مسیر (توپولوژی)

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه هشتم مهر ۱۴۰۰ | 1:22

نقاطی که توسط مسیری از $آ$ به $ب$ که در ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{2}.}$ با این حال ، مسیرهای مختلف می توانند مجموعه ای از نقاط مشابه را ردیابی کنند.

در ریاضیات ، مسیری در فضای توپولوژیکی $ایکس$ یک تابع پیوسته از فاصله واحد بسته است $[0،1]$ به $ایکس.$

مسیرها در زمینه توپولوژی و تحلیل ریاضی نقش مهمی ایفا می کنند . به عنوان مثال ، یک فضای توپولوژیکی که مسیری برای اتصال هر دو نقطه برای آن وجود دارد گفته می شود که متصل به مسیر است . هر فضایی ممکن است به اجزای متصل به مسیر تقسیم شود . مجموعه ای از اجزای متصل به مسیر یک فضا $ایکس$ اغلب نشان داده می شود ${\ displaystyle \ pi _ {0} (X).}$

همچنین می توان مسیرها و حلقه هایی را در فضاهای نوک تیز تعریف کرد که در نظریه هموتوپی مهم هستند . اگر $ایکس$ یک فضای توپولوژیکی با نقطه پایه است $x_0 ،$ سپس مسیری در $ایکس$ یکی است که نقطه اولیه آن است $x_ {0}$ به به همین ترتیب ، یک حلقه وارد شوید $ایکس$ یکی است که بر اساس آن است $x_ {0}$ به

فهرست

تعریف [ ویرایش ]

منحنی در یک فضای توپولوژیک $ایکس$ یک تابع پیوسته است ${\ displaystyle f: J \ to X}$ از یک فاصله غیر خالی و غیر انحطاط ${\ displaystyle J \ subseteq \ mathbb {R}.}$ مسیر در $ایکس$ یک منحنی است ${\ displaystyle f: [a، b] \ to X}$ دامنه آن $[الف ، ب]$ یک فاصله فشرده غیر انحطاط پذیر است (به معنی $a <b$ اعداد واقعی هستند ) ، جایی که $f (a)$ نقطه اولیه مسیر نامیده می شود و $f (ب)$ نقطه پایانی آن نامیده می شود . مسیر از $ایکس$ به $y$ مسیری است که نقطه اولیه آن است $ایکس$ و نقطه پایانی آن کدام است {\ displaystyle y.} $y$ هر فاصله فشرده غیر انحطاط پذیر $[الف ، ب]$ است homeomorphic به ${\ displaystyle [0،1] ،}$ به همین دلیل است که گاهی اوقات یک مسیر ، به ویژه در نظریه هموتوپی ، یک تابع پیوسته تعریف می شود ${\ displaystyle f: [0،1] \ به X}$ از فاصله واحد بسته ${\ displaystyle I: = [0،1]}$ به {\ displaystyle X.} $ایکس.$ قوس یا C 0 قوسی با آرگون در $ایکس$ راهی است در $ایکس$ که همچنین جاسازی توپولوژیکی است .

نکته مهم این است که یک مسیر فقط زیرمجموعه ای از آن نیست $ایکس$ که "شبیه" یک منحنی است ، همچنین شامل پارامترسازی است . به عنوان مثال ، نقشه ها $f (x) = x$ و $g (x) = x^2$ نشان دهنده دو مسیر مختلف از 0 تا 1 در خط واقعی است.

یک حلقه در یک فضا{\ displaystyle X} $ایکس$ بر اساس در {\ displaystyle x \ in X} $x \ در X$ راهی است از {\ displaystyle x} $ایکس$ به {\ displaystyle x.} $ایکس.$ یک حلقه ممکن است به همان اندازه به عنوان یک نقشه در نظر گرفته شود {\ displaystyle f: [0،1] \ به X} ${\ displaystyle f: [0،1] \ به X}$ با {\ displaystyle f (0) = f (1)} ${\ displaystyle f (0) = f (1)}$ یا به صورت نقشه پیوسته از دایره واحد $S^{1}$ به $ایکس$

${\ displaystyle f: S^{1} \ to X.}$

این به دلیل این هست که {\ displaystyle S^{1}} $S^{1}$ است فضای خارج قسمت از{\ displaystyle I = [0،1]} ${\ displaystyle I = [0،1]}$ چه زمانی {\ displaystyle 0} ${\ displaystyle 0}$ با شناسایی می شود {\ displaystyle 1.} $1$ مجموعه همه حلقه ها در {\ displaystyle X} $ایکس$ به شکل یک فضای به نام حلقه در فضا از{\ displaystyle X.} $ایکس.$

یکنواختی مسیرها [ ویرایش ]

مقاله اصلی: هموتوپی

هموتوپی بین دو مسیر.

مسیرها و حلقه ها موضوعات اصلی مطالعه در شاخه توپولوژی جبری به نام نظریه هموتوپی هستند . هموتوپی از مسیرهای باعث می شود دقیق مفهوم به طور مداوم تغییر شکل یک مسیر در حالی که نقاط انتهایی آن ثابت شده است.

به طور خاص ، هموتوپی از مسیرها ، یا مسیر هموتوپی ، در{\ displaystyle X} $ایکس$ خانواده ای از مسیرها است {\ displaystyle f_ {t}: [0،1] \ به X} ${\ displaystyle f_ {t}: [0،1] \ به X}$ نمایه شده توسط {\ displaystyle I = [0،1]} ${\ displaystyle I = [0،1]}$ به طوری که

{\ displaystyle f_ {t} (0) = x_ {0}} ${\ displaystyle f_ {t} (0) = x_ {0}}$ و {\ displaystyle f_ {t} (1) = x_ {1}} ${\ displaystyle f_ {t} (1) = x_ {1}}$ ثابت هستند
نقشه {\ displaystyle F: [0،1] \ بار [0،1] \ تا X} ${\ displaystyle F: [0،1] \ بار [0،1] \ تا X}$ داده شده توسط {\ displaystyle F (s، t) = f_ {t} (s)} ${\ displaystyle F (s، t) = f_ {t} (s)}$ پیوسته است

مسیرها {\ displaystyle f_ {0}} $f_ {0}$ و {\ displaystyle f_ {1}} $f_ {1}$ گفته می شود که با هموتوپی متصل می شوند هموتوپیک (یا دقیق تر مسیر-هموتوپی ، برای تمایز بین رابطه تعریف شده در تمام توابع پیوسته بین فضاهای ثابت). به همين ترتيب مي توان يك حلقه حلقه اي را كه نقطه پايه را ثابت نگه مي دارد ، تعريف كرد.

رابطه همجنس بودن یک رابطه هم ارز در مسیرهای یک فضای توپولوژیکی است. کلاس همارزی از یک مسیر{\ displaystyle f} $f$ در زیر این رابطه است به نام کلاس های homotopy از{\ displaystyle f،} $f ،$ اغلب نشان داده می شود {\ displaystyle [f].} ${\ displaystyle [f].}$

ترکیب مسیر [ ویرایش ]

می توان مسیرهایی را در فضای توپولوژیکی به روش زیر نوشت. فرض کنید{\ displaystyle f} $f$ راهی است از {\ displaystyle x} $ایکس$ به {\ displaystyle y} $y$ و {\ displaystyle g} $گرم$ راهی است از {\ displaystyle y} $y$ به {\ displaystyle z} $z$ به مسیر{\ displaystyle fg} ${\ displaystyle fg}$ به عنوان مسیری که با اولین پیمایش به دست می آید تعریف می شود {\ displaystyle f} $f$ و سپس پیمایش {\ displaystyle g} $گرم$ :

{\ displaystyle fg (s) = {\ begin {case} f (2s) & 0 \ leq s \ leq {\ frac {1} {2}} \\ g (2s-1) & {\ frac {1} { 2}} \ leq s \ leq 1. \ end {case}}} ${\ displaystyle fg (s) = {\ begin {case} f (2s) & 0 \ leq s \ leq {\ frac {1} {2}} \\ g (2s-1) & {\ frac {1} { 2}} \ leq s \ leq 1. \ end {case}}}$

به وضوح ترکیب مسیر تنها زمانی تعریف می شود که نقطه پایانی {\ displaystyle f} $f$ منطبق با نقطه اولیه است {\ displaystyle g.} $گرم$ اگر همه حلقه ها بر اساس یک نقطه در نظر گرفته شوند {\ displaystyle x_ {0} ،} $x_0 ،$ سپس ترکیب مسیر یک عملیات دوتایی است .

ترکیب مسیر ، هر زمان که تعریف شود ، به دلیل تفاوت در پارامتریزاسیون ، تداعی کننده نیست . با این حال ، تا مسیر هموتوپی همراه است. به این معنا که،{\ displaystyle [(fg) h] = [f (gh)].} ${\ displaystyle [(fg) h] = [f (gh)].}$ ترکیب مسیر ، ساختار گروهی را بر روی مجموعه ای از حلقه های هموتوپی که بر اساس یک نقطه تعریف شده است ، تعریف می کند{\ displaystyle x_ {0}} $x_ {0}$ که در {\ displaystyle X.} $ایکس.$ گروه حاصل به نام گروه اساسی از{\ displaystyle X} $ایکس$ بر اساس در {\ displaystyle x_ {0} ،} $x_0 ،$ معمولاً نشان داده می شود {\ displaystyle \ pi _ {1} \ چپ (X ، x_ {0} \ راست).} ${\ displaystyle \ pi _ {1} \ چپ (X ، x_ {0} \ راست).}$

در موقعیت هایی که خواستار همراهی ترکیب مسیر "روی بینی" می شوند ، راهی در {\ displaystyle X} $ایکس$ در عوض ممکن است به عنوان یک نقشه پیوسته از فاصله تعریف شود {\ displaystyle [0، a]} ${\ displaystyle [0، a]}$ به {\ displaystyle X} $ایکس$ برای هر واقعی {\ displaystyle a \ geq 0.} ${\ displaystyle a \ geq 0.}$ یک مسیر {\ displaystyle f} $f$ از این نوع طول دارد {\ displaystyle | f |} $| f |$ که تعریف میشود {\ displaystyle a.} $آ.$ سپس ترکیب مسیر مانند قبل با اصلاح زیر تعریف می شود:

{\ displaystyle fg (s) = {\ begin {case} f (s) & 0 \ leq s \ leq | f | \\ g (s- | f |) & | f | \ leq s \ leq | f |+ | g | \ end {case}}} ${\ displaystyle fg (s) = {\ begin {case} f (s) & 0 \ leq s \ leq | f | \\ g (s- | f |) & | f | \ leq s \ leq | f |+ | g | \ end {case}}}$

در حالی که با تعریف قبلی ، {\ displaystyle f،} $f ،$ {\ displaystyle g} $گرم$ ، و {\ displaystyle fg} ${\ displaystyle fg}$ همه طول دارند {\ displaystyle 1} $1$ (طول دامنه نقشه) ، این تعریف باعث می شود {\ displaystyle | fg | = | f |+| g |.}} ${\ displaystyle | fg | = | f |+| g |.}}$ آنچه باعث تداعی در تعریف قبلی شد این است که اگرچه {\ displaystyle (fg) h} ${\ displaystyle (fg) h}$ و {\ displaystyle f (gh)} ${\ displaystyle f (gh)}$ دارای طول یکسان ، یعنی {\ displaystyle 1،} $1 ،$ نقطه میانی از {\ displaystyle (fg) h} ${\ displaystyle (fg) h}$ بین رخ داده است {\ displaystyle g} $گرم$ و {\ displaystyle h،} $ساعت ،$ در حالی که نقطه میانی از {\ displaystyle f (gh)} ${\ displaystyle f (gh)}$ بین رخ داده است {\ displaystyle f} $f$ و {\ displaystyle g} $گرم$ به با این تعریف اصلاح شده{\ displaystyle (fg) h} ${\ displaystyle (fg) h}$ و {\ displaystyle f (gh)} ${\ displaystyle f (gh)}$ دارای طول یکسان ، یعنی {\ displaystyle | f |+| g |+| h |،} ${\ displaystyle | f |+| g |+| h |،}$ و همان نقطه میانی ، پیدا شده در {\ displaystyle \ left (| f |+| g |+| h | \ right)/2} ${\ displaystyle \ left (| f |+| g |+| h | \ right)/2}$ در هر دو {\ displaystyle (fg) h} ${\ displaystyle (fg) h}$ و {\ displaystyle f (gh)} ${\ displaystyle f (gh)}$ ؛ به طور کلی آنها پارامتریزاسیون یکسانی در سرتاسر خود دارند.

گروه بنیادی [ ویرایش ]

یک تصویر دسته بندی شده از مسیرها وجود دارد که گاهی مفید است. هر فضای توپولوژیکی{\ displaystyle X} $ایکس$ باعث ایجاد مقوله ای می شود که در آن اشیاء نقاط مورد نظر هستند{\ displaystyle X} $ایکس$ و مورفیسم ها کلاسهای یکنواخت مسیرها هستند. از آنجا که هر گونه ریخت شناسی در این دسته ایزومورفیسم است ، این دسته یک گروپوئید است که گروپوئید بنیادی نامیده می شود .{\ displaystyle X.} $ایکس.$ حلقه های این دسته اندومورفیسم ها هستند (که همه آنها در واقع خودشکلی هستند ). گروه automorphism از یک نقطه{\ displaystyle x_ {0}} $x_ {0}$ که در {\ displaystyle X} $ایکس$ فقط گروه اساسی است که در آن مستقر شده است {\ displaystyle x_ {0}} $x_ {0}$ به به طور کلی ، می توان گروه اصلی را در هر زیرمجموعه ای تعریف کرد{\ displaystyle A} $آ$ از {\ displaystyle X ،} $ایکس،$ با استفاده از کلاسهای هموتوپی مسیرهای اتصال نقاط {\ displaystyle A.} $آ.$ این برای قضیه ون کامپن مناسب است .

همچنین ببینید [ ویرایش ]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Path_(topology)

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی