ریاضیات

اتصال مسیر [ ویرایش ]

این زیرفضای R مسیر به مسیر همبند است ، زیرا می توان مسیری را بین هر دو نقطه در فضا ترسیم کرد.

یک فضای همبند به مسیر تصور قوی تری از اتصال است که نیاز به ساختار یک مسیر دارد. مسیر از نقطه نظر X به یک نقطه Y در یک فضای توپولوژیک X یک تابع پیوسته است ƒ از فاصله واحد [0،1] به X با ƒ (0) = X و ƒ (1) = Y . مسیر جزء از X یک IS کلاس همارزی از X تحت رابطه هم ارزی که باعث می شود X به معادلy اگر مسیری از x به y وجود داشته باشد. گفته می شود که فضای X همبند به مسیر (یا همبند به مسیر یا 0 همبند ) است اگر دقیقاً یک جزء مسیر وجود داشته باشد ، یعنی اگر مسیری وجود داشته باشد که هر دو نقطه را در X به هم همبند می کند . مجدداً ، بسیاری از نویسندگان فضای تهی را حذف می کنند (البته توجه داشته باشید که با این تعریف ، فضای تهی به دلیل اینکه دارای صفر اجزای مسیر نیست ، به مسیر همبند نیست ؛ در گروه تهی یک رابطه معادل منحصر به فرد وجود دارد که دارای صفر کلاس هم ارزی است).

هر فضای همبند به مسیر همبند است. عکس همیشه صادق نیست: نمونه هایی از فضاهای همبند که به هم همبند نیستند شامل خط طولانی L * و منحنی سینوسی توپولوژیست است .

زیر مجموعه های خط واقعی R وصل می شوند اگر و فقط اگر به مسیر همبند باشند. این زیر مجموعه هستند فواصل از R . همچنین، زیر مجموعه باز از R N یا C N همبند هستند اگر و تنها اگر آنها مسیر همبند می شوند. علاوه بر این ، اتصال و اتصال مسیر برای فضاهای محدود توپولوژیکی یکسان است .

اتصال قوس [ ویرایش ]

فضای X گفته می شود قوس همبند و یا arcwise همبند اگر هر دو نقطه مجزا می تواند توسط یک پیوست قوس ، که به تعریف یک مسیر استکه همچنین جاسازی توپولوژیکی است . به صراحت ، یک مسیردر صورت نقشه نقشه ، قوس نامیده می شود یک همسانریختی ، که در آن خود را به تصویر دارای توپولوژی زیر فضایی است که توسط آن القا شده است

هر فضای Hausdorff که به مسیر همبند است نیز به صورت قوس همبند است. یک مثال از فضایی که همبند به مسیر است اما همبند به قوس نیست با افزودن نسخه دوم ارائه می شود از  به اعداد حقیقی غیر منفی یکی با مشخص کردن آن ، این مجموعه را با یک نظم جزئی تقدیم می کند  برای هر عدد مثبت  اما ترک کردن  و غیرقابل مقایسه سپس یکی این مجموعه را با توپولوژی ترتیب تقدیم می کند . یعنی یکی فواصل باز را می گیرد و فواصل نیمه باز  به عنوان پایه ای برای توپولوژی فضای به دست آمده یک فضای T 1 است اما یک فضای Hausdorff نیست . نقاط و  می تواند توسط یک مسیر همبند شود اما نه با یک قوس در این فضا.

ارتباط محلی [ ویرایش ]

مقاله اصلی: فضای همبند به محلی

گفته می شود که اگر هر محله ای از x شامل یک محله باز همبند باشد ، یک فضای توپولوژیکی به صورت محلی در یک نقطه x همبند می شود. اگر دارای پایه مجموعه های همبند باشد ، به صورت محلی همبند می شود . می توان نشان داد که یک فضای X به صورت محلی همبند است اگر و فقط اگر همه اجزای هر مجموعه باز X باز باشد.

به طور مشابه ، یک فضای توپولوژیکی گفته می شود اگر دارای پایه ای از مجموعه های همبند به مسیر باشد ، بصورت محلی همبند می شود. یک زیرمجموعه باز از یک فضای محلی همبند به مسیر در صورتی همبند می شود که فقط و فقط در صورت اتصال به مسیر باشد. این جمله قبلی را در موردR n وC n تعمیم می دهد، که هر کدام به صورت محلی به مسیر همبند هستند. به طور کلی ، هرمنیفولد توپولوژیکیبه صورت محلی به مسیر همبند است.

منحنی سینوسی توپولوژیست همبند است ، اما محلی همبند نیست

همبند محلی نه به معنای همبند است و نه همبند به مسیر محلی به معنای همبند است. یک مثال ساده از یک فضای محلی (و همبند به مسیر محلی) که همبند نیست (یا همبند به مسیر) اجتماع دو فواصل جدا شده در، مانند به

یک مثال کلاسیک از یک فضای همبند که به صورت محلی به هم همبند نیست منحنی سینوسی توپولوژیست است که به صورت زیر تعریف می شود، با توپولوژی اقلیدسی ناشی از گنجاندن دربه

تنظیم عملیات [ ویرایش ]

نمونه هایی از اجتماع ها و محل تلاقی مجموعه های همبند

اشتراک از مجموعه همبند لزوما همبند نیست.

اجتماع از مجموعه همبند لزوما همبند نیست، به عنوان را می توان با توجه به دیدهبه

هر بیضی یک مجموعه همبند است ، اما اجتماع همبند نیست ، زیرا می توان آن را به دو مجموعه باز جداگانه تقسیم کرد  و به

این بدان معنی است که اگر اجتماع  قطع می شود ، سپس مجموعه  می توان به دو مجموعه فرعی تقسیم کرد ، به طوری که اجتماع های زیر مجموعه ها از هم جدا شده و در (تصویر را ببینید). این به معنی این است که در موارد متعدد، یک اجتماع از مجموعه همبند است لزوما همبند می شود. به خصوص:

1. اگر اشتراک مشترک همه مجموعه ها تهی نباشد () ، بنابراین بدیهی است که آنها نمی توانند به مجموعه هایی با اجتماع های جدا از هم تقسیم شوند . بنابراین اجتماع مجموعه های همبند با اشتراک غیر تهی همبند است .
2. اگر اشتراک هر یک از مجموعه ها تهی نباشد () سپس آنها را نمی توان به مجموعه هایی با اجتماع های جدا از هم تقسیم کرد ، بنابراین اجتماع آنها باید همبند شود.
3. اگر مجموعه ها را می توان به عنوان "زنجیره پیوندی" سفارش داد ، یعنی با شاخص های صحیح نمایه شده و ، سپس دوباره اجتماع آنها باید همبند شود.
4. اگر مجموعه ها بصورت زوجی-جدا از هم و فضای ضریب باشد همبند است ، سپس X باید همبند شود. در غیر این صورت ، اگرپس جدایی X است جدایی از فضای ضریب است (از آنجا که جدا از هم هستند و در فضای ضریب باز می شوند). [6]

تفاوت مجموعه ای از مجموعه همبند لزوما همبند نیست. با این حال ، اگر و تفاوت آنها  قطع شده است (و بنابراین می توان آن را به صورت اجتماعی از دو مجموعه باز نوشت  و ) ، سپس اجتماع از  با هر یک از این اجزا همبند است (به عنوان مثال  برای همه همبند است )

اثبات [7]  -

با تناقض فرض کنید همبند نیست بنابراین می توان آن را به عنوان اجتماع دو مجموعه باز جدا از هم نوشت ، به عنوان مثالبه زیرا همبند است ، باید بگوییم که باید به طور کامل در یکی از این اجزا باشد ، و بنابراین  موجود است در به اکنون می دانیم که:

دو مجموعه در اجتماع گذشته از هم جدا شده و باز هستند ، بنابراین جدایی از وجود دارد ، در تضاد با این واقعیت است که  وصل است.

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Connected_space