ادامه فرمول بیکر - کمپبل

ادامه فرمول بیکر - کمپبل - هاسدورف

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه هشتم مهر ۱۴۰۰ | 14:57

سوالات همگرایی [ ویرایش ]

فرض کنید $ایکس$ و $Y$ ماتریس های زیر در جبر لی هستند ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} (2؛ \ mathbb {C})}$ (فضای $2 \ بار 2$ ماتریس با صفر کمی):

${\ displaystyle X = {\ begin {pmatrix} 0 &-\ pi \\\ pi & 0 \ end {pmatrix}}؛ \ quad Y = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$ به

سپس

${\ displaystyle e^{X} e^{Y} = {\ begin {pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} -1 & -1 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}.}$

بنابراین سخت نیست [20] نشان دهیم که ماتریسی وجود ندارد $Z$ که در ${\ displaystyle \ operatorname {sl} (2؛ \ mathbb {C})}$ با ${\ displaystyle e^{X} e^{Y} = e^{Z}}$ به (نمونه های مشابه ممکن است در مقاله وی یافت شود. [21] )

این مثال ساده نشان می دهد که نسخه های مختلف فرمول بکر-کمپل-هاسدورف ، که عبارات Z را بر اساس براکت های تکراری L و X و Y ارائه می دهند ، مجموعه های قدرت رسمی را توصیف می کنند که همگرایی آنها تضمین نشده است. بنابراین ، اگر کسی می خواهد Z عنصر واقعی جبر لی باشد که حاوی X و Y است (برخلاف سری قدرت رسمی) ، باید فرض کنیم که X و Yکوچک هستند. بنابراین ، این نتیجه گیری که عملکرد ضرب در گروه لی توسط جبر لی تعیین می شود ، فقط یک بیانیه محلی است. در واقع ، نتیجه نمی تواند جهانی باشد ، زیرا در سطح جهانی می توان گروه های لی غیر ایزومورف با جبرهای یکریختی لی داشت.

بطور خاص ، در صورت کار با ماتریس جبر لی و $\ | \ cdot \ |$ یک هنجار ماتریس زیر چند ضرب است ، همگرایی تضمین می شود [14] [22] اگر

${\ displaystyle \ | X \ |+\ | Y \ | <{\ frac {\ ln 2} {2}}.}$

موارد خاص [ ویرایش ]

اگر $ایکس$ و $Y$ رفت و آمد ، یعنی ${\ displaystyle [X، Y] = 0}$ ، فرمول بیکر - کمپل - هاسدورف به ${\ displaystyle e^{X} e^{Y} = e^{X+Y}}$ به

مورد دیگری چنین فرض می کند $[X ، Y]$ رفت و آمد با هر دو $ایکس$ و $Y$ ، و در مورد گروه قدرتمند هایزنبرگ . سپس فرمول به سه عبارت اول آن کاهش می یابد .

قضیه : [23] اگر $ایکس$ و $Y$ رفت و آمد با کموتاتور خود ، ${\ displaystyle [X، [X، Y]] = [Y، [X، Y]] = 0}$ ، سپس ${\ displaystyle e^{X} e^{Y} = e^{X+Y+{\ frac {1} {2}} [X، Y]}}$ به

این مورد انحطاطی است که به طور معمول در مکانیک کوانتوم استفاده می شود ، همانطور که در زیر نشان داده شده است. در این مورد ، هیچ محدودیت کوچکی در مورد وجود ندارد $ایکس$ و $Y$ به این نتیجه در پشت "روابط تسریع شده" است که وارد قضیه استون ون نیومن می شود . اثبات ساده این هویت در زیر آورده شده است.

یک فرم مفید دیگر از فرمول کلی بر توسعه بر حسب Y تأکید می کند و از علامت نگاشت مجاور استفاده می کند ${\ displaystyle \ operatorname {ad} _ {X} (Y) = [X، Y]}$ :

${\ displaystyle \ log (\ exp X \ exp Y) = X+{\ frac {\ operatornname {ad} _ {X}} {1-e^{-\ operatorname {ad} _ {X}}}} ~ Y +O \ left (Y^{2} \ right) = X+\ operatornname {ad} _ {X/2} (1+ \ coth \ operatorname {ad} _ {X/2}) ~ Y+O \ left ( Y^{2} \ راست) ،}$

که از فرمول انتگرال بالا آشکار است. (ضرایب جابجایی های تو در تو با یک $Y$ اعداد برنولی نرمال هستند.)

حال فرض کنید که کموتاتور مضرب چند است $Y$ ، به طوری که ${\ displaystyle [X، Y] = sY}$ به سپس همه کموتاتورهای تکراری چند برابر می شوند $Y$ ، و بدون عبارات درجه دوم یا بالاتر در $Y$ به نظر می رسد. بنابراین ${\ displaystyle O \ left (Y^{2} \ right)}$ عبارت بالا ناپدید می شود و به دست می آوریم:

قضیه : [24] اگر ${\ displaystyle [X، Y] = sY}$ ، جایی که $s$ یک عدد مختلط با ${\ displaystyle s \ neq 2 \ pi in}$ برای همه اعداد صحیح $n$ ، پس ما داریم

${\ displaystyle e^{X} e^{Y} = \ exp \ left (X+{\ frac {s} {1-e^{-s}}} Y \ right).}$

مجدداً ، در این مورد هیچ محدودیت کوچکی وجود ندارد $ایکس$ و $Y$ به محدودیت در $s$ تضمین می کند که عبارت سمت راست منطقی باشد. (چه زمانی $s = 0$ ممکن است تفسیر کنیم ${\ textstyle \ lim _ {s \ to 0} s/(1-e^{-s}) = 1}$ .) ما همچنین یک "هویت بافته" ساده به دست می آوریم:

${\ displaystyle e^{X} e^{Y} = e^{\ exp (s) Y} e^{X}،}$

که ممکن است به عنوان اتساع اضافی نوشته شود:

${\ displaystyle e^{X} e^{Y} e^{-X} = e^{\ exp (s) \، Y}.}$

نتایج موجود [ ویرایش ]

اگر $ایکس$ و $Y$ ماتریس هستند ، می توان محاسبه کرد ${\ displaystyle Z: = \ log \ left (e^{X} e^{Y} \ right)}$ استفاده از سری قدرت برای نمایی و لگاریتم ، با همگرایی سری اگر $ایکس$ و $Y$ به اندازه کافی کوچک هستند طبیعی است که همه اصطلاحات را در جایی که درجه کل در آن جمع شده است جمع آوری کنید $ایکس$ و $Y$ برابر یک عدد ثابت است $ک$ ، بیان کردن $z_ {k}$ به (به بخش "تصویر گروه لی ماتریکس" در بالا برای فرمول های چند مورد اول مراجعه کنید $z_ {k}$ 's.) اثبات قابل ملاحظه ای مستقیم و مختصر و بازگشتی که هر یک $z_ {k}$ از نظر کموتاتورهای مکرر از آن قابل بیان است $ایکس$ و $Y$ توسط مارتین ایشلر ارائه شد . [12]

متناوبا ، ما می توانیم یک استدلال وجودی را به شرح زیر ارائه دهیم. فرمول بیکر -کمپبل -هاوسدورف نشان می دهد که اگر X و Y در برخی از جبرهای لی باشند $\ mathfrak g ،$ بر روی هر زمینه مشخصه 0 مانند تعریف شده است $\ mathbb {R}$ یا $\ mathbb {C}$ ، سپس

${\ displaystyle Z = \ log (\ exp (X) \ exp (Y)) ،}$

به طور رسمی می تواند به عنوان یک مجموعه بی نهایت از عناصر نوشته شود ${\ mathfrak {g}}$ به [این سری بی نهایت ممکن است به هم نزدیک شوند یا نشوند ، بنابراین نیازی به تعریف یک عنصر واقعی Z در آن نیست ${\ mathfrak {g}}$ .] برای بسیاری از کاربردها ، اطمینان از وجود این عبارت رسمی کافی است ، و بیان صریح این مجموع بی نهایت لازم نیست. این به عنوان مثال در مورد ساختن لورنتس [25] نمایندگی گروه لی از نمایندگی جبر لی صادق است. وجود را می توان به صورت زیر مشاهده کرد.

ما حلقه را در نظر می گیریم ${\ displaystyle S = \ mathbb {R} [[X، Y]]}$ از همه سری قدرت رسمی غیر رفت و آمد با ضرایب حقیقی در غیر رفت و آمد متغیرهای X و Y . است وجود دارد همریخت حلقه از S به ضرب تانسوری از S با S بیش از R ،

${\ displaystyle \ Delta \ colon S \ to S \ otimes S}$ ،

ضرب مشترک نامیده می شود ، به طوری که

${\ displaystyle \ Delta (X) = X \ otimes 1+1 \ otimes X}$ و ${\ displaystyle \ Delta (Y) = Y \ otimes 1+1 \ otimes Y}$ به

(تعریف Δ با الزام R خطی ، چندگانگی و افزودنی بی نهایت به سایر عناصر S نیز گسترش می یابد .)

سپس می توان خواص زیر را تأیید کرد:

نقشه exp ، که توسط مجموعه استاندارد تیلور آن تعریف می شود ، یک بیهوده بین مجموعه عناصر S با مدت ثابت 0 و مجموعه عناصر S با مدت ثابت 1 است. معکوس exp log است
${\ displaystyle r = \ exp (s)}$ است شبه گروه (این یعنی ${\ displaystyle \ Delta (r) = r \ otimes r}$ ) اگر و تنها اگر بازدید کنندگان است بدوی (این یعنی ${\ displaystyle \ Delta (s) = s \ otimes 1+1 \ otimes s}$ )
عناصر گروه مانند یک گروه تحت ضرب را تشکیل می دهند.
عناصر بدوی هستند دقیقا مبالغ بی نهایت رسمی از عناصر جبر لی های تولید شده توسط X و Y ، که در آن براکت لی است که توسط داده کموتاتور ${\ displaystyle [U، V] = UV-VU}$ به ( قضیه فردریکس [16] [13] )

وجود فرمول کمپل -بکر -هاسدورف را می توان به صورت زیر مشاهده کرد: [13] عناصر X و Y اولیه هستند ، بنابراین ${\ displaystyle \ exp (X)}$ و ${\ displaystyle \ exp (Y)}$ شبیه گروه هستند ؛ بنابراین ضرب آنها ${\ displaystyle \ exp (X) \ exp (Y)}$ همچنین شبیه گروه است ؛ بنابراین لگاریتم آن ${\ displaystyle \ log (\ exp (X) \ exp (Y))}$ اولیه است ؛ و از این رو می توان آن را به عنوان یک مجموعه بی نهایت از عناصر جبر لی که توسط X و Y ایجاد می شود ، نوشت .

جبر پوشاند جهانی از رایگان جبر لی های تولید شده توسط X و Y متناظر به جبر از همه است چند جمله ای غیر رفت و آمد در X و Y . به طور مشترک با همه جبرهای پوششی جهانی ، دارای ساختار طبیعی جبر Hopf ، با ضرب مشترک Δ است. حلقه S استفاده شده در بالا فقط تکمیل این جبر Hopf است.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی