه آن ، یا جابجایی:

$T(\mathbf {a} ^{T},\mathbf {b} ^{T}):=\mathbf {a} ^{T}(\mathbf {v} \otimes \mathbf {w} ) \mathbf {b}$

توجه به این نکته مهم است که تانسور، همانطور که نوشته شده است، دو بردار دوگانه می گیرد - این نکته مهمی است که بعداً به آن پرداخته خواهد شد. در مورد ابعاد محدود، تمایز قوی بین یک فضا و دوتایی آن وجود ندارد، با این حال، در ابعاد بی نهایت اهمیت دارد و علاوه بر این، درست کردن قسمت منظم در مقابل دوتایی برای اطمینان از اینکه ایده تانسورها ضروری است. توسعه در اینجا به درستی با حواس دیگری که در آنها مشاهده می شود مطابقت دارد، از جمله از نظر دگرگونی ها، که در فیزیک رایج است.

تانسورهایی که به این روش ساخته می‌شوند، زمانی که آنها را به صورت مولفه‌های طبیعی اضافه و مقیاس می‌کنیم، خودشان یک فضای برداری ایجاد می‌کنند و در واقع، همه تابع‌های چندخطی از نوع داده‌شده را می‌توان به‌عنوان مجموعه‌ای از ضرب بیرونی نوشت، که ممکن است آن‌ها را تانسورهای خالص یا تانسورهای خالص بنامیم. تانسورها ساده . زمانی که بتوانیم بردارها و تبدیل ها را بر حسب ماتریس بنویسیم، این برای تعریف حاصلضرب تانسور کافی است، با این حال، برای به دست آوردن یک عملیات کاملاً کلی، یک رویکرد انتزاعی تر مورد نیاز است. به خصوص، ما می خواهیم "ویژگی های اساسی" ضرب تانسور را بدون تعیین مبنای خاصی برای ساخت آن جدا کنیم، و این همان کاری است که در بخش های بعدی انجام خواهیم داد.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Tensor_product

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی