ریاضیات

تعریف رسمی [ ویرایش ]

یک گروه توپولوژیکی ، G ، یک فضای توپولوژیکی است که همچنین گروهی است که عملیات گروهی (در این مورد ضرب):

⋅ : G × G → G , ( x , y ) ↦ xy

و نقشه وارونگی:

−1  : G → G ، x ↦ x −1

پیوسته هستند . [توجه 1] در اینجا G × G به عنوان یک فضای توپولوژیکی با توپولوژی ضرب مشاهده می شود . گفته می شود که چنین توپولوژی با عملیات گروهی سازگار است و توپولوژی گروهی نامیده می شود .

بررسی تداوم

نقشه ضرب پیوسته است اگر و فقط اگر برای هر x , y ∈ G و هر همسایگی W از xy در G ، همسایگی های U از x و V از y در G وجود داشته باشد به طوری که U ⋅ V ⊆ W , که در آن U ⋅ V  : = { u ⋅ v  : u ∈ U , v ∈ V }. نقشه وارونگی پیوسته است اگر و فقط اگر وجود داشته باشدx ∈ G و هر همسایگی V از x -1 در G ، یک همسایگی U از x در G وجود دارد بهطوری که U -1 ⊆ V ، که در آن U -1  := { u -1  : u ∈ U }.

برای نشان دادن اینکه یک توپولوژی با عملیات گروه سازگار است، کافی است که نقشه را بررسی کنید

G × G → G , ( x , y ) ↦ xy −1

پیوسته است. صراحت، این بدان معنی است که برای هر x را ، Y ∈ G و هر محله W در G از XY -1 ، وجود محله وجود دارد U از X و V از Y در G به طوری که U ⋅ ( V -1 ) ⊆ W .

نماد افزودنی

این تعریف از علامت گذاری برای گروه های ضربی استفاده می کند. معادل برای گروه های افزودنی این است که دو عملیات زیر پیوسته هستند:

+ : G × G → G , ( x , y ) ↦ x + y

− : G → G , x ↦ − x .

هاسدورف

اگر چه بخشی از این تعریف نیست، بسیاری از نویسندگان [3] نیاز است که توپولوژی در G باشد هاسدورف . یکی از دلایل این امر این است که هر گروه توپولوژیکی را می توان به طور متعارف با یک گروه توپولوژیکی هاسدورف با گرفتن یک ضریب متعارف مناسب مرتبط کرد. با این حال، اغلب هنوز نیاز به کار با گروه توپولوژیکی اصلی غیر Hausdorff دارد. دلایل دیگر، و برخی شرایط معادل، در زیر مورد بحث قرار می گیرند.

این مقاله فرض نمی‌کند که گروه‌های توپولوژیک لزوماً Hausdorff هستند.

دسته بندی

در زبان تئوری مقوله ، گروه های توپولوژیکی را می توان به طور خلاصه به عنوان اشیاء گروهی در دسته فضاهای توپولوژیکی تعریف کرد ، همانطور که گروه های معمولی اشیاء گروهی در دسته مجموعه ها هستند . توجه داشته باشید که بدیهیات بر حسب نقشه ها (ضرب دودویی، معکوس تک تک، و هویت تهی) داده شده اند، از این رو تعاریف طبقه ای هستند.

هممورفیسم ها [ ویرایش ]

همریخت گروه های توپولوژیکی به معنای پیوسته گروه همریخت G → H . گروه‌های توپولوژیکی همراه با هم‌مورفیسم‌هایشان یک دسته را تشکیل می‌دهند . همریخت گروه بین گروه های توپولوژیکی جابجایی پیوسته است اگر و تنها اگر به صورت پیوسته در است برخی نقطه. [4]

ریخت گروه های توپولوژیکی است ریختی گروه است که همچنین یک همسانریختی از فضاهای توپولوژیک زمینه ای است. این قوی تر از نیاز به یک هم شکلی گروهی پیوسته است - معکوس نیز باید پیوسته باشد. نمونه هایی از گروه های توپولوژیکی وجود دارد که به عنوان گروه های معمولی هم شکل هستند اما به عنوان گروه های توپولوژیکی نیستند. در واقع، هر گروه توپولوژیکی غیر گسسته هنگامی که با توپولوژی گسسته در نظر گرفته شود، یک گروه توپولوژیکی نیز محسوب می شود. گروه های بنیادی یکسان هستند، اما به عنوان گروه های توپولوژیکی هم شکلی وجود ندارد.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Topological_group