دانه برف کوچ

توسط علی رضا نقش نیلچی | پنجشنبه هجدهم شهریور ۱۴۰۰ | 6:55

از ویکیپدیا، دانشنامه آزاد

چهار تکرار اول دانه برف کوچ

هفت تکرار اول در انیمیشن

بزرگنمایی در منحنی کوچ

کخ ضد برفک

چهار تکرار اول

تکرار ششم

محاط (همچنین به عنوان شناخته شده منحنی کخ ، ستاره کخ ، یا کخ جزیره [1] [2] ) است منحنی فراکتال و یکی از اولین فرکتال به شرح داده شده است. این بر اساس منحنی کوچ است که در مقاله ای در سال 1904 با عنوان "در یک منحنی پیوسته بدون مماس ، ساختنی از هندسه ابتدایی" [3] ریاضیدان سوئدی هلگه فون کوچ ظاهر شد .

دانه برف کوچ را می توان به صورت تکراری و در یک سری مراحل ایجاد کرد. مرحله اول یک مثلث متساوی الاضلاع است و هر مرحله پی در پی با افزودن خم های بیرونی به هر ضلع مرحله قبل و ایجاد مثلث های متساوی الاضلاع کوچکتر شکل می گیرد. نواحی محصور در مراحل پی در پی ساخت دانه برف به همگرایی دارند8/5برابر مساحت مثلث اصلی است ، در حالی که محیط مراحل متوالی بدون محدودیت افزایش می یابد. در نتیجه ، دانه برف منطقه محدودی را در بر می گیرد ، اما محیط نامحدودی دارد .

فهرست

ساخت و ساز [ ویرایش ]

دانه برف کوچ را می توان با شروع با یک مثلث متساوی الاضلاع ، سپس به صورت بازگشتی هر بخش خط را به صورت زیر تغییر داد:

بخش خط را به سه قسمت با طول مساوی تقسیم کنید.
یک مثلث متساوی الاضلاع ترسیم کنید که قسمت میانی آن از مرحله 1 به عنوان پایه قرار گرفته و به سمت بیرون باشد.
قسمت خطی که پایه مثلث است را از مرحله 2 حذف کنید.

اولین تکرار این فرایند ، طرح یک شش ضلعی را ایجاد می کند .

دانه برف کوچ محدودیتی است که مراحل بالا به طور نامحدود دنبال می شود. منحنی کوچ که در ابتدا توسط هلگه فون کوچ توصیف شده بود تنها با استفاده از یکی از سه ضلع مثلث اصلی ساخته شده است. به عبارت دیگر ، سه منحنی کوچ یک دانه برف کوچ را می سازد.

بازنمایی مبتنی بر منحنی کوچ از یک سطح صاف مسطح به طور مشابه می تواند با تقسیم بندی مکرر هر خط در الگوی دندان اره ای قطعات با زاویه مشخص ایجاد شود. [4]

یک سطح خشن فراکتالی که از تکرارهای متعدد منحنی کوچ ساخته شده است

خواص [ ویرایش ]

محیط دانه برف کوچ [ ویرایش ]

هر تکرار تعداد ضلع های دانه برف کوچ را چهار برابر می کند ، بنابراین تعداد اضلاع بعد از n تکرار توسط:

$N_ {n} = N_ {n-1} \ cdot 4 = 3 \ cdot 4^{n} \ ،.$

اگر مثلث متساوی الاضلاع دارای ضلع هایی با طول s باشد ، طول هر ضلع برف برف پس از n تکرار برابر است با:

${\ displaystyle S_ {n} = {\ frac {S_ {n-1}} {3}} = {\ frac {s} {3^{n}}} \ ،،}$

قدرت معکوس سه برابر طول اولیه محیط دانه برف پس از n تکرار عبارت است از:

$P_ {n} = N_ {n} \ cdot S_ {n} = 3 \ cdot s \ cdot {\ left ({\ frac {4} {3}} \ right)}^{n} \ ،.$

منحنی کخ دارای طول نامتناهی است ، زیرا طول کل منحنی با یک عامل افزایش می یابد4/3با هر تکرار هر تکرار چهار برابر تعداد تکرارهای قبلی بخش خط ایجاد می کند ، با طول هر یک1/3طول بخشها در مرحله قبل بنابراین ، طول منحنی پس از n تکرار خواهد بود (4/3) n برابر مثلث اصلی و نامحدود است ، زیرا n تمایل به بی نهایت دارد.

محدوده محیط [ ویرایش ]

از آنجا که تعداد تکرارها به بی نهایت تمایل دارد ، محدوده محیط عبارت است از:

$\ lim _ {n \ rightarrow \ infty} P_ {n} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} 3 \ cdot s \ cdot \ left ({\ frac {4} {3}} \ right)^{n } = \ مخرب \ ،،$

از |4/3| > 1

یک در 4/در 3اندازه گیری ابعادی وجود دارد ، اما تاکنون محاسبه نشده است. فقط محدوده بالا و پایین اختراع شده است. [5]

منطقه دانه برف کوچ [ ویرایش ]

در هر تکرار یک مثلث جدید در هر طرف تکرار قبلی اضافه می شود ، بنابراین تعداد مثلث های جدید اضافه شده در تکرار n برابر است با:

$T_ {n} = N_ {n-1} = 3 \ cdot 4^{n-1} = {\ frac {3} {4}} \ cdot 4^{n} \ ،.$

مساحت هر مثلث جدید اضافه شده در یک تکرار برابر است 1/9مساحت هر مثلثی که در تکرار قبلی اضافه شده است ، بنابراین مساحت هر مثلثی که در تکرار n اضافه شده است:

$a_ {n} = {\ frac {a_ {n-1}} {9}} = {\ frac {a_ {0}} {9^{n}}} \ ،.$

جایی که 0 مساحت مثلث اصلی است. بنابراین کل مساحت جدید اضافه شده در تکرار n به شرح زیر است:

$b_ {n} = T_ {n} \ cdot a_ {n} = {\ frac {3} {4}} \ cdot {\ left ({\ frac {4} {9}} \ right)}^{n} \ cdot a_ {0}$

مساحت کل دانه برف پس از n تکرار عبارت است از:

$A_ {n} = a_ {0}+\ sum _ {k = 1}^{n} b_ {k} = a_ {0} \ left (1+{\ frac {3} {4}} \ sum _ { k = 1}^{n} \ left ({\ frac {4} {9}} \ right)^{k} \ right) = a_ {0} \ left (1+{\ frac {1} {3} } \ sum _ {k = 0}^{n-1} \ left ({\ frac {4} {9}} \ right)^{k} \ right) \ ،.$

جمع کردن جمع هندسی می دهد:

$A_ {n} = a_ {0} \ left (1+{\ frac {3} {5}} \ left (1- \ left ({\ frac {4} {9}} \ right)^{n} \ راست) \ راست) = {\ frac {a_ {0}} {5}} \ left (8-3 \ left ({\ frac {4} {9}} \ right)^{n} \ right) \، به$

محدودیت های منطقه [ ویرایش ]

محدوده منطقه عبارت است از:

$\ lim _ {n \ rightarrow \ infty} A_ {n} = \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} {\ frac {a_ {0}} {5}} \ cdot \ left (8-3 \ left ({ \ frac {4} {9}} \ right)^{n} \ right) = {\ frac {8} {5}} \ cdot a_ {0} \ ،،$

از |4/9| <1

بنابراین ، مساحت دانه برف کوچ است 8/5مساحت مثلث اصلی با توجه به طول ضلع s مثلث اصلی ، این است: [6]

${\ displaystyle {\ frac {2s^{2} {\ sqrt {3}}} {5}}.}$

جامد انقلاب [ ویرایش ]

حجم جامدات انقلاب دانه برف کوچ در مورد محور تقارن شروع مثلث متساوی الاضلاع واحد واحد است ${\ displaystyle {\ frac {11 {\ sqrt {3}}} {135}} \ pi.}$ [7]

منبع

https://en.wikipedia.org/wiki/Koch_snowflake

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی