فضای توپولوژیکی نوتری

توسط علی رضا نقش نیلچی | یکشنبه بیست و پنجم مهر ۱۴۰۰ | 20:55

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد
$Y_ {m} = Y_ {m+1} = Y_ {m+2} = \ cdots$ همان طور که خواسته شده.در ریاضیات ، یک فضای توپولوژیکی نوتری ، به نام امی نوتر ، یک فضای توپولوژیکی است که در آن زیر مجموعه های بسته شرایط زنجیره نزولی را برآورده می کنند . به طور معادل ، می توان گفت که زیر مجموعه های باز شرایط زنجیره صعودی را برآورده می کنند ، زیرا آنها مکمل زیر مجموعه های بسته هستند. ویژگی نوتری یک فضای توپولوژیکی را می توان به عنوان یک شرایط فشردگی قوی نیز در نظر گرفت ، یعنی هر زیر مجموعه باز چنین فضایی فشرده است و در واقع معادل این جمله به ظاهر قوی تر است که هر زیرمجموعه ای فشرده است.

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

یک فضای توپولوژیکی $ایکس$ اگر شرایط زنجیره نزولی برای زیر مجموعه های بسته را رعایت کند : برای هر دنباله ای نوتری نامیده می شود

$Y_ {1} \ supseteq Y_ {2} \ supseteq \ cdots$

از زیر مجموعه های بسته $Y_ {i}$ از $ایکس$ ، یک عدد صحیح وجود دارد $متر$ به طوری که $Y_ {m} = Y_ {m+1} = \ cdots.$

خواص [ ویرایش ]

یک فضای توپولوژیکی $ایکس$ نوتری است اگر و فقط اگر هر زیرفضا از $ایکس$ فشرده است (یعنی $ایکس$ به صورت ارثی فشرده است) ، و اگر و فقط اگر هر زیر مجموعه باز از $ایکس$ فشرده است [1]
هر زیرفضا از یک فضای نوتری نوئتری است.
تصویر پیوسته از یک فضای نوتریایی نوتریایی است. [2]
اتحادیه محدودی از زیرفضاهای نوتری از یک فضای توپولوژیکی نوتری است. [3]
هر فضای هاسدورف نوتری با توپولوژی گسسته محدود است .

اثبات: هر زیر مجموعه ای از X در یک فضای هاسدورف فشرده است ، بنابراین بسته است. بنابراین X دارای توپولوژی گسسته است و فشرده بودن آن باید محدود باشد.

هر فضای نوتری X دارای تعداد محدودی از اجزای غیرقابل کاهش است . [4] اگر اجزای غیر قابل کاهش باشند_ {1} ، ... ، $X_ {1} ، ... ، X_ {n}$ ، سپس = ${\ displaystyle X = X_ {1} \ cup \ cdots \ cup X_ {n}}$ ، و هیچ یک از اجزاء _ {i}} $X_ {i}$ در اتحاد اجزای دیگر موجود است.

از هندسه جبری [ ویرایش ]

بسیاری از نمونه های فضاهای توپولوژیکی نوتری از هندسه جبری می آیند ، جایی که برای توپولوژی زاریسکی یک مجموعه غیر قابل کاهش دارای ویژگی شهودی است که هر زیر مجموعه مناسب بسته ابعاد کوچکتری دارد. از آنجا که ابعاد تنها می تواند چند بار محدود به پایین بپرد و مجموعه های جبری از اتحادیه های محدود مجموعه های غیر قابل کاهش تشکیل شده اند ، زنجیره های نزولی مجموعه های بسته زاریسکی در نهایت باید ثابت باشند.

یک روش جبری بیشتر برای مشاهده این امر این است که ایده آل های مرتبط با تعریف مجموعه های جبری باید شرایط زنجیره صعودی را برآورده کنند . این به این دلیل است که حلقه های هندسه جبری ، در مفهوم کلاسیک ، حلقه های نوتری هستند . بنابراین این کلاس از مثالها همچنین نام را توضیح می دهد.

اگر R یک حلقه نوتریایی مبادله ای باشد ، Spec ( R ) ، طیف اصلی R ، یک فضای توپولوژیکی نوتری است. به طور کلی ، طرح نوتری یک فضای توپولوژیکی نوتری است. عکس آن صادق نیست ، زیرا Spec ( R ) یک حوزه ارزیابی تک بعدی R دقیقاً از دو نقطه تشکیل شده است و بنابراین نوتری است ، اما نمونه هایی از چنین حلقه هایی وجود دارد که نوتری نیستند.

مثال [ ویرایش ]

فضا $\ mathbb {A} _ {k}^{n}$ (وابسته $n$ -فضا روی یک میدان $ک$ ) تحت توپولوژی زاریسکی نمونه ای از یک فضای توپولوژیکی نوتری است. با خواص ایده آل زیرمجموعه ای از $\ mathbb {A} _ {k}^{n}$ ، ما می دانیم که اگر

$Y_ {1} \ supseteq Y_ {2} \ supseteq Y_ {3} \ supseteq \ cdots$

یک زنجیره نزولی از زیر مجموعه های بسته زاریسکی است ، بنابراین

$I (Y_ {1}) \ subseteq I (Y_ {2}) \ subseteq I (Y_ {3}) \ subseteq \ cdots$

زنجیره ای صعودی از ایده آل ها است $k [x_ {1} ، \ ldots ، x_ {n}].$ از آنجا که $k [x_ {1} ، \ ldots ، x_ {n}]$ یک حلقه نوتری است ، یک عدد صحیح وجود دارد $متر$ به طوری که

$I (Y_ {m}) = I (Y_ {m+1}) = I (Y_ {m+2}) = \ cdots.$

از آنجا که $V (I (Y))$ بسته شدن Y برای همه Y است ، $V (I (Y_ {i})) = Y_ {i}$ برای همه $من.$ از این رو

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Noetherian_topological_space

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی