ادامه قضایای ایزومورفیسم یا قضایای یکریختی

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه ششم مهر ۱۴۰۰ | 23:30

ماژول ها [ ویرایش ]

گزاره های قضایای ایزومورفیسم برای ماژول ها به ویژه ساده است ، زیرا امکان ایجاد یک ماژول ضریب از هر زیرگونه وجود دارد . قضایای ایزومورفیسم برای فضاهای بردار (ماژول های یک میدان) و گروه های ابلیان (ماژول های بیش از $\ mathbb {Z}$ ) موارد خاصی از این موارد است. برای فضاهای بردار ابعاد محدود ، همه این قضایا از قضیه درجه-باطل ناشی می شوند .

در ادامه ، "module" به معنی " R -module" برای برخی از حلقه های ثابت R است .

قضیه A (ماژول ها) [ ویرایش ]

اجازه دهید M و N می باشد ماژول، و اجازه دهید φ : M → N یک همریخت ماژول . سپس:

هسته از φ submodule است M ،
تصویر از φ submodule است N ، و
تصویر φ نسبت به ماژول ضریب M / ker ( φ ) ایزومورف است .

به طور خاص ، اگر φ به صورت موضعی باشد ، N نسبت به M / ker ( φ ) ایزومورف است .

قضیه B (ماژول ها) [ ویرایش ]

اجازه دهید M یک ماژول باشد ، و S و T زیرمودولهای M باشند . سپس:

مجموع S + T = { s + t | s ∈ S ، t ∈ T } زیرمجموعه M است ،
تقاطع S ∩ T یک زیر واحد از M است و
ماژول های عامل ( S + T ) / T و S / ( S ∩ T ) ایزومورف هستند.

قضیه C (ماژول ها) [ ویرایش ]

بگذارید M یک ماژول باشد ، T یک زیرمجموعه M باشد.

اگر $س$ زیرمجموعه ای از $م$ به طوری که $T \ subseteq S \ subseteq M$ ، سپس $S/T$ زیرمجموعه ای از $M/T$ به
هر زیرمدل از $M/T$ از شکل است $S/T$ ، برای برخی از زیرمجموعه ها $س$ از $م$ به طوری که $T \ subseteq S \ subseteq M$ به
اگر $س$ زیرمجموعه ای از $م$ به طوری که $T \ subseteq S \ subseteq M$ ، سپس ماژول ضریب $(M/T)/(S/T)$ ایزومورفیک است به $خانم$ به

قضیه D (ماژول ها) [ ویرایش ]

اجازه دهید $م$ یک ماژول باشد ، $N$ یک زیرمجموعه از $م$ به بین زیرمجموعه های یک تخلف وجود دارد $م$ که حاوی $N$ و زیرمجموعه های $M/N$ به مکاتبات توسط ${\ displaystyle A \ leftrightarrow A/N}$ برای همه ${\ displaystyle A \ supseteq N}$ به این مکاتبات با فرایندهای جمع و تقاطع (یعنی یک ایزومورفیسم مشبک بین شبکه زیرمودولهای $M/N$ و شبکه زیرمودولهای از $م$ که حاوی $N$ ) [14]

جبر جهانی [ ویرایش ]

برای تعمیم این امر به جبر جهانی ، زیر گروه های عادی باید با روابط متناظر جایگزین شوند .

تجانس در جبر $آ$ یک رابطه معادل است ${\ displaystyle \ Phi \ subseteq A \ times A}$ که یک زیرجلب از $A \ بار A$ به عنوان یک جبر با عملیات جزء در نظر گرفته می شود. می توان مجموعه ای از کلاس های معادل سازی ایجاد کرد $A/\ Phi$ جبر همان نوع با تعریف عملیات از طریق نمایندگان ؛ این از آن زمان به خوبی مشخص خواهد شد $\ فی$ یک زیر جبر از است $A \ بار A$ به ساختار حاصله جبر ضریب است .

قضیه A (جبر جهانی) [ ویرایش ]

اجازه دهید $f: A \ rightarrow B$ همومورفیسم جبری باشد سپس تصویر از $f$ یک زیر جبر از است $ب$ ، رابطه داده شده توسط $\ phi: f (x) = f (y)$ (یعنی هسته از $f$ ) مطابقت دارد $آ$ ، و جبر $\ A/\ Phi \$ و $\ operatorname {im} f$ ایزومورف هستند (توجه داشته باشید که در مورد گروه ، $f (x) = f (y)$ iff ${\ displaystyle f \ left (xy^{-1} \ right) = 1}$ بنابراین ، می توان مفهوم هسته مورد استفاده در نظریه گروه را در این مورد بازیابی کرد.)

قضیه B (جبر جهانی) [ ویرایش ]

با توجه به جبر {\ displaystyle A} $آ$ ، یک زیر جبر {\ displaystyle B} $ب$ از {\ displaystyle A} $آ$ ، و یک همخوانی {\ displaystyle \ Phi} $\ فی$ بر {\ displaystyle A} $آ$ ، اجازه دهید {\ displaystyle \ Phi _ {B} = \ Phi \ cap (B \ بار B)} $\ Phi _ {B} = \ Phi \ cap (B \ بار B)$ ردی از {\ displaystyle \ Phi} $\ فی$ که در {\ displaystyle B} $ب$ و {\ displaystyle [B]^{\ Phi} = \ {K \ in A/\ Phi: K \ cap B \ neq \ vacyset \}} $[B]^{\ Phi} = \ {K \ in A/\ Phi: K \ cap B \ neq \ vacyset \}$ مجموعه ای از کلاس های معادل سازی که متقاطع هستند {\ displaystyle B} $ب$ به سپس

$\ Phi _ {B}$ مطابقت دارد {\ displaystyle B} $ب$ ،
$\ [B]^{\ Phi}$ یک زیر جبر از است {\ displaystyle A/\ Phi} $A/\ Phi$ ، و
جبر {\ displaystyle [B]^{\ Phi}} $[B]^{\ Phi}$ در جبر همسان است {\ displaystyle B/\ Phi _ {B}} $B/\ Phi _ {B}$ به

قضیه C (جبر جهانی) [ ویرایش ]

اجازه دهید {\ displaystyle A} $آ$ جبر باشد و {\ displaystyle \ Phi، \ Psi} $\ فی ، \ سای$ دو رابطه همخوانی در {\ displaystyle A} $آ$ به طوری که {\ displaystyle \ Psi \ subseteq \ Phi} $\ Psi \ subseteq \ Phi$ به سپس{\ displaystyle \ Phi /\ Psi = \ {([a '] _ {\ Psi}، [a' '] _ {\ Psi}) :( a'، a '') \ in \ Phi \} = [ \] _ {\ Psi} \ circ \ Phi \ circ [\] _ {\ Psi}^{-1}} $\ Phi /\ Psi = \ {([a '] _ {\ Psi} ، [a' '] _ {\ Psi}) :( a'، a '') \ در \ Phi \} = [\] _ {\ Psi} \ circ \ Phi \ circ [\] _ {\ Psi}^{{-1}}$ مطابقت دارد {\ displaystyle A/\ Psi} $A/\ Psi$ ، و {\ displaystyle A/\ Phi} $A/\ Phi$ ایزومورفیک است به {\ displaystyle (A/\ Psi)/(\ Phi/\ Psi)} $(A/\ Psi)/(\ Phi/\ Psi)$ به

قضیه D (جبر جهانی) [ ویرایش ]

اجازه دهید {\ displaystyle A} $آ$ جبر باشد و نشان دهد {\ displaystyle \ operatorname {Con} A} ${\ displaystyle \ operatorname {Con} A}$ مجموعه همه سازگاری ها در {\ displaystyle A} $آ$ به مجموعه {\ displaystyle \ operatorname {Con} A} ${\ displaystyle \ operatorname {Con} A}$ یک شبکه کامل است که با گنجاندن سفارش داده شده است. [15] اگر{\ displaystyle \ Phi \ in \ operatorname {Con} A} ${\ displaystyle \ Phi \ in \ operatorname {Con} A}$ یک همخوانی است و ما با آن نشان می دهیم {\ displaystyle \ left [\ Phi، A \ times A \ right] \ subseteq \ operatorname {Con} A} ${\ displaystyle \ left [\ Phi، A \ times A \ right] \ subseteq \ operatorname {Con} A}$ مجموعه ای از همه همسانی که شامل می شوند {\ displaystyle \ Phi} $\ فی$ (یعنی {\ displaystyle \ left [\ Phi، A \ times A \ right]} ${\ displaystyle \ left [\ Phi، A \ times A \ right]}$ یک فیلتر اصلی در{\ displaystyle \ operatorname {Con} A} ${\ displaystyle \ operatorname {Con} A}$ ، علاوه بر این یک شبکه فرعی است) ، سپس نقشه {\ displaystyle \ alpha: \ left [\ Phi، A \ times A \ right] \ to \ operatorname {Con} (A /\ Phi)، \ Psi \ mapsto \ Psi /\ Phi} ${\ displaystyle \ alpha: \ left [\ Phi، A \ times A \ right] \ to \ operatorname {Con} (A /\ Phi)، \ Psi \ mapsto \ Psi /\ Phi}$ ایزومورفیسم مشبک است [16] [17]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Isomorphism_theorems

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی