ریاضیات

مجموعه مندلبرو

بزرگنمایی مجموعه مندلبروت

در ریاضیات ، فرکتال زیرمجموعه ای از فضای اقلیدسی با ابعاد فراکتالی است که از بعد توپولوژیکی آن به شدت فراتر می رود . فراکتال ها در مقیاس های مختلف یکسان به نظر می رسند ، همانطور که در بزرگنمایی های پی در پی مجموعه مندل بروت نشان داده شده است . [1] [2] [3] [4] فراکتالها اغلب الگوهای مشابهی را در مقیاس های کوچکتر نشان می دهند ، ویژگی ای که به آن شباهت شخصی گفته می شود ، همچنین به عنوان گسترش تقارن یا باز شدن تقارن شناخته می شود. اگر این تکرار در هر مقیاس دقیقاً مشابه اسفنج منگر باشد ، [5]به آن affine self-similar گفته می شود. هندسه فراکتال در شاخه ریاضی نظریه اندازه گیری نهفته است .

یکی از تفاوت های فراکتالها با اشکال هندسی محدود نحوه مقیاس بندی آنهاست . دو برابر شدن طول لبه های چند ضلعی مساحت آن را چهار برابر می کند ، یعنی دو (نسبت طول جدید به قدیم ضلع قدیم) به توان دو افزایش می یابد (بعد فضایی که چند ضلعی در آن قرار دارد). به همین ترتیب ، اگر شعاع یک کره دو برابر شود ، حجم آن هشت برابر می شود که دو (نسبت شعاع جدید به قدیم) به توان سه است (ابعادی که کره در آن قرار دارد). با این حال ، اگر طول یک بعدی یک فراکتال همه دو برابر شود ، محتوای فضایی مقیاس های فراکتال با قدرتی که لزوما یک عدد صحیح نیست . [1] به این قدرت the می گویندبعد فراکتال فرکتال ، و معمولاً از بعد توپولوژیکی فراکتال فراتر می رود . [6]

از لحاظ تحلیلی ، اکثر فرکتال ها هیچ جا قابل تفکیک نیستند . [1] [4] [7] منحنی فراکتال نامتناهی را می توان به صورت پیچشی در فضا متفاوت از یک خط معمولی تصور کرد-اگرچه هنوز از نظر توپولوژیکی 1 بعدی است ، اما ابعاد فراکتالی آن نشان می دهد که شبیه یک سطح نیز می باشد. [1] [6]

فرش سیرپینسکی (سطح 6) ، فرکتال با بعد توپولوژیکی 1 و بعد هاسدورف 1.893

از قرن هفدهم با مفاهیم بازگشت ، فراکتال ها از طریق روش ریاضی شدیدتر به مطالعه عملکردهای پیوسته اما غیرقابل تمایز در قرن نوزدهم توسط کارهای بنیادی برنارد بولزانو ، برنهارد ریمان و کارل وایرشتراس ، پرداختند [8] و در مورد ایجاد کلمه فراکتال در قرن 20 با افزایش علاقه به فراکتال و مدل سازی مبتنی بر رایانه در قرن 20. [9] [10] اصطلاح "فراکتال" اولین بار توسط بنوآ مندل بروت ریاضیدان استفاده شددر 1975. مندلبروت آن را بر اساس لاتین frāctus ، به معنی "شکسته" یا "شکسته" ، و از آن برای گسترش مفهوم ابعاد کسری نظری به الگوهای هندسی در طبیعت استفاده کرد . [1] [11]

در مورد اینکه چگونه باید مفهوم فراکتال به طور رسمی تعریف شود ، بین ریاضیدانان اختلاف نظر وجود دارد. خود مندل بروت آن را به عنوان "زیبا ، سخت ، بسیار مفید ، خلاصه کرد. این فراکتال است". [12] به طور رسمی ، در سال 1982 مندلبروت فراکتال را به شرح زیر تعریف کرد : "فرکتال بنا به تعریف مجموعه ای است که بعد هاوسدورف -بیسیکوویچ برای آن به شدت از بعد توپولوژیکی فراتر می رود ." [13] بعداً ، با مشاهده این امر بسیار محدود کننده ، وی تعریف را ساده و بسط داد: "فرکتال شکلی است که از برخی قسمت ها شبیه به کل است." [14] بعداً ، مندلبروت پیشنهاد کرد "از فراکتال بدون تعریف پدانت استفاده شود.ابعاد فراکتال به عنوان یک اصطلاح عمومی قابل استفاده برای همه انواع ". [15]

اجماع بین ریاضیدانان این است که فراکتال های نظری بی نهایت شبیه به هم هستند ، ساختارهای ریاضی تکرار شونده و دارای ابعاد فراکتال هستند که نمونه های زیادی از آنها تدوین و مطالعه شده است. [1] [2] [3] فراکتالها محدود به الگوهای هندسی نیستند ، بلکه می توانند فرایندها را به موقع توصیف کنند. [5] [4] [16] [17] [18] [19] الگوهای فراکتال با درجات مختلف شباهت به خود در رسانه های بصری ، فیزیکی و شنوایی ارائه شده یا مورد مطالعه قرار گرفته است [20] و در طبیعت یافت می شود ، [21 ] [22] [23] [24] [25] فناوری، [26] [27] [28] [29] هنر ، [30] [31] معماری [32] و حقوق . [33] فراکتالها در زمینه نظریه هرج و مرج از اهمیت ویژه ای برخوردارند زیرا نمودارهای اکثر فرایندهای آشفته فرکتال هستند. [34] بسیاری از شبکه های واقعی و مدل دارای ویژگی های فراکتال مانند شباهت به خود هستند. [35] [36] [37]

فهرست

• 1معرفی
• 2تاریخ
• 3تعریف و ویژگیها
• 4تکنیک های متداول برای تولید فراکتال
• 5فراکتال های شبیه سازی شده
• 6پدیده های طبیعی با ویژگی های فراکتال
  • 6.1فراکتال در زیست شناسی سلولی
• 7در کارهای خلاقانه
• 8پاسخ های فیزیولوژیکی
• 9کاربردهای فناوری
  • 9.1پیشرانه یونی
• 10همچنین ببینید
• 11یادداشت
• 12منابع
• 13خواندن بیشتر
• 14لینک های خارجی

مقدمه [ ویرایش ]

یک درخت فراکتال ساده

کلمه "فراکتال" غالباً درمقابل ریاضیدانان برای عامه مردم معنای متفاوتی دارد ، جایی که عموم مردم بیشتر با هنر فراکتال آشنا هستند تا مفهوم ریاضی. تعریف مفهوم ریاضی حتی برای ریاضیدانان دشوار است ، اما ویژگیهای کلیدی را می توان با کمی زمینه ریاضی درک کرد.

به عنوان مثال ، ویژگی "شباهت به خود" به آسانی با بزرگنمایی با لنز یا دستگاه دیگری که روی تصاویر دیجیتال زوم می کند ، برای کشف ساختار جدید ظریف و نامرئی قبلی قابل درک است. اگر این کار روی فراکتال ها انجام شود ، هیچ جزئیات جدیدی ظاهر نمی شود. هیچ چیز تغییر نمی کند و الگوی یکسان بارها و بارها تکرار می شود ، یا برای برخی فراکتال ها ، تقریباً همان الگو بارها و بارها ظاهر می شود. خود شباهت به خود لزوماً خلاف شهود نیست (به عنوان مثال ، مردم به طور غیررسمی به شباهت خود فکر کرده اند ، مانند پسروی نامحدود در آینه های موازی یا homunculus ، مرد کوچک درون سر مرد کوچک در داخل سر ...) به تفاوت فرکتال ها در این است که الگوی تکثیر شده باید دارای جزئیات باشد. [1] : 166 ، 18[2] [11]

این ایده تفصیل شدن به ویژگی دیگری مربوط می شود که می توان بدون زمینه ریاضی زیادی آن را درک کرد: برای مثال داشتن ابعاد فراکتال بزرگتر از ابعاد توپولوژیکی آن به نحوه مقیاس فراکتال در مقایسه با نحوه درک اشکال هندسی معمولاً اشاره دارد. به عنوان مثال ، یک خط مستقیم معمولاً تک بعدی است. اگر چنین رقم است REP-کاشی را به قطعات هر 1/3 طول اصلی، پس از همیشه سه قطعه مساوی وجود دارد. یک مربع جامد دو بعدی است. اگر چنین رقمی به صورت قطعاتی کاشته شود که هر کدام به میزان 1/3 در هر دو اندازه کوچک شوند ، در مجموع 3 2 = 9 قطعه وجود دارد.

ما می بینیم که برای اشیاء معمولی مشابه خود ، n-بعدی به این معنی است که وقتی به قطعاتی کاشته می شود که هر کدام با مقیاس 1/ r کوچک می شوند ، در مجموع r n قطعه وجود دارد. حال ، منحنی کوچ را در نظر بگیرید . می توان آن را در چهار نسخه فرعی ، هر یک با مقیاس 1/3 مقیاس بندی کرد. بنابراین ، به طور قیاسی ، ما می توانیم "بعد" منحنی کوچ را عدد واقعی D منحصر به فرد بدانیم که 3 D = 4 را برآورده می کند . این عدد همان چیزی است که ریاضیدانان بعد فراکتال منحنی کوچ را می نامند . قطعاً چنین نیستآنچه معمولاً به عنوان ابعاد منحنی تلقی می شود (این عدد حتی یک عدد صحیح نیست!). این واقعیت که منحنی کوچ دارای ابعادی فرکتال است که با بعد مرسوم آن (یعنی بعد توپولوژیکی آن) متفاوت است ، چیزی است که آن را فرکتال می کند.

فرکتال توسط کامپیوتر سه بعدی ایجاد شد

این امر همچنین منجر به درک ویژگی سوم می شود ، این که فراکتال ها به عنوان معادلات ریاضی "هیچ جا قابل تفکیک " نیستند. در یک مفهوم مشخص ، این بدان معناست که نمی توان فرکتال ها را به روش های سنتی اندازه گیری کرد. [1] [4] [7] برای توضیح بیشتر ، در تلاش برای یافتن طول یک منحنی موج دار بدون فراکتال ، می توان بخشهای مستقیم از برخی ابزارهای اندازه گیری را به اندازه کافی کوچک یافت که از امتداد به انتهای موج قرار می گیرند ، جایی که قطعات می توانند به اندازه ای کوچک شوید که مطابق با منحنی در روش عادی اندازه گیری در نظر گرفته شودبا اندازه گیری نوار. اما در اندازه گیری منحنی فراکتال بی نهایت "تکان دار" مانند دانه برف کوچ ، هرگز یک قطعه مستقیم کوچک به اندازه کافی برای مطابقت با منحنی پیدا نمی شود ، زیرا الگوی ناهموار همیشه در مقیاس های دلخواه کوچک دوباره ظاهر می شود و اساساً کمی کشیده می شود. مقدار بیشتری از اندازه نوار به طول کل اندازه گیری می شود ، هر بار که فردی سعی می کند آن را محکم تر و محکم تر به منحنی بچسباند. نتیجه این است که فرد برای پوشاندن کامل منحنی به نوار بی نهایت نیاز دارد ، یعنی دانه برف دارای محیط نامحدود است. [1]

https://en.wikipedia.org/wiki/Fractal#history