ریاضیات

حلقه چند جمله ای ، K [ X ] ، در X بیش از یک زمینه (یا به طور کلی، یک حلقه جابجایی ) K را می توان تعریف [1] (دیگر تعریف معادل که معمولا استفاده وجود دارد) به عنوان مجموعه ای از اصطلاحات، به نام چند جمله ای در X ، از شکل

که در آن P 0 ، P 1 ، ...، ص متر از ضرایب از ص ، عناصر هستند K ، P متر ≠ 0 اگر متر > 0 و X ، X 2 ، ...، علامت، که به عنوان "قدرت" از در نظر گرفته می X ، و قوانین معمول توان را دنبال کنید : X 0 = 1 ، X 1 = X ، وبرای هر عدد صحیح غیر منفی k و l . نماد X را نامشخص [2] یا متغیر می نامند . [3] (اصطلاح "متغیر" از اصطلاح توابع چند جمله ای می آید . اما در اینجا X هیچ مقداری (غیر از خودش) ندارد و نمی تواند تغییر کند زیرا در حلقه چند جمله ای ثابت است.)

زمانی که ضرایب متناظر هر X k برابر باشد، دو چندجمله ای برابر هستند.

در واقع می توان از حلقه فکر می کنم K [ X ] به عنوان ناشی از K با اضافه کردن یک عنصر جدید X است که خارجی به K ، رفت و آمد با تمام عناصر K ، و هیچ ویژگی های خاص دیگر است. (این ممکن است برای تعریف حلقه های چند جمله ای استفاده شود.)

حلقه چند جمله ای در X بر K مجهز به یک جمع، یک ضرب و یک ضرب اسکالر است که آن را به یک جبر جابجایی تبدیل می کند . این عملیات بر اساس قوانین عادی برای دستکاری عبارات جبری تعریف می شوند. به طور خاص، اگر

و

سپس

و

که در آن k = max( m ، n )، l = m + n ،

و

در این فرمول‌ها، چند جمله‌ای‌های p و q با افزودن «جملات ساختگی» با ضرایب صفر بسط می‌یابند، به‌طوری‌که تمام p i و q i که در فرمول‌ها ظاهر می‌شوند، تعریف می‌شوند. به طور خاص، اگر m < n ، پس p i = 0 برای m < i ≤ n .

ضرب اسکالر مورد خاصی از ضرب است که در آن p = p 0 به جمله ثابت آن کاهش می یابد (اصطلاح مستقل از X ). به این معنا که

راستی آزمایی اینکه این سه عملیات اصول یک جبر جابجایی بر K را برآورده می‌کنند، ساده است. بنابراین به حلقه های چند جمله ای جبر چند جمله ای نیز می گویند .

تعریف معادل دیگری اغلب ترجیح داده می شود، اگرچه کمتر شهودی است، زیرا آسان تر است که آن را کاملاً دقیق نشان دهیم، که شامل تعریف یک چند جمله ای به عنوان یک دنباله نامتناهی ( p 0 , p 1 , p 2 , ...) از عناصر K است که دارای خاصیت این است که فقط تعداد محدودی از عناصر غیر صفر هستند، یا به طور معادل، دنباله ای که مقداری m برای آن وجود دارد به طوری که p n = 0 برای n > m . در این مورد، p 0 و X به عنوان نمادهای متناوب برای دنباله ها در نظر گرفته می شوند( p 0 , 0, 0, …) و (0, 1, 0, 0, …) به ترتیب. استفاده مستقیم از قوانین عملیات نشان می دهد که عبارت

سپس یک نماد جایگزین برای دنباله است

( p 0 , p 1 , p 2 , …, p m , 0, 0, …) .