ادامه تابع توزیع تجمعی

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و پنجم مهر ۱۴۰۰ | 22:44

این مقاله برای تأیید به نقل قول های اضافی نیاز دارد . لطفاً با افزودن استناد به منابع معتبر ، به بهبود این مقاله کمک کنید . اطلاعات بدون مرجع ممکن است مشکل ایجاد کرده و پاک شوند. یافتن منابع: "عملکرد توزیع تجمعی" - اخبار · روزنامه ها · کتابها · محقق · JSTOR
( مارس 2010 ) ( نحوه و زمان حذف این پیام الگو را بیاموزید )

تابع توزیع تجمعی برای توزیع نمایی

تابع توزیع تجمعی برای توزیع عادی

در نظریه و آمار احتمال ، تابع توزیع تجمعی ( CDF ) یک متغیر تصادفی با ارزش واقعی است $ایکس$ ، یا فقط تابع توزیع از $ایکس$ ، ارزیابی شده در $ایکس$ ، این احتمال است که $ایکس$ مقداری کمتر یا مساوی از آن خواهد گرفت $ایکس$ به [1]

هر توزیع احتمالی که بر روی اعداد واقعی پشتیبانی می شود ، گسسته یا "مخلوط" و همچنین پیوسته ، به طور منحصر به فرد با یک تابع توزیع تجمعی افزایشی یکنواخت پیوسته [2] مشخص می شود. ${\ displaystyle F: \ mathbb {R} \ rightarrow [0،1]}$ رضایت بخش F (x) = 0} ${\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow -\ infty} F (x) = 0}$ و ${\ displaystyle \ lim _ {x \ rightarrow \ infty} F (x) = 1}$ به

در مورد توزیع پیوسته مقیاس ، مساحت تحت تابع چگالی احتمال از منفی بی نهایت تا $ایکس$ به توابع توزیع تجمعی نیز برای تعیین توزیع متغیرهای تصادفی چند متغیره استفاده می شود .

فهرست

خواص [ ویرایش ]

از بالا به پایین ، تابع توزیع تجمعی توزیع احتمال گسسته ، توزیع احتمال پیوسته و توزیعی که هم قسمت پیوسته و هم قسمت مجزا دارد.

هر تابع توزیع تجمعی $F_ {X}$ است غیر کاهش [3] : ص 78 و راست پیوسته ، [3] : ص. 79 که آن را به یک تابع càdlàg تبدیل می کند. علاوه بر این،

${\ displaystyle \ lim _ {x \ to -\ infty} F_ {X} (x) = 0 ، \ quad \ lim _ {x \ to +\ infty} F_ {X} (x) = 1.}$

هر تابع با این چهار ویژگی یک CDF است ، یعنی برای هر تابع از این قبیل می توان یک متغیر تصادفی را طوری تعریف کرد که تابع توابع توزیع تجمعی آن متغیر تصادفی باشد.

اگر $ایکس$ یک متغیر تصادفی کاملاً گسسته است ، سپس به مقادیر می رسد $x_ {1} ، x_ {2} ، \ ldot$ با احتمال ${\ displaystyle p_ {i} = p (x_ {i})}$ ، و CDF از $ایکس$ در نقاط ناپیوسته خواهد بود $x_ {i}$ :

p (x_ {i}).} ${\ displaystyle F_ {X} (x) = \ operatornname {P} (X \ leq x) = \ sum _ {x_ {i} \ leq x} \ operatorname {P} (X = x_ {i}) = \ جمع _ {x_ {i} \ leq x} p (x_ {i}).}$

اگر CDF $F_ {X}$ یک متغیر تصادفی با ارزش واقعی $ایکس$ است مستمر ، پس از آن $ایکس$ یک متغیر تصادفی پیوسته است ؛ اگر بعلاوه $F_ {X}$ است کاملا پیوسته باشد آنگاه یک وجود دارد لبسگو-انتگرال تابع $f_ {X} (x)$ به طوری که

${\ displaystyle F_ {X} (b) -F_ {X} (a) = \ operatornname {P} (a <X \ leq b) = \ int _ {a}^{b} f_ {X} (x) \ ، dx}$

برای همه اعداد واقعی $آ$ و $ب$ به کارکرد $f_X$ برابر است با مشتق از $F_ {X}$ تقریباً در همه جا ، و به آن تابع چگالی احتمال توزیع می گویند $ایکس$ به

مثالها [ ویرایش ]

به عنوان مثال فرض کنید $ایکس$ به طور یکنواخت در فاصله واحد توزیع می شود $[0،1]$ به

سپس CDF از $ایکس$ از رابطه زیر بدست می آید

${\ displaystyle F_ {X} (x) = {\ begin {case} 0 &: \ x <0 \\ x &: \ 0 \ leq x \ leq 1 \\ 1 &: \ x> 1 \ end {case}}}$

به جای آن فرض کنید $ایکس$ فقط مقادیر گسسته 0 و 1 را با احتمال مساوی می گیرد.

سپس CDF از $ایکس$ از رابطه زیر بدست می آید

${\ displaystyle F_ {X} (x) = {\ begin {case} 0 &: \ x <0 \\ 1/2 &: \ 0 \ leq x <1 \\ 1 &: \ x \ geq 1 \ end {case} }}$

فرض کنید $ایکس$ به صورت نمایی توزیع می شود سپس CDF از $ایکس$ از رابطه زیر بدست می آید

${\ displaystyle F_ {X} (x؛ \ lambda) = {\ begin {case} 1-e^{-\ lambda x} & x \ geq 0 ، \\ 0 & x <0. \ end {case}}}$

در اینجا λ> 0 پارامتر توزیع است که اغلب پارامتر نرخ نامیده می شود.

فرض کنید $ایکس$ است طبیعی توزیع . سپس CDF از $ایکس$ از رابطه زیر بدست می آید

${\ displaystyle F (x؛ \ mu، \ sigma) = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} \ int _ {-\ infty}^{x} \ exp \ left (-{\ frac {(t- \ mu) ^{2}} {2 \ sigma ^{2}}} \ \ راست) \، dt.}$

در اینجا پارامتر است $\ مو$ میانگین یا انتظار توزیع است ؛ و $\ سیگما$ انحراف معیار آن است.

فرض کنید $ایکس$ است دو جمله ای توزیع . سپس CDF از $ایکس$ از رابطه زیر بدست می آید

${\ displaystyle F (k؛ n، p) = \ Pr (X \ leq k) = \ sum _ {i = 0}^{\ l طبقه k \ rfloor} {n \ i} p^{i} (1 -p)^{ni}}$

اینجا $پ$ احتمال موفقیت است و تابع توزیع احتمال گسسته تعداد موفقیت ها را در یک دنباله نشان می دهد $n$ آزمایشات مستقل ، و ${\ displaystyle \ lfloor k \ rfloor \،}$ "طبقه" زیر است $ک$ یعنی بزرگترین عدد صحیح کمتر یا مساوی $ک$ به

توابع مشتق شده [ ویرایش ]

تابع توزیع تجمعی مکمل (توزیع دم) [ ویرایش ]

گاهی اوقات ، مطالعه س oppositeال مخالف و پرسیدن اینکه هر چند وقت یکبار متغیر تصادفی بالاتر از یک سطح خاص است مفید است. این تابع توزیع تجمعی مکمل ( ccdf ) یا توزیع یا فراتر رفتن دم نامیده می شود و به صورت زیر تعریف می شود:

${\ displaystyle {\ bar {F}} _ {X} (x) = \ operatorname {P} (X> x) = 1-F_ {X} (x).}$

به عنوان مثال ، این امر در آزمایش فرضیه های آماری کاربرد دارد ، زیرا مقدار p یک طرفه احتمال مشاهده یک آمار آزمون حداقل به همان اندازه شدید است که مشاهده شده است. بنابراین ، به شرطی که آمار آزمون ، T ، دارای توزیع مداوم باشد ، مقدار p یک طرفه به سادگی توسط ccdf داده می شود: برای یک مقدار مشاهده شده $t$ از آمار آزمون

$p = \ operatorname {P} (T \ geq t) = \ operatorname {P} (T> t) = 1-F_ {T} (t).$

در تجزیه و تحلیل بقا ، ${\ displaystyle {\ bar {F}} _ {X} (x)}$ است به نام تابع بقا و نشان داده می شود $S (x)$ ، در حالی که اصطلاح تابع قابلیت اطمینان در مهندسی رایج است .

جدول Z:

یکی از رایج ترین کاربردهای تابع توزیع تجمعی ، جدول عادی استاندارد است که به آن جدول عادی واحد یا جدول Z نیز گفته می شود ، [5] مقدار تابع توزیع تجمعی توزیع نرمال است. استفاده از جدول Z نه تنها در مورد احتمالات زیر مقداری که کاربرد اصلی تابع توزیع تجمعی است ، بلکه بیشتر و/یا بین مقادیر توزیع نرمال استاندارد نیز بسیار مفید است و به هر توزیع عادی نیز افزوده شد.

خواص

${\ displaystyle {\ bar {F}} _ {X} (x) \ leq {\ frac {\ operatorname {E} (X)} {x}}.}$
مانند ${\ displaystyle x \ to \ infty، {\ bar {F}} _ {X} (x) \ to 0 \}$ ، و در واقع ${\ displaystyle {\ bar {F}} _ {X} (x) = o (1/x)}$ به شرطی که $\ operatorname {E} (X)$ متناهی است

اثبات: [ نیازمند منبع ] با فرض $ایکس$ عملکرد تراکم دارد $f_X$ ، برای هرچی $c> 0$

${\ displaystyle \ operatorname {E} (X) = \ int _ {0}^{\ infty} xf_ {X} (x) \، dx \ geq \ int _ {0}^{c} xf_ {X} ( x) \، dx+c \ int _ {c}^{\ infty} f_ {X} (x) \، dx}$ سپس ، در تشخیص ${\ displaystyle {\ bar {F}} _ {X} (c) = \ int _ {c}^{\ infty} f_ {X} (x) \، dx}$ و تنظیم مجدد شرایط ،

${\ displaystyle 0 \ leq c {\ bar {F}} _ {X} (c) \ leq \ operatorname {E} (X)-\ int _ {0}^{c} xf_ {X} (x) \ ، dx \ to 0 {\ text {as}} c \ to \ infty}$ همانطور که ادعا شد

توزیع تجمعی تاشو [ ویرایش ]

نمونه ای از توزیع تجمعی جمع شده برای یک تابع توزیع نرمال با مقدار مورد انتظار 0 و انحراف استاندارد 1.

در حالی که نمودار یک توزیع تجمعی اغلب دارای شکل S است ، یک تصویر جایگزین توزیع تجمعی جمع شده یا نقشه کوهی است که نیمه بالای نمودار را تا می کند ، [7] [8] بنابراین از دو مقیاس ، یکی برای سراشیبی و دیگری برای سراشیبی. این شکل از تصویر بر میانه ، پراکندگی (به طور خاص ، میانگین انحراف مطلق از میانگین [9] ) و کج بودن توزیع یا نتایج تجربی تأکید می کند .

تابع توزیع معکوس (تابع کمی) [ ویرایش ]

مقاله اصلی: تابع کمی

اگر CDF F شدیداً در حال افزایش و پیوستگی است ، پس $F^{-1} (p) ، p \ در [0،1] ،$ عدد واقعی منحصر به فرد است $ایکس$ به طوری که $F (x) = p$ به در چنین حالتی، این تعریف تابع توزیع معکوس یا تابع چندک .

برخی از توزیع ها معکوس منحصر به فردی ندارند (برای مثال در مورد مواردی که $f_ {X} (x) = 0$ برای همه $a <x <b$ ، باعث $F_ {X}$ ثابت بودن) این مشکل را می توان با تعریف ، برای حل کرد $p \ در [0،1]$ ، تابع توزیع معکوس عمومی :

${\ displaystyle F^{-1} (p) = \ inf \ {x \ in \ mathbb {R}: F (x) \ geq p \}.}$

مثال 1: میانه است $F^{-1} (0.5)$ به
مثال 2: قرار دادن $\ tau = F^{-1} (0.95)$ به سپس تماس می گیریم $\ تاو$ صدک 95

برخی از خواص مفید cdf معکوس (که در تعریف تابع توزیع معکوس عمومی نیز حفظ شده است) عبارتند از:

$F^{-1}$ کم نمی شود
$F^{-1} (F (x)) \ leq x$
$F (F^{-1} (p)) \ geq p$
$F^{-1} (p) \ leq x$ اگر و تنها اگر ${\ displaystyle p \ leq F (x)}$
اگر $Y$ دارد $U [0،1]$ توزیع پس $F^{-1} (Y)$ به صورت توزیع می شود $اف$ به این در تولید اعداد تصادفی با استفاده از روش نمونه گیری تبدیل معکوس استفاده می شود.
اگر $\ {X _ {\ alpha} \}$ مجموعه ای مستقل است $اف$ -متغیرهای تصادفی توزیع شده در همان فضای نمونه تعریف شده ، سپس متغیرهای تصادفی وجود دارد $Y _ {\ alpha}$ به طوری که $Y _ {\ alpha}$ به صورت توزیع می شود $U [0،1]$ و $F^{-1} (Y _ {\ alpha}) = X _ {\ alpha}$ با احتمال 1 برای همه $\ آلفا$ به [ نیازمند منبع ]

معکوس cdf را می توان برای ترجمه نتایج بدست آمده برای توزیع یکنواخت به توزیع های دیگر استفاده کرد.

عملکرد توزیع تجربی [ ویرایش ]

تابع توزیع نمونهای برآورد تابع توزیع تجمعی که نقاط در نمونه تولید شده است. با احتمال 1 به توزیع زیرین همگرا می شود. تعدادی از نتایج برای تعیین میزان همگرایی تابع توزیع تجربی به تابع توزیع تجمعی زیر وجود دارد [ نیاز به استناد ] .

مورد چند متغیره [ ویرایش ]

تعریف دو متغیر تصادفی [ ویرایش ]

هنگام برخورد همزمان با بیش از یک متغیر تصادفی ، تابع توزیع تجمعی مشترک را نیز می توان تعریف کرد. به عنوان مثال ، برای یک جفت متغیر تصادفی $X ، Y$ ، CDF مشترک ${\ displaystyle F_ {XY}}$ توسط [3] داده شده است : p. 89

${\ displaystyle F_ {X، Y} (x، y) = \ operatornname {P} (X \ leq x، Y \ leq y)}$

( معادله 3 )

جایی که سمت راست نشان دهنده احتمال وجود متغیر تصادفی است $ایکس$ مقدار کمتر یا مساوی به خود می گیرد $ایکس$ و آن $Y$ مقدار کمتر یا مساوی به خود می گیرد $y$ به

نمونه ای از تابع توزیع تجمعی مشترک:

برای دو متغیر پیوسته X و Y : ${\ textstyle \ Pr (a <X <b {\ text {and}} c <Y <d) = \ int _ {a}^{b} \ int _ {c}^{d} f (x، y ) \، dy \، dx}$ ؛

برای دو متغیر تصادفی مجزا ، ایجاد یک جدول از احتمالات و پرداختن به احتمال تجمعی برای هر محدوده بالقوه X و Y مفید است ، و در اینجا مثال: [10]

با توجه به تابع جرم احتمال مشترک به شکل جدول ، تابع توزیع تجمعی مفصل را تعیین کنید.

	Y = 2	Y = 4	Y = 6	Y = 8
X = 1	0	0.1	0	0.1
X = 3	0	0	0.2	0
X = 5	0.3	0	0	0.15
X = 7	0	0	0.15	0

راه حل: با استفاده از جدول احتمالات داده شده برای هر محدوده بالقوه X و Y ، تابع توزیع تجمعی مشترک ممکن است به شکل جدول ساخته شود:

	Y <2	2 ≤ Y <4	4 ≤ Y <6	6 ≤ Y <8	Y ≤ 8
X <1	0	0	0	0	0
1 ≤ X <3	0	0	0.1	0.1	0.2
3 ≤ X <5	0	0	0.1	0.3	0.4
5 ≤ X <7	0	0.3	0.4	0.6	0.85
X ≤ 7	0	0.3	0.4	0.75	1

تعریف بیش از دو متغیر تصادفی [ ویرایش ]

برای $N$ متغیرهای تصادفی $X_1 ، \ ldots ، X_N$ ، CDF مشترک ${\ displaystyle F_ {X_ {1} ، \ ldots ، X_ {N}}}$ از رابطه زیر بدست می آید

${\ displaystyle F_ {X_ {1} ، \ ldots ، X_ {N}} (x_ {1} ، \ ldots ، x_ {N}) = \ نام اپراتور {P} (X_ {1} \ leq x_ {1} ، \ ldots ، X_ {N} \ leq x_ {n})}$

( معادله 4 )

تفسیر از $N$ متغیرهای تصادفی به عنوان بردار تصادفی ${\ displaystyle \ mathbf {X} = (X_ {1} ، \ ldots ، X_ {N})^{T}}$ نماد کوتاه تری به دست می دهد:

${\ displaystyle F _ {\ mathbf {X}} (\ mathbf {x}) = \ نام اپراتور {P} (X_ {1} \ leq x_ {1}، \ ldots، X_ {N} \ leq x_ {n}) }$

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی