ادامه فضای بردار توپولوژیکی کامل

توسط علی رضا نقش نیلچی | سه شنبه نهم شهریور ۱۴۰۰ | 22:3

توپولوژی ایجاد شده توسط یکنواختی [ ویرایش ]

همچنین ببینید: فضای توپولوژیکی definition تعریف محله ، و ویژگی های طبقه بندی فضاهای توپولوژیکی

اجازه دهید ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ subseteq \ wp (X \ times X)}$ پایگاه اطرافیان باشد $ایکس.$ برای هر $S \ subseteq X$ و $p \ در X$ ، پیش فیلتر محله روشن است $س$ (پاسخ ساعت در $پ$ ) مجموعه است

${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ cdot S: = \ {\ Phi \ cdot S: \ Phi \ in {\ mathcal {B}} \}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ cdot p: = {\ mathcal {B}} \ cdot \ {p \} = \ {\ Phi \ cdot p: \ Phi \ in {\ mathcal {B}} \ }}$

و فیلتر روشن است $ایکس$ که تولید می کند به عنوان فیلتر محله از $س$ (پاسخ از $پ$ ) واگذاری به هر $x \ در X$ پیش فیلتر محله

${\ displaystyle {\ mathcal {B}} \ cdot x: = \ {\ Phi \ cdot x: \ Phi \ in {\ mathcal {B}} \}}$

توپولوژی را ایجاد می کند $ایکس$ به نام توپولوژی القا شده توسط ${\ mathcal {B}}$ یا توپولوژی ناشی . یک زیر مجموعه $U \ subseteq X$ در این توپولوژی در صورتی باز می شود که فقط در صورت وجود هر یک از شرایط معادل زیر:

برای هر $u \ در U$ برخی وجود دارد ${\ displaystyle N \ در {\ mathcal {B}} \ cdot u}$ به طوری که ${\ displaystyle N \ subseteq U.}$
برای هر $u \ در U$ برخی وجود دارد ${\ displaystyle \ Phi \ in {\ mathcal {B}}}$ به طوری که ${\ displaystyle \ Phi \ cdot u = \ {x \ in X: (x، u) \ in \ Phi \} \ subseteq U.}$

بسته شدن یک زیر مجموعه $S \ subseteq X$ در این توپولوژی عبارت است از:

${\ displaystyle \ operatorname {cl} _ {X} S = \ bigcap _ {\ Phi \ in {\ mathcal {B}}} (\ Phi \ cdot S) = \ bigcap _ {\ Phi \ in {\ mathcal { B}}} (S \ cdot \ Phi).}$

پیش فیلترهای کوشی و یکنواختی کامل

یک پیش فیلتر ${\ displaystyle {\ mathcal {F}} \ subseteq \ wp (X)}$ روی یک فضای یکنواخت $ایکس$ با یکنواختی ${\ mathcal {U}}$ اگر برای هر محیط همراه ، پیش فیلتر کوشی نامیده می شود ${\ displaystyle N \ در {\ mathcal {U}} ،}$ برخی وجود دارد $F \ در {\ ریاضی {F}}$ به طوری که ${\ displaystyle F \ times F \ subseteq N.}$

یک فضای یکنواخت ${\ displaystyle (X ، {\ mathcal {U}})}$ a نامیده می شود فضای یکنواخت کامل (پاسخ aبه طور متوالی فضای یکنواخت را تکمیل کنید ) اگر هر پیش فیلتر کوشی (نسبت به هر فیلتر اولیه کوشی اولیه) در $ایکس$ حداقل به یک نقطه از همگرا می شود $ایکس$ چه زمانی $ایکس$ دارای توپولوژی ناشی از ${\ displaystyle {\ mathcal {U}}.}$

اگر $(X ، \ tau)$ TVS است سپس برای هر کسی $S \ subseteq X$ و ${\ displaystyle x \ in X،}$

${\ displaystyle \ Delta _ {X} (N) \ cdot S = S+N}$

${\ displaystyle \ Delta _ {X} (N) \ cdot x = x+N.}$

توپولوژی ناشی از $ایکس$ از نظر یکنواختی متعارف همان توپولوژی است که $ایکس$ شروع شد (یعنی اینطور است $\ تاو$ )

تداوم یکنواخت [ ویرایش ]

اجازه دهید $ایکس$ و $Y$ TVS باشد ، ${\ displaystyle D \ subseteq X،}$ و ${\ displaystyle f: D \ به Y}$ نقشه باشد سپس ${\ displaystyle f: D \ به Y}$ است یکنواخت پیوسته اگر برای هر محله $U$ از مبدا در $ایکس،$ محله ای وجود دارد $V$ از مبدا در $Y$ طوری که برای همه ${\ displaystyle x ، y \ در D ،}$ اگر ${\ displaystyle yx \ در U}$ سپس ${\ displaystyle f (y) -f (x) \ در V.}$

فرض کنید که ${\ displaystyle f: D \ به Y}$ یکنواخت پیوسته است اگر ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ چپ (x_ {i} \ راست) _ {i \ in I}}$ یک شبکه کوشی در است $د$ سپس ${\ displaystyle f \ circ x _ {\ bullet} = \ left (f \ left (x_ {i} \ right) \ right) _ {i \ in I}}$ یک شبکه کوشی در است $Y.$ اگر ${\ mathcal {B}}$ یک پیش فیلتر کوشی در است $د$ (به این معنی که ${\ mathcal {B}}$ خانواده ای از زیرمجموعه های است $د$ که کوشی در آن است $ایکس$ ) سپس ${\ displaystyle f \ left ({\ mathcal {B}} \ right)}$ یک پیش فیلتر کوشی در است $Y.$ با این حال ، اگر ${\ mathcal {B}}$ یک فیلتر Cuachy است $د$ سپس اگرچه ${\ displaystyle f \ left ({\ mathcal {B}} \ right)}$ یک فیلتر پیش از کوشی خواهد بود ، یک فیلتر کوشی در آن خواهد بود $Y$ اگر و تنها اگر ${\ displaystyle f: D \ به Y}$ جزئی است

کامل بودن TVS در مقابل کامل بودن معیارهای (شبه) [ ویرایش ]

مقدمات: فضاهای شبه سنجی کامل [ ویرایش ]

مقالات اصلی: فضای متریک کامل ، فضای کاذب سنجی و دنباله کوشی

ما مفاهیم اساسی مربوط به نظریه عمومی فضاهای شبه سنجی کامل را مرور می کنیم. به یاد بیاورید که هر متریک یک شبه سنجی است و آن یک شبه سنجی است $پ$ معیاری است اگر و فقط اگر ${\ displaystyle p (x، y) = 0}$ دلالت دارد ${\ displaystyle x = y.}$ بنابراین هر فضای متریک یک فضای کاذب سنجی و یک فضای کاذب سنجی است ${\ displaystyle (X ، p)}$ یک فضای متریک است اگر و فقط اگر $پ$ معیار است

اگر $س$ زیر مجموعه ای از یک فضای شبه سنجی است $(X ، d)$ سپس قطر از $س$ تعریف می شود

${\ displaystyle \ operatorname {diam} (S): = \ sup _ {} \ {d (s، t): s، t \ in S \}.}$

یک پیش فیلتر ${\ mathcal {B}}$ روی یک فضای کاذب سنجی $(X ، d)$ a نامیده می شود $د$ پیش فیلتر کوشی یا به سادگی یک پیش فیلتر کوشی در صورت واقعی بودن ${\ displaystyle r> 0،}$ برخی وجود دارد $B \ در {\ ریاضی {B}}$ به گونه ای که قطر $ب$ کمتر است از $r$

فرض کنید $(X ، d)$ یک فضای شبه سنجی است یک شبکه ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ چپ (x_ {i} \ راست) _ {i \ in I}}$ که در $ایکس$ a نامیده می شود $د$ شبکه کوشی یا به سادگی یک شبکه کوشی اگر ${\ displaystyle \ operatorname {Tails} \ left (x _ {\ bullet} \ right)}$ یک پیش فیلتر کوشی است که اگر و فقط اگر اتفاق می افتد

برای هر $r> 0$ برخی وجود دارد $من \ در من$ طوری که اگر ${\ displaystyle j، k \ in I}$ با ${\ displaystyle j \ geq i}$ و ${\ displaystyle k \ geq i}$ سپس ${\ displaystyle d \ left (x_ {j} ، x_ {k} \ right) <r.}$

دنباله کوشی یک دنباله است که آن نیز یک شبکه کوشی است. [نکته 3]

هر شبه سنجی $پ$ روی یک مجموعه $ایکس$ توپولوژی معمول متعارف را القا می کند $ایکس،$ که با آن مشخص می کنیم $\ tau _ {p}$ ؛ همچنین باعث ایجاد یکنواختی متعارف در می شود $ایکس،$ که با آن مشخص می کنیم ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} _ {p}.}$ توپولوژی روشن است $ایکس$ ناشی از یکنواختی ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} _ {p}}$ برابر است با ${\ displaystyle \ tau _ {p}.}$ یک شبکه ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ چپ (x_ {i} \ راست) _ {i \ in I}}$ که در $ایکس$ از نظر کوشی است $پ$ اگر و فقط اگر از نظر یکنواختی کوشی باشد ${\ displaystyle {\ mathcal {U}} _ {p}.}$ فضای شبه سنجی ${\ displaystyle (X ، p)}$ یک فضای شبه سنجی کامل (به ترتیب متوالی) اگر و فقط اگر است ${\ displaystyle \ left (X ، {\ mathcal {U}} _ {p} \ right)}$ یک فضای یکنواخت کامل (به ترتیب متوالی) است. علاوه بر این ، فضای شبه سنجی ${\ displaystyle (X ، p)}$ (نسبت به فضای یکنواخت ${\ displaystyle \ left (X ، {\ mathcal {U}} _ {p} \ right)}$ ) اگر و فقط در صورت کامل بودن متوالی کامل است.

یک فضای شبه سنجی $(X ، d)$ (به عنوان مثال ، یک فضای متریک ) کامل و نامیده می شود $د$ در صورت وجود هر یک از شرایط معادل زیر ، یک شبه سنجی کامل نامیده می شود :

هر پیش فیلتر کوشی روشن است $ایکس$ حداقل به یک نقطه از همگرا می شود $ایکس.$
عبارت بالا اما با کلمه "پیش فیلتر" با "فیلتر" جایگزین شده است.
هر شبکه کوشی وارد شده است $ایکس$ حداقل به یک نقطه از همگرا می شود $ایکس.$
هر دنباله کوشی در حداقل به یک نقطه از همگرا می شود
- بنابراین برای اثبات آن $(X ، d)$ کامل است ، کافی است فقط دنباله های کوشی را در نظر بگیریم $ایکس$ (و لازم نیست که شبکه های کلی کوشی را در نظر بگیریم).
یکنواختی شرعی در $ایکس$ ناشی از شبه سنجی $د$ یکنواختی کامل است

اگر $د$ یک معیار بر روی است $ایکس$ در این صورت هر نقطه حدی لزوماً منحصر به فرد است و همین امر در مورد محدوده پیش فیلترهای کوشی روشن است $ایکس.$

و اگر اضافه شود $د$ یک معیار است ، بنابراین ممکن است به این لیست اضافه کنیم:

هر دنباله کاهشی از توپ های بسته که قطر آنها کوچک می شود ${\ displaystyle 0}$ دارای تقاطع غیر خالی است [9]

شبه سنجی کامل و TVS کامل [ ویرایش ]

هر فضای F ، و بنابراین هر فضای Fréchet ، Banach ، و فضای Hilbert یک TVS کامل است. توجه داشته باشید که هر F -space یک فضای Baire است اما فضاهای استانداردی وجود دارد که Baire هستند اما Banach نیستند. [10]

یک شبه سنجی $د$ روی یک فضای بردار $ایکس$ گفته می شود a ترجمه شبه سنجی متغیر ${\ displaystyle d (x، y) = d (x+z، y+z)}$ برای همه بردارها ${\ displaystyle x، y، z \ in X.}$

فرض کنید $(X ، \ tau)$ است pseudometrizable TVS (به عنوان مثال ناتهی یک مجموعه میگر TVS) و $پ$ آیا هر گونه شبه سنجی روی آن است $ایکس$ به طوری که توپولوژی در $ایکس$ ناشی از $پ$ برابر است با $\ تاو$ اگر $پ$ بنابراین ، ترجمه ثابت است ، بنابراین $(X ، \ tau)$ یک TVS کامل است اگر و فقط اگر ${\ displaystyle (X ، p)}$ یک فضای شبه سنجی کامل است. [11] اگر $پ$ است نه ترجمه ثابت، پس از آن ممکن است ممکن است برای $(X ، \ tau)$ TVS کامل باشد اما ${\ displaystyle (X ، p)}$ به نمی شود یک فضای کامل pseudometric [11] (این پاورقی را ببینید [توجه داشته باشید 4] برای مثال). [11]

قضیه [12] [13] (Klee) - اجازه دهید $د$ شود هر [توجه داشته باشید 5] متریک در یک فضای برداری $ایکس$ به طوری که توپولوژی $\ تاو$ ناشی از $د$ بر $ایکس$ باعث می شود $(X ، \ tau)$ به یک فضای بردار توپولوژیکی اگر $(X ، d)$ پس یک فضای متریک کامل است $(X ، \ tau)$ یک TVS کامل است

هنجارهای کامل و هنجارهای معادل [ ویرایش ]

دو هنجار در یک فضای بردار اگر و تنها در صورتی که توپولوژی یکسانی را القا کنند معادل نامیده می شود . [14] اگر $پ$ و $س$ دو هنجار معادل در یک فضای بردار هستند $ایکس$ سپس فضای متعارف ${\ displaystyle (X ، p)}$ یک فضای باناخ اگر و تنها اگر ${\ displaystyle (X ، q)}$ یک فضای Banach است این پاورقی برای مثال از یک هنجار مداوم در یک فضای باناخ است که نمی بینیم این است نه معادل هنجار با توجه به اینکه فضای باناخ است. [توجه 6] [14] همه هنجارها در یک فضای بردار ابعاد محدود معادل هستند و هر فضای دارای هنجار ابعاد محدود یک فضای باناچ است. [15] هر فضای Banach یک TVS کامل است. یک فضای هنجار شده یک فضای باناچ است (یعنی معیار متعارف متعارف متعارف آن کامل است) اگر و تنها در صورتی که به عنوان یک فضای بردار توپولوژیکی کامل باشد.

مشخصات وب

در این وبلاگ به ریاضیات و کاربردهای آن و تحقیقات در آنها پرداخته می شود. مطالب در این وبلاگ ترجمه سطحی و اولیه است و کامل نیست.در صورتی سوال یا نظری در زمینه ریاضیات دارید مطرح نمایید .در صورت امکان به آن می پردازم. من دوست دارم برای یافتن پاسخ به سوالات و حل پروژه های علمی با دیگران همکاری نمایم.در صورتی که شما هم بامن هم عقیده هستید با من تماس بگیرید.
09132003030

ریاضیات

آموزش ریاضی